1、第 5 章 抽样与参数估计,第 5 章 抽样与参数估计,5.1 抽样及其分布 5.2 点估计 5.3 单个总体参数的区间估计 5.4 两个总体参数的区间估计 附录： Excel的应用,学习目标,1 了解抽样和抽样分布的基本概念 2 了解点估计的概念和估计量的优良标准 3 掌握总体均值、总体比例和总体方差的区间估计 掌握样本容量的确定 掌握Excel的应用,5.1 抽样及其分布,1. 抽样推断 2几个基本概念 总体个体 样本 统计量 抽样单元与抽样框 3. 抽样组织方式 4 抽样分布,抽样推断的概念,抽样推断是指根据随机原则，从总体中抽取一部分单位进行观察，并依据所获得数据的处理结果，对总体的数
2、量特征做出具有一定可靠程度的估计和判断，从而达到对总体的分布状况及其数量特征认识的目的。,抽样推断的类型,参数估计：根据从总体中抽取的样本估计总体分布中包含的未知参数的方法。 假设检验：根据样本信息对研究总体的数量规律是否具有某种指定特征进行检验。,抽样推断的应用场合,（1）用于无法采用或不必采用全面调查的 现象； （2）对全面调查的结果进行复核； （3）生产过程的质量控制； （4）对总体的假设进行检验。,总体和个体（概念要点）,1具体含义总体(Population)：调查研究的事物或现象的全体。例如：全部居民、所有产品个体(Item unit): 组成总体的每个元素 2抽象含义总体(Popu
3、lation)：调查研究中所关心的作为随机变量的统计指标。例如居民收入、产品寿命个体(Item unit): 统计指标所取得每个可能值,样本(Sample),1样本(Sample)：从总体中所抽取的部分个体 2样本容量(Sample size):样本中所含个体的数量 3样本选取的基本原则：代表性：样本的每个分量都与总体有相同的分布独立性：样本的每个分量都是相互独立的。即要求观察结果之间互不影响。 4简单随机样本：满足代表性和独立性的样本 5简单随机抽样：获得简单随机样本的方法,一次失败的统计调查,在1936年的美国总统选举前，一份名为 Literary Digest 的杂志进行了一次民意调查。
4、调查的焦点是谁将成为下一届总统的挑战者，是堪萨斯州州长Alf Landon，还是现任总统 Franklin Delano Roosevelt。为了解选民意向，民意调查专家们根据电话簿和车辆登记簿上的名单给一大批人发了简单的调查表（电话和汽车在1936年并不像现在那样普及，但是这些名单比较容易得到）。尽管发出的调查表大约有一千万张，但收回的比例并不高。在收回的调查表中，Alf Landon非常受欢迎。于是该杂志预测 Landon 将赢得选举。但事实上是Franklin Roosevelt赢得了这次选举,失败的原因,在经济大萧条时期调查有电话和汽车的人们，并不能够反映全体选民的观点。此外，只有少数
5、的问卷被收回。这些都是值得怀疑的,抽样单元与抽样框,抽样单元(Sampling unit)：将总体划分成互不重迭且又穷尽的若干部分，每个部分称为一个抽样单元 每个抽样单元都是由若干个体组成的集合 只由一个个体组成就称为最小抽样单元抽样单元可以是自然形成的，也可以是人为划定的 抽样框（Sampling frame)：关于抽样单元的名册或清单 上一级别的某个抽样单元被抽中，必须在下一级别抽样框中连续抽样 有效的抽样框所包含的抽样单元应既无遗漏又无重复,参数与统计量,例：设 是总体 容量为n的样本，则,样本均值(Sample mean)：样本方差(Sample variance)：,阶原点矩(Mom
6、ent of order )：,都是统计量,统计量是不含任何未知参数的样本函数。由样本构造统计量，实际上是对样本所含总体的信息提炼加工；根据不同的推断要求，可以构造不同的统计量。,抽样组织方式,抽样组织方式,概率抽样 (probability sampling),也称随机抽样 特点: 按一定的概率以随机原则抽取样本 抽取样本时使每个单位都有一定的机会被抽中 每个单位被抽中的概率是已知的，或是可以计算出来的 当用样本对总体目标量进行估计时，要考虑到每个样本单位被抽中的概率,简单随机抽样 (simple random sampling),从总体N个单位中随机地抽取n个单位作为样本，使得每一个容量为
