1、第 1 页 共 18 页6.不等式选讲6.1 均值不等式在证明中的应用1. （1）已知 ，求证： ；,abRxy22xyab（2）已知实数 满足： ，试利用（1 ）求 的最小值。,221xy（1）证： 22 222xybxayab（当且仅当 时，取等号）；22xyaab（2）解： ，当且仅当 时， 的最小222 119xyxy213xy21xy值是 。9考点：均值不等式在证明中的应用、综合法证明不等式6.2 绝对值不等式6.2.1 单绝对值不等式2. 已知函数 若函数 恰有 个零点，则实数 的254,0()xxf()yfxa4a取值范围为_.第 2 页 共 18 页答案： (1,2)解析：分别
2、作出函数 与 的图像，()yfx|yax由图知， 时，函数 与 无交点，0af|时，函数 与 有三个交点，()yfx|yax故 0.a当 ， 时，函数 与 有一个交点，x2()yfx|yax当 ， 时，函数 与 有两个交点，0af|当 时，若 与 相切，xyx254,(1)x则由 得： 或 （舍），01a9因此当 ， 时，函数 与 有两个交点，x()yfx|yax当 ， 时，函数 与 有三个交点，01af|当 ， 时，函数 与 有四个交点，x()yfx|yax所以当且仅当 时，函数 与 恰有 个交点.12af|4第 3 页 共 18 页考点：单绝对值不等式3. 存在 ，使得不等式 成立 ，则实
3、数 的取值范围为0x2xtt_答案： 9,24解析：不等式 ，即 ，2xt2xt令 的图象是关于 对称的一个 字形图形，其象位于第一、二11,yttV象限；，是一个开口向下，关于 轴对称，最大值为 的抛物线；22yx y2要存在 ，使不等式 成立，02xt则 的图象应该在第二象限和 的图象有交点，1y 2y两种临界情况，当 时， 的右半部分和 在第二象限相切：0t12y的右半部分即 ，1y1yx第 4 页 共 18 页联列方程 ，只有一个解；2yxt即 ，即 ， ，得： ；2xt 0xt1480t94t此时 恒大于等于 ，所以 取不到；1y2y9所以 ；904t当 时，要使 和 在第二象限有交
4、点，1y2即 的左半部分和 的交点的位于第二象限；1y无需联列方程，只要 与 轴的交点小于 即可；1y2与 轴的交点为 ，所以 ，1ytxy(0,)tt又因为 ，所以 ；02t综上，实数 的取值范围是： ；t 924t故答案为： 9,24考点：单绝对值不等式6.2.2 同系数绝对值相加型不等式4. 已知函数 ， .()|21|fxxa()3gx（1）当 时，求不等式 的解集；af第 5 页 共 18 页（2）设 ，且当 时， ，求 的取值范围。1a1,)2ax()fxga（1）当 时，令 ，2a15,2213,61xyxx作出函数图像可知，当 时， ，(0,2)x0y故原不等式的解集为 ；（2
5、）依题意，原不等式化为 ，13ax故 对 都成立，xa1,2故 ，2故 ，43a故 的取值范围是 .41,3考点：同系数绝对值相加型不等式第 6 页 共 18 页6.2.3 同系数绝对值相减型不等式5. 已知函数 ()25fxx（1）证明： 3;f（2）求不等式 的解集。2()815fx（1） 3,2()7,5xf 当 时， ，所以，25x32x 3fx（2）由（1）可知当 时， 的解集为空集；x2()815fx当 时， 的解集为 25x|53x当 时， 的解集为x2()815fx|6综上：不等式 的解集：x|53x考点：同系数绝对值相减型不等式6.2.4 不同系数绝对值相加减型不等式6. 设
6、函数 21fxx（1）求不等式 的解集；f（2）若 恒成立，求实数 的取值范围21,xRtt第 7 页 共 18 页（1）由题意得 13,2(),xfx当 时，不等式化为 ，解得 ，12x325x当 时，不等式化为 ，解得 ，1x12x当 时，不等式化为 ，解得 ，x32综上，不等式的解集为 15x（2）由（1）得 ，若 ， 恒成立，min2fxR21fxt则只需 ，解得 ，in5fxt5t综上， 的取值范围为 t1,2考点：不同系数绝对值相加减型不等式6.3 已知绝对值不等式解求参数7. 设函数 ()3,0fxax(1)当 时，求不等式 的解集；1a()2f(2)如果不等式 的解集为 ，求
7、的值。()0fx1xa（1）当 时， 可化为 。1a32f|2由此可得 或 。x1故不等式 的解集为 或 。()32f|3x1第 8 页 共 18 页(2) 由 得 ()0fx30xa此不等式化为不等式组 或30xa30xa即 或4xa2xa因为 ，所以不等式组的解集为0a|2ax由题设可得 ，故=-122a考点：已知绝对值不等式解求参数6.4 已知绝对值不等式解的范围求参数范围8. 已知函数 .()|2|fxax（1）当 时，求不等式 的解集；3a()3f（2）若 的解集包含 ，求 的取值范围. ()|4|fx1,2a答案：（1）当 时，3a52()()|3|13xfxx所以不等式 可化为
8、，或 ，或()fx253x213x325x解得 或1x4因此不等式 的解集为 或()3f|1x4（2）由已知 |4|fx第 9 页 共 18 页即为 ，|2|4|xax也即 |若 的解集包含 ，()|4|fx1,2则 ， ，1,2|4|ax也就是 ， ，,x|2所以 ， ，1,2xa从而 ，a解得 30因此 的取值范围为 .a3,0a考点：已知绝对值不等式解的范围求参数范围、同系数绝对值不等式相加减6.5 含绝对值不等式的恒成立问题9. 已知函数 ，()21fxx（1）若对任意的 有 成立，求 的取值范围；()faa（2）若不等式 ，对于任意的 都成立，求 的取值范12()0abbfx,abx
