椭圆基础知识与练习.doc-道客多多

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1、椭圆一、知识精析与点拨（一）椭圆的定义1、第一定义：平面上，与两个定点 F1、F 2 距离之和为常数（大于| F1F2|）的点的轨迹称为椭圆。两个定点F1、F 2 称为椭圆的焦点，两个焦点间的距离称为焦距。2、第二定义：平面上到一个定点 F（c，0）的距离与到一定直线 L：x= 的距离之比为常数 e （0b0)x2a2 y2b2 =1(ab0)y2a2 x2b2一般方程 Ax2Cy 2=F(A、C、F 同号)中心 O（0，0） O（0，0）参数方程 x= acosy= bsin x= bcosy= asin长轴长 2a 2a短轴长 2b 2b焦距 2c 2c离心率 e = ca e = ca

2、基本量的关系 a2=b2 c2，e = ， = ca ba 1-e2 a2=b2c 2，e = ， = ca ba 1-e2顶点（a，0 ）（0，b）（b，0）（0，a）焦点（c，0） (0，c)准线方程 x = a2c y = a2c准线距 2a2c 2a2c焦准距 p = b2c p = b2cM(x0，y 0)的焦点半径r 左 = aex 0r 右 = aex 0r 下 = aex 0r 上 = aex 0通径长 2b2a 2b2a对称轴方程 x=0，y =0 x=0，y =0（三）椭圆参数的几何意义，如下图所示：（1）|PF 1|+|PF2|=2a，| PM2|+|PM1|=

3、， = =e；c2|1PMF|2（2） , ；1FA221Aacac1（3）|BF 2|=|BF1|=a，| OF1|=|OF2|=c；MxyF1 F2OO xF1 MyF2BP M2K2A2F2F1A1M1K1 oyx（4）|F 1K1|=|F2K2|=p= ，cb221ABab（四）点、直线与椭圆的位置关系1、点 P（x 0，y 0）和椭圆 =1（a b0）的关系2xy（1）点 P 在椭圆内（含焦点） 1（其中 ab0）20axby2、直线与椭圆的位置关系直线与椭圆的位置关系也可通过讨论直线方程与椭圆方程组成的方程组的实数解的个数来确定，通常消去方程组中变量 y（或 x）得到关于 x（或

4、 y）的一元二次方程，考虑该方程的判别式，则有：（1）0 直线与椭圆相交于两点；设 AB 为椭圆 =1 的弦，A（x 1，y 1），B （x 2，y 2），弦中点 M（x 0，y 0），2ab则弦长|AB|= =|x2x 1| =|y2y 1| (kAB0)； 1212)()(yx1 kAB 2 1 1kAB 2(其中 kAB = = ；|x 2x 1|= ;|y2y 1|= )y0a4)(x 2114)(y直线 AB 的方程为 yy 0= (xx 0) ；线段 AB 的垂直平分线方程为 yy 0= (xx 0)；2b 2ba焦点弦：AB 为椭圆 =1 的焦点弦的长|AB| 左 =e（x

5、 1x 2）2a（或|AB| 右 =2a e（x 1x 2），ax通径长为（其中 ab0）2b2a（2）=0 直线与椭圆相切；设 M（x 0，y 0）为椭圆 =1 上的点，则以 M 为切点的切线方程为 =1；2xy 20axby设 M（x 0，y 0）为椭圆 =1 外的点，则过 M 引椭圆的切线，切点弦所在直线的方程为ab =1（其中 ab0）20ab椭圆与直线相切的条件是。21()xy0AxByC22AaBbc设切线的斜率为 K，则椭圆的切线方程为21()abkkxy（3）c0)的点的轨迹是左半个椭圆cax2D到定直线和定点 F(c，0) 的距离之比为 (ac0)的点的轨迹是

6、椭圆ax2 c2若椭圆的两焦点为（2，0）和（2，0），且椭圆过点，则椭圆方程是（）)23,5A B C D1482y1602xy1842xy1602yx3若方程 x2+ky2=2 表示焦点在 y 轴上的椭圆，则实数 k 的取值范围为（）A （0，+） B （0， 2） C （1，+） D （0，1）4设定点 F1（0，3）、F 2（0，3），动点 P 满足条件，则点 P 的轨迹是)(921aPFA椭圆 B线段 C不存在 D椭圆或线段5椭圆和具有（）2byaxkbyax2A相同的离心率 B相同的焦点 C相同的顶点 D相同的长、短轴6若椭圆两准线间的距离等于焦距的 4

7、倍，则这个椭圆的离心率为（）A B C D 41242217已知是椭圆上的一点，若到椭圆右准线的距离是，则点到左焦点的距离是P13602yxP7PA B C D516587588椭圆上的点到直线的最大距离是（）42yx 02yxA3 B C D1 109在椭圆内有一点 P（1，1），F 为椭圆右焦点，在椭圆上有一点 M，使|MP|+2|MF|的值最小，则这一2yx最小值是（）A B C3 D4252710过点 M（2，0）的直线 m 与椭圆交于 P1，P 2，线段 P1P2 的中点为 P，设直线 m 的斜率为 k1（2yx），直线 OP 的斜率为 k2，则 k