7、样本都有相同的机会(概率)被抽中. 特点 简单、直观，在抽样框完整时，可直接从中抽取样本 用样本统计量对目标量进行估计比较方便是最基本的抽样方法，并且是其它抽样方法的基础3. 局限性 当N很大时，不易构造抽样框 抽出的单位很分散，给实施调查增加了困难 没有利用其他辅助信息以提高估计的效率,抽样方法,抽取元素的具体方法有重复抽样和不重复抽样 (1)重复抽样（有放回的抽样）是从N个总体单位中抽取一个单位进行观察、纪录后，再放回总体中，然后再抽取下一个单位，这样连续抽取n个单位组成样本的方法。 (2)不重复抽样（无放回抽样）是从N个总体单位中抽取一个单位进行观察、纪录后，不放回总体中，在余下的总体中
8、抽取下一个单位，这样连续抽取n个单位组成样本的方法。根据对样本的要求不同，又分考虑顺序的抽样和不考虑顺序的抽样,抽样方法的不同,获得样本的可能数目也不同.,样本的可能数目,（1）考虑顺序的不重复抽样，样本的可能数目为：（2）考虑顺序的重复抽样，样本的可能数目为：（3）不考虑顺序的不重复抽样，样本的可能数目为：（4）不考虑顺序的重复抽样，样本的可能数目为：,分层抽样(分类抽样、类型抽样） (stratified sampling),将抽样单位按某种特征或某种规则划分为不同的层，然后从不同的层中独立、随机地抽取样本. 优点: 保证样本的结构与总体的结构比较相近，从而提高估计的精度 组织实施调查方便
9、 既可以对总体参数进行估计，也可以对各层的目标量进行估计,系统抽样（机械抽样、等距抽样） (systematic sampling),将总体中的所有单位(抽样单位)按一定顺序排列，在规定的范围内随机地抽取一个单位作为初始单位，然后按事先规定好的规则确定其他样本单位. 先从数字1到k之间随机抽取一个数字r作为初始单位，以后依次取r+k，r+2k等单位 优点：操作简便，可提高估计的精度 缺点：对估计量方差的估计比较困难,整群抽样 (cluster sampling),将总体中若干个单位合并为组(群),抽样时直接抽取群，然后对中选群中的所有单位全部实施调查. 特点: 抽样时只需群的抽样框，可简化工作
10、量 调查的地点相对集中，节省调查费用，方便调查的实施. 缺点是估计的精度较差.,二阶抽样与多阶段抽样 (two&multi-stage sampling),先抽取群，但并不是调查群内的所有单位，而是再进行一步抽样，从选中的群中抽取出若干个单位进行调查 群是初级抽样单位，第二阶段抽取的是最终抽样单位。将该方法推广，使抽样的段数增多，就称为多阶段抽样 不需要对每个高级别的抽样单元建立关于低级别抽样单元的抽样框，节约调查费用 需要包含所有低阶段抽样单位的抽样框；同时由于实行了再抽样，使调查单位在更广泛的范围内展开 在大规模的抽样调查中，经常被采用的方法,抽样分布,抽样分布 (sampling dis
11、tribution),样本统计量的概率分布，是一种理论分布 在重复选取容量为n的样本时，由该统计量的所有可能取值形成的相对频数分布 样本统计量是随机变量 样本均值, 样本比例，样本方差等 结果来自容量相同的所有可能样本 提供了样本统计量长远而稳定的信息，是进行推断的理论基础，也是抽样推断科学性的重要依据,抽样分布的形成过程 (sampling distribution),样本均值的抽样分布,样本均值的抽样分布,在重复选取容量为n的样本时，由样本均值的所有可能取值形成的相对频数分布 一种理论概率分布 推断总体均值的理论基础,样本均值的抽样分布 (例题分析),【例】设一个总体，含有4个元素(个体)