9、围。（1）根据题意 , 小于等于 的最小值a()fx第 10 页 共 18 页由 14,2(),14,2xfx可得 min()f所以 2a（2）当 即 时， 恒成立，0bab20()fxxR当 时，由绝对值不等式得性质可得a，2(2)bba当且仅当 时取 ， 恒成立，()021ab，12()ababfx()2fxab，1()fx()2f2考点：含绝对值不等式的恒成立问题、同系数绝对值相加型不等式6.6 含绝对值不等式的能成立问题10.已知函数 .13fxx(1)求 的取值范围,使 为常数函数.xf(2)若关于 的不等式 有解,求实数 的取值范围.0fxaa第 11 页 共 18 页(1) 2,
10、31341,xfx则当 时, 为常数函数.fx(2)方法一:如图,结合(1)知函数 的最小值为 ,fx4实数 的取值范围为 .a4a方法二: ;1313xx,4等号当且仅当 时成立.3,1x得函数 的最小值为 ,则实数 的取值范围为 .f4a4a考点：含绝对值不等式的能成立问题6.7 利用绝对值的三角不等式放缩求最值11.已知实数 满足： 求证： ,xy1|,2|,36xyxy5|18y证明： ，3|=|2|2x由题设 1|,|,6xyxy.53|6.|18y第 12 页 共 18 页考点：绝对值的三角不等式6.8 数形结合在含参绝对值不等式中的应用12.已知函数 22()69816fxxx（
11、1）求 的解集；4f（2）设函数 ， ，若 对任意的 都成立，求实数()3)gxkR()fxgxR的取值范围k（1） ，22()69816fxxx22(3)(4)|3|4|xx，即 ,4f|3|4| 或 或 ,39x,9x3,49,x解得不等式： ；：无解；： ，5x所以 的解集为 或 ()4fx|5x4（2） 即 的图象恒在 图象的上方，fg()|3|f()3)gxk可以作出 的图象，21,4,()|4|73,xfx而 图象为恒过定点 ，且斜率 变化的一条直线，()3)gk(,0)Pk作出函数 图象， (,yfx()g其中 ， ，2,PBk4,7A1PAk由图可知，要使得 的图象恒在 图象的
12、上方，()fx()gx实数 的取值范围应该为 k12k第 13 页 共 18 页考点：同系数绝对值不等式相加型、 数形结合在含参绝对值不等式中的应用 7.证明不等式的基本方法7.1 比较法证明不等式13.设不等式 的解集是 ， |21|xM,ab（1）试比较 与 的大小；ab（2）设 表示数集 的最大数 求证：mxA2max,bh2.h答案：（1） （2 ）见解析1;ab解析：（1）先解出 |01.Mx.()(1)abab问题得证.（2）2max,bh第 14 页 共 18 页可知 ,2,abhh所以根据不等式的性质，同向正向不等式具有可乘性，从而可证出 .38h故 .2h考点：比较法证明不等
13、式7.2 综合法证明不等式7.3 分析法证明不等式14.已知 ,不等式 的解集为 .()1fxx()4fxM（1）求 ；M（2）当 时,证明: .,ab24ab（1）解不等式： ；1x或 或24x224或 或 ，11x1x. 22,M（2）需证明： ，224()816abab只需证明 ，22160b即需证明 (4)a第 15 页 共 18 页222,(,)4,(4)0,()ababab，20所以原不等式成立. 考点：分析法证明不等式7.4 反证法证明不等式15.设 且 证明：0,.ab1.ab（1） ；2（2） 与 不可能同时成立.a2b由 ， 得1=b0,.a1ab（1）由基本不等式及 ，有
14、 ，即 ；1b22ab（2）假设 与 同时成立，2a2则由 及 得 ，01a同理 ，01b从而 ，这与 矛盾，a1ab故 与 不可能同时成立.22考点：反证法证明不等式、均值不等式在证明中的应用8.5 放缩法证明不等式( 多为数列的题)16. 已知数列 的前 项和 满足 nanS2na第 16 页 共 18 页（1）求数列 的通项公式；na（2）设 ，记数列 的前 和为 ，证明： 1nbnbnT1032nT【答案】 （1） ；（2）详见解析.na【解析】试题分析：（1）考虑到 ，因此可以利用条件中的式子得到数列 的一个递推公式，从nnSa1 na而即可求解；（2）由（1）可知 ， ，从而可证
15、，进12nb21nnb02T一步放缩可得 ，求和即可得证.213nnn试题解析：（1） ，当 时， ，又nSa1112Saa ，与 两边分别相减得 ，得 ，1nSa2nnn 12nna又 ，12数列 是以 为首项， 为公比的等比数列， ，得 ；na212nna1na ， ， ，得12nb21nnb3420n nT，又 ，0nT2 13nnn 2112n n， .13n102nT第 17 页 共 18 页9.柯西不等式9.1 柯西不等式的代数形式17.已知关于 的不等式 的解集为xxab|24x求实数 的值；1,ab求 的最大值.212tt由 ，1xab得 则 ，24ba解得 3,1.24ttt22(3)1(4)(tt4t当且仅当 即 时等号成立，13tt故 .min24tt考点：柯西不等式的代数形式9.2 一般形式的柯西不等式18.已知函数 且 的解集为 ,()|2|,fxmR(2)0fx1第 18 页 共 18 页求 的值;(1)m若 且 求证2,abcR1,23mabc239.abc(1) ()0,fxx的解集是0,()mf1,故 .1由 知(2)1,23abcRa由柯西不等式得 2123(23)()1( 9.abcabcc考点：一般的柯西不等式