8、1k2 的值为（）1kA2 B2 C D12 12二、填空题（本题共 4 小题，每小题 6 分，共 24 分）11离心率，一个焦点是的椭圆标准方程为 _ .1e3,0F12与椭圆 4 x 2 + 9 y 2 = 36 有相同的焦点,且过点( 3，) 的椭圆方程为_13已知是椭圆上的点，则的取值范围是_ P, 1542xyx14已知椭圆的短轴长为 6，焦点到长轴的一个端点的距离等于，则椭圆的离心率等于_三、解答题（本大题共 6 题，共 76 分）15已知椭圆的对称轴为坐标轴，离心率，短轴长为，求椭圆的方程(12 分)32e5816已知 A、B 为椭圆 + =1 上两点，F 2

9、为椭圆的右焦点，若 |AF2|+|BF2|= a，AB 中点到椭圆左准线的距离2ax95y 58为，求该椭圆方程(12 分 )2317过椭圆引两条切线 PA、PB 、A 、4:),(148: 202 yxOyxPyxC向圆上一点B 为切点，如直线 AB 与 x 轴、y 轴交于 M、N 两点（1）若，求 P 点坐标；（2）求直线 AB 的方程（用表示）；0PA 0,yx（3）求MON 面积的最小值（O 为原点）(12 分)18椭圆与直线交于、两点，且，其中为坐标原点.12byax01yxPQOQP（1）求的值；（2）若椭圆的离心率满足，求椭圆长轴的取值范围.(

10、12 分)e3e219一条变动的直线 L 与椭圆 + =1 交于 P、Q 两点，M 是 L 上的动点，满足关系|MP|MQ|=2若直线 L 在42xy变动过程中始终保持其斜率等于 1求动点 M 的轨迹方程，并说明曲线的形状（14 分）20椭圆的中心是原点 O，它的短轴长为，相应于焦点 F（c，0）（）的准线与 x 轴相交于点2lA，|OF|=2|FA| ，过点 A 的直线与椭圆相交于 P、Q 两点 .（1）求椭圆的方程及离心率；（2）若，求直线 PQ 的方程；O（3）设（），过点 P 且平行于准线的直线与椭圆相交于另一点 M，证明 .（14QP1l FQ分）参考答案一、选择

11、题（本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案 D D D A A D B D C D二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 6 分，共 24 分）11 12 13 1412736xy1052yx13,54三、解答题（本大题共 6 题，共 76 分）15(12 分) 解析:由，椭圆的方程为：或 .2234cbae81a18042yx18042x16(12 分) 解析：设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，由焦半径公式有 aex 1+aex 2= ，x 1+x2= ，,54e5a即 AB 中点横坐标为，又左准线方程为，

13、OP OQ x 1 x 2 + y 1 y 2 = 0),()(21yxP又将0)(,1 212 xyx代入上式得：代入x，2ba)(baba ,221ba代入化简得 .21x 2(2) 又由（1）知,313122 aaace 12a，长轴 2a .62545 6,519(14 分)解析：设动点 M(x，y)，动直线 L：y=x+m，并设 P(x1，y 1)，Q(x 2，y 2)是方程组的解，消去 y，得042,yxm3x2+4mx+2m24=0，其中 =16m212(2m 24)0， m ，且 x1+x2= ，x 1x2= ，又63|MP|= |xx 1|，|MQ|= |xx

14、 2|由|MP|MQ|=2 ，得|xx 1|xx 2|=1，也即|x2(x 1+x2)x+x1x2|=1，于是有 m=yx， |x 2+2y24|=3由 x2+2y24=3，得椭圆夹在直线.34m 172x间两段弧，且不包含端点由 x2+2y24=3，得椭圆 x2+2y2=16xy20(14 分) 解析：（1）由题意，可设椭圆的方程为 .由已知得)(1ay).(,2ca解得，所以椭圆的方程为，离心率 .2,ca26x36e（2）解：由（1）可得 A（3，0） .设直线 PQ 的方程为 .由方程组)(xky)3(,12xky得，依题意，得 .6278)3(2kxk 03216设，则， . ，由直线 PQ 的方程得),(,1yQxP382167kx.于是 . )(2y 9)(3)(2122121 xy ， . ，由得，从而 .0O01x56,5所以直线 PQ 的方程为或 .5y0x（2）证明： .由已知得方程组),3(),3(21yAAP注意，解得，因，故.126,321yxx152x),()0,1yxMF.),13(),(2yxFM ),2(),2(1yy而，所以 .,2yxQFQ

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