12、 ，即总体单位数N=4。4 个个体分别为x1=1，x2=2，x3=3，x4=4 。总体的均值、方差及分布如下,均值和方差,样本均值的抽样分布 (例题分析), 现从总体中抽取n2的简单随机样本，在重复抽样条件下，共有42=16个样本。所有样本的结果为,样本均值的抽样分布 (例题分析), 计算出各样本的均值，如下表。并给出样本均值的抽样分布,样本均值的分布与总体分布的比较 (例题分析), = 2.5 2 =1.25,总体分布,样本均值的抽样分布 与中心极限定理,当总体服从正态分布N(,2)时，来自该总体的所有容量为n的样本的均值x也服从正态分布，x 的数学期望为，方差为2/n。即xN(,2/n),
13、中心极限定理 (central limit theorem),中心极限定理：设从均值为，方差为 2的一个任意总体中抽取容量为n的样本，当n充分大时，样本均值的抽样分布近似服从均值为、方差为2/n的正态分布,中心极限定理 (central limit theorem),x 的分布趋于正态分布的过程,抽样分布与总体分布的关系,样本均值的数学期望样本均值的方差 重复抽样不重复抽样,样本均值的抽样分布 (数学期望与方差),样本均值的抽样分布 (数学期望与方差),比较及结论：1. 样本均值的均值(数学期望) 等于总体均值2. 样本均值的方差等于总体方差的1/n,样本比例的抽样分布,总体(或样本)中具有某
14、种属性的单位与全部单位总数之比 不同性别的人与全部人数之比 合格品(或不合格品) 与全部产品总数之比 总体比例可表示为样本比例可表示为,比例 (proportion),在重复选取容量为n的样本时，由样本比例的所有可能取值形成的相对频数分布 一种理论概率分布 当样本容量很大时，样本比例的抽样分布可用正态分布近似 推断总体比例的理论基础,样本比例的抽样分布,样本比例的数学期望样本比例的方差 重复抽样不重复抽样,样本比例的抽样分布 (数学期望与方差),5.2 点估计,点估计的常用方法 衡量估计量的标准,参数估计概述,参数估计概述,统计估计： 研究由样本估计总体的未知分布或 分布中的未知参数 2. 非
15、参数估计：直接对总体未知分布的估计 3. 参数估计： 总体分布类型已知，仅需对分布的未知参数进行的估计,参数估计的基本方法,参数估计的方法,估计量：用于估计总体参数的随机变量 如样本均值，样本比例、样本方差等 例如: 样本均值就是总体均值 的一个估计量 参数用 表示，估计量用 表示 估计值：估计参数时计算出来的统计量的具体值 如果样本均值 x =80，则80就是的估计值,估计量与估计值 (estimator & estimated value),点估计 (point estimate),1. 点估计量：设总体 的分布类型已知，但包含未知参数，从总体中抽取一个简单随机样本 ，构造一个适当的统计量
16、 作为的估计， 称 为未知参数的点估计量 2. 用样本的估计量直接作为总体参数的估计值 例如：用样本均值直接作为总体均值的估 例如：用两个样本均值之差直接作为总体均值之差的估计 3. 没有给出估计值接近总体未知参数程度的信息,点估计的常用方法,（一）矩法估计用总体矩对应的样本矩作为其点估计量。（二）极大似然估计,评价估计量的标准,无偏性 (unbiasedness),设,是未知参数的一个点估计量，若,满足,则称,是的无偏估计量，否则称为有偏估计量,有效性 (efficiency),有效性：对同一总体参数的两个无偏点估计量，有更小标准差的估计量更有效,一致性 (consistency),一致性：
17、随着样本容量的增大，估计量的值越来越接近被估计的总体参数,均方误差准则 （Mean square error）,是参数的两个估计量，若对的一切可能值，,设,且严格不等式至少对参数的某个可能值成立，,则称在均方误,优于,，,差意义下,注：均方误差准则计量取值“集中”于参数真值得的程度,5.3 单个总体参数的区间估计,1. 总体均值的区间估计 2. 总体比例的区间估计 3. 总体方差的区间估计,区间估计 (interval estimate),在点估计的基础上，给出总体参数估计的一个区间范围，该区间由样本统计量加减抽样误差而得到的 根据样本统计量的抽样分布能够对样本统计量与总体参数的接近程度给出一
18、个概率度量 比如，某班级平均分数在7585之间，置信水平是95%,置信区间 (confidence interval),设是未知参数， 是来自总体的 样本，构造两个统计量 ，对于给定的(0 1), 若 、 满足：,则称随机区间,是参数置信水平为(1 - 的置信区间，,(1 - 称为,的置信系数，,、,称为置信限。,将构造置信区间的步骤重复很多次，置信区间包含总体参数真值的次数所占的比例称为置信水平.（样本的估计值接近于总体参数的概率） 表示为 (1 - 为是总体参数未在区间内的比例 常用的置信水平值有 99%, 95%, 90% 相应的 为0.01，0.05，0.10,置信水平,2. 区间宽度
19、为随机变量，置信区间为随机区间 置信水平描述了估计的可靠度，区间宽度描述了估计的精度 4. 用一个具体的样本所构造的区间是一个特定的区间，我们无法知道这个样本所产生的区间是否包含总体参数的真值 我们只能是希望这个区间是大量包含总体参数真值的区间中的一个，但它也可能是少数几个不包含参数真值的区间中的一个,置信区间与置信水平,置信区间与置信水平,影响区间宽度的因素,1. 总体数据的离散程度，用 来测度 样本容量， 3. 置信水平 (1 - )，影响 z 的大小,总体均值区间估计的图示,总体均值的区间估计,总体均值的区间估计 (正态总体且 已知或非正态总体、 未知、大样本),1. 假定条件 总体服从
20、正态分布,且方差() 已知 如果不是正态分布，可由正态分布来近似 (n 30) 使用正态分布统计量 z,总体均值 在1- 置信水平下的置信区间为,总体均值的区间估计 (例题分析),【 例 5.3.1】保险公司从投保人中随机抽取36人,计算得36人的平均年龄 岁，已知投保人平均年龄近似服从正态分布，标准差为7.2岁，试求全体投保人平均年龄的置信水平为99%的置信区间,解：已知n=36, 1- = 99%，z/2=2.575。根据样本数据计算得：总体均值在1-置信水平下的置信区间为,故全体投保人平均年龄的置信水平为99%的置信区间为36.41，52.59,总体均值的区间估计 (例题分析),【 例5
21、.3.2 】一家食品公司，每天大约生产袋装食品若干，按规定每袋的重量应为100g。为对产品质量进行检测，该企业质检部门采用抽样技术，每天抽取一定数量的食品，以分析每袋重量是否符合质量要求。现从某一天生产的一批食品8000袋中随机抽取了25袋（不重复抽样），测得它们的重量如下表所示，已知产品重量服从正态分布，且总体方差为100g。试估计该批产品平均重量的置信区间，置信水平为95。,总体均值的区间估计 (例题分析),解：已知N(，102)，n=25, 1- = 95%，z/2=1.96。根据样本数据计算得：总体均值在1-置信水平下的置信区间为,该食品平均重量的置信区间为101.4459g109.2
22、741g,注：在不重复抽样条件下，置信区间取,总体均值的区间估计 (例题分析),【例5.3.3】一家保险公司收集到由36投保个人组成的随机样本，得到每个投保人的年龄(周岁)数据如下表。试建立投保人年龄90%的置信区间,总体均值的区间估计 (例题分析),解：已知n=36, 1- = 90%，z/2=1.645。根据样本数据计算得： ，总体均值在1- 置信水平下的置信区间为,投保人平均年龄的置信区间为37.37岁41.63岁,总体均值的区间估计 (正态总体、方差未知、小样本),1. 假定条件 总体服从正态分布,且方差() 未知 小样本 (n 30) 使用 t 分布统计量,总体均值 在1-置信水平下
23、的置信区间为,t 分布, t 分布是类似正态分布的一种对称分布，它通常要比正态分布平坦和分散。一个特定的分布依赖于称之为自由度的参数。随着自由度的增大，分布也逐渐趋于正态分布,总体均值的区间估计 (例题分析),【例5.3.4】已知某种灯泡的寿命服从正态分布，现从一批灯泡中随机抽取16只，测得其使用寿命(小时)如下。建立该批灯泡平均使用寿命95%的置信区间,总体均值的区间估计 (例题分析),解：已知N(，2)，n=16, 1- = 95%，t/2=2.131根据样本数据计算得： ，总体均值在1-置信水平下的置信区间为,该种灯泡平均使用寿命的置信区间为1476.8小时1503.2小时,总体比例的区
24、间估计,总体比例的区间估计,假定条件：大样本条件下，样本比例的抽样分布可以由正态分布来近似 使用正态分布统计量 z,3. 总体比例在1-置信水平下的置信区间为,总体比例的区间估计 (例题分析),【例5.3.5】某城市想要估计下岗职工中女性所占的比例，随机地抽取了100名下岗职工，其中65人为女性职工。试以95%的置信水平估计该城市下岗职工中女性比例的置信区间,解：已知 n=100，p65% , 1- = 95%，z/2=1.96,该城市下岗职工中女性比例的置信区间为55.65%74.35%,总体比例的区间估计 (例题分析),【 例 5.3.6】某企业共有职工1000人，企业准备实行一项改革，在
25、职工中征求意见，采用不重复抽样方法，随机抽取200人作为样本，调查结果显示，由150人表示赞成这项改革，有50人表示反对。试以95的置信水平确定赞成改革的人数比例的置信区间,解：已知n=200,z/2=1.96，p75% 。根据样本数据计算得总体均值在1-置信水平下的置信区间为,95的置信水平下估计赞成改革的人数比例的置信区间为69.63%80.37%,总体方差的区间估计,总体方差的区间估计,1. 估计一个总体的方差或标准差 2. 假设总体服从正态分布 总体方差 2 的点估计量为S2,且,4. 总体方差在1- 置信水平下的置信区间为,总体方差的区间估计 (图示),总体方差的区间估计 (例题分析
26、),【例5.3.7】 食品厂从生产的罐头中随机抽取15个称量其重量，得样本方差s2 =1.652（克2 ），设罐头重量服从正态分布，试求其方差的置信水平为90%的置信区间。,解:已知n15，1-90% ,s2 =1.652 查卡方分布表的：,故总体方差的置信水平为90%的置信区间为1.61，5.8,5.4 两个总体参数的区间估计,1. 总体均值之差的区间估计 2. 总体比例之差的区间估计 3. 总体方差之比的区间估计,两个总体参数的区间估计,两个总体均值之差的区间估计 (独立大样本),两个总体均值之差的估计 (大样本),1. 假定条件 两个总体都服从正态分布，1、 2已知 若不是正态分布, 可
27、以用正态分布来近似(n130和n230) 两个样本是独立的随机样本 使用正态分布统计量 z,两个总体均值之差的估计 (大样本),1. 1， 2已知时，两个总体均值之差1-2在1- 置信水平下的置信区间为,1、 2未知时，两个总体均值之差1-2在1- 置信水平下的置信区间为,两个总体均值之差的估计 (例题分析),【例】某地区教育委员会想估计两所中学的学生高考时的英语平均分数之差，为此在两所中学独立抽取两个随机样本，有关数据如右表 。建立两所中学高考英语平均分数之差95%的置信区间,两个总体均值之差的估计 (例题分析),解: 两个总体均值之差在1-置信水平下的置信区间为,两所中学高考英语平均分数之
28、差的置信区间为 5.03分10.97分,两个总体均值之差的区间估计 (独立小样本),两个总体均值之差的估计 (小样本: 12= 22 ),1. 假定条件 两个总体都服从正态分布 两个总体方差未知但相等：1=2 两个独立的小样本(n130和n230) 总体方差的合并估计量,估计量x1-x2的抽样标准差,两个总体均值之差的估计 (小样本: 12=22 ),1.两个样本均值之差的标准化,2.两个总体均值之差1-2在1- 置信水平下的置信区间为,两个总体均值之差的估计 (例题分析),【例】为估计两种方法组装产品所需时间的差异，分别对两种不同的组装方法各随机安排12名工人，每个工人组装一件产品所需的时间
29、（分钟）下如表。假定两种方法组装产品的时间服从正态分布，且方差相等。试以95%的置信水平建立两种方法组装产品所需平均时间差值的置信区间,两个总体均值之差的估计 (例题分析),解: 根据样本数据计算得合并估计量为：,两种方法组装产品所需平均时间之差的置信区间为 0.14分钟7.26分钟,两个总体均值之差的估计 (小样本: 12 22 ),1. 假定条件 两个总体都服从正态分布 两个总体方差未知且不相等：12 两个独立的小样本(n130和n230) 2. 使用统计量,两个总体均值之差的估计 (小样本: 1222 ),两个总体均值之差1-2在1- 置信水平下的置信区间为,两个总体均值之差的估计 (例
30、题分析),【例】沿用前例。假定第一种方法随机安排12名工人，第二种方法随机安排名工人，即n1=12，n2=8 ，所得的有关数据如表。假定两种方法组装产品的时间服从正态分布，且方差不相等。以95%的置信水平建立两种方法组装产品所需平均时间差值的置信区间,两个总体均值之差的估计 (例题分析),解: 根据样本数据计算得自由度为：,两种方法组装产品所需平均时间之差的置信区间为 0.192分钟9.058分钟,两个总体比率之差的区间估计,1. 假定条件 两个总体服从二项分布 可以用正态分布来近似 两个样本是独立的 2. 两个总体比率之差1- 2在1- 置信水平下的置信区间为,两个总体比率之差的区间估计,两
31、个总体比率之差的估计 (例题分析),【例】在某个电视节目的收视率调查中，农村随机调查了400人，有32%的人收看了该节目；城市随机调查了500人，有45%的人收看了该节目。试以90%的置信水平估计城市与农村收视率差别的置信区间,两个总体比率之差的估计 (例题分析),解: 已知 n1=500 ，n2=400， p1=45%， p2=32%，1- =95%， z/2=1.961- 2置信度为95%的置信区间为,城市与农村收视率差值的置信区间为6.68%19.32%,两个总体方差比的区间估计,两个总体方差比的区间估计,1. 比较两个总体的方差比 2.用两个样本的方差比来判断 如果S12/ S22接近
32、于1,说明两个总体方差很接近 如果S12/ S22远离1,说明两个总体方差之间存在差异 3. 总体方差比在1-置信水平下的置信区间为,两个总体方差比的区间估计 (图示),两个总体方差比的区间估计 (例题分析),【例】为了研究男女学生在生活费支出(元)上的差异，在某大学各随机抽取25名男学生和25名女学生，得到下面的结果：男学生：女学生：试以90%置信水平估计男女学生生活费支出方差比的置信区间,两个总体方差比的区间估计 (例题分析),解:根据自由度 n1=25-1=24 ，n2=25-1=24，查得 F/2(24)=1.98， F1-/2(24)=1/1.98=0.50512 /22置信度为90
33、%的置信区间为,男女学生生活费支出方差比的置信区间为0.471.84,5.5 样本容量的确定,1 影响样本容量的因素 2 估计总体均值时样本容量的确定 3 估计总体比例时样本容量的确定,估计总体均值时样本容量的确定,估计总体均值时样本容量n为,其中d为绝对误差,估计总体均值时样本容量的确定 (例题分析),【例5.4.1】在某企业中采用简单随机抽样调查职工月平均奖金额，设职工月奖金额服从标准差为10元的正态分布，要求估计的绝对误差为3元，可靠度为95%，试问应抽多少职工？,估计总体均值时样本容量的确定 (例题分析),解: 已知 =10，d=3, 1-=95%， 则样本容量为：,即应抽取43人作为样本,估计总体比例时样本容量的确定,根据比例区间估计公式可得样本容量n为:,其中：,估计总体比例时样本容量的确定 (例题分析),【例】根据以往的生产统计，某种产品的合格率约为90%，现要求绝对误差为5%，在求95%的置信区间时，应抽取多少个产品作为样本？,应抽取139个产品作为样本,解:已知=90%，=0.05， z/2=1.96，d=5% 应抽取的样本容量为:,5.5 Excel的应用,本章小结,抽样分布 总体参数的区间估计 样本容量的确定 Excel的应用,结 束,THANKS,第五章抽样与参数估计,
