1、 1二项式定理 nullnullnull式定理 ( ) ( )0 1 1 2 2 2 .n n n n n nn n n na b C a C a b C a b C b n + = + + + + N 这个公式表示的定理null做nullnull式定理 nullnullnull式系数、nullnull式的通null 0 1 1 2 2 2 .n n n n nn n n nC a C a b C a b C b + + + + null做 ( )na b+ 的nullnull展开式，其中的系数( )0, 1, 2, .,rnC r n= null做nullnull式系数，式中的 r n r
2、rnC a b null做nullnull展开式的通null，用 1rT + 表示，即通null为展开式的第 1r + nullnull 1 r n r rr nT C a b+ = nullnullnull式展开式的各null幂指数 nullnull式 ( )na b+ 的展开式null数为 1n + null，各null的幂指数状况是 null各null的次数都等于nullnull式的幂指数 n null字母 a的按降幂排列，从第一null开始，次数由 n逐nullnull 1 直到零，字母 b 按升幂排列，从第一null起，次数由零逐null增 1 直到 n null几点注意 null通
3、null 1 r n r rr nT C a b+ = 是 ( )na b+ 的展开式的第 1r + null，这里 0, 1, 2, .,r n= nullnullnull式 ( )na b+ 的 1r + null和 ( )nb a+ 的展开式的第 1r + null r n r rnC b a 是有区别的，应用nullnull式定理时，其中的 a和 b 是null能随便交换的 null注意nullnull式系数null rnC nullnull展开式中对应null的系数null一定相等，nullnull式系数一定为正，而null的系数有时可为负 null通null公式是 ( )na b+
4、 这个标准形式null而言的，如 ( )na b 的nullnull展开式的通null公式是( )1 1 r r n r rr nT C a b+ = nullnullnull把 b 看null b 代入nullnull式定理null这null 1 r n r rr nT C a b+ = 是null同的，在这知识内容 求展开式中的指定项 里对应null的nullnull式系数是相等的都是 rnC ，但null的系数一个是 ( )1 r rnC ，一个是 rnC ，可看出，nullnull式系数nullnull的系数是null同的概念 null设 1,a b x= = ，则得公式null (
5、) 1 2 21 1 . .n r r nn n nx C x C x C x x+ = + + + + + + null通null是 1rT + = r n r rnC a b ( )0, 1, 2, .,r n= 中含有 1 , , , ,rT a b n r+ 五个元素， null要知道其中四个即可求第五个元素 null当 nnull是很大， x 比较小时可以用展开式的前几null求 (1 )nx+ 的近似值 2二项式系数的性质 null杨辉null角形null 对于 n是较小的正整数时，可以直接写出各null系数而null去套用nullnull式定理，nullnull式系数也可以直接用
6、杨辉null角计算 杨辉null角有如null规律nullnull左、右两边斜行各数都是 1其余各数都等于它肩null两个数字的和null nullnullnull式系数的性质null ( )na b+ 展开式的nullnull式系数是null 0 1 2, , , ., nn n n nC C C C ，从函数的角度看 rnC 可以看null是 r 为自变null的函数 ( )f r ，其定义域是null 0, 1, 2, 3, ., n 当 6n = 时， ( )f r 的图象为null图null 这样null们利用null杨辉null角null和 6n = 时 ( )f r 的图象的直n
7、ull来帮助null们研究nullnull式系数的性质 null对称性nullnull首末两端null等距离null的两个nullnull式系数相等 null实null，这一性质可直接由公式 m n mn nC C = 得到 null增null性null最大值 如果nullnull式的幂指数是偶数，中间一null的nullnull式系数最大null 如果nullnull式的幂指数是奇数，中间两null的nullnull式系数相等并且最大 由于展开式各null的nullnull式系数null次是 ( )0 1 2 11, ,1 1 2n n nn nnC C C = = = ， ( )( )3
8、1 21 2 3nn n nC = ， ( )( ) ( )( )1 1 2 . 21 2 3 . 1knn n n n kCk += ，( )( ) ( )( )( )1 2 . 2 11 2 3. 1knn n n n k n kCk k + += ， 1nnC = 其中，后一个nullnull式系数的分子是前一个nullnull式系数的分子乘以逐次null小 1 的数null如, 1, 2, .n n n null，分母是乘以逐次增大的数null如 1，2，3，null因为，一个自然数乘以一个大于 1 的数则变大，而乘以一个小于 1 的数则变小，从而当 k 依次取 1，2，3，等值时，
9、rnC 的值转化为null递增而递null了又因为null首末两端null等距离null的两null的式系数相等，所以nullnull式系数增大到某一null时就逐渐null小，且nullnull式系数最大的null必在中间 当 n是偶数时， 1n + 是奇数，展开式共有 1n + null，所以展开式有中间一null，并且这一null的nullnull式系数最大，最大为 2nnC 当 n是奇数时， 1n + 是偶数，展开式共有 1n + null，所以有中间两null 这两null的nullnull式系数相等并且最大，最大为1 12 2n nn nC C += nullnullnull式系数
10、的和为 2n ，即 0 1 2 . . 2r n nn n n n nC C C C C+ + + + + + = null奇数null的nullnull式系数的和等于偶数null的nullnull式系数的和，即 0 2 4 1 3 5 1. . 2nn n n n n nC C C C C C+ + + = + + + = 常null题型有null 求展开式的某些特定null、null数、系数，nullnull式定理的逆用，赋值用，简单的组合数式问题 null例 1null 6312x 的展开式中的第四null是 null例 2null 6x yy x 的展开式中， 3x 的系数等于 _ _
11、 典例分析 null例 3null ( ) ( )3 531 2 1x x+ 的展开式中 x的系数是 A 4 B 2 C 2 D 4 null例 4null 若9ax x 的展开式中 3x 的系数是 84 ，则 a = null例 5null 5ax x + ( )xR 展开式中 3x 的系数为 10，则实数 a等于 A 1 B 12 C 1 D 2 null例 6null 若 20 1 2(1 2 )n nnx a a x a x a x = + + + +L ，则 2a 的值是null null A 84 B 84 C 280 D 280 null例 7null 8( 2 )x y 的展开
12、式中 6 2x y null的系数是null null A 56 B 56 C 28 D 28 null例 8null 若 ( )5 5 45 4 1 03 1x a x a x a x a+ = + + + ，则 2a 的值为null null A 270 B 270 2x C 90 D 90 2x null例 9null 6 4(1 ) (1 )x x + 的展开式中 x的系数是 _null用数字作答null null例 10null 在 2 5( 4 2)x x+ + 的展开式中， x的系数为 _null用数字作答null null例 11null 在 2 5( 4 2)x x+ + 的
13、展开式中， 2x 的系数为 _null用数字作答null null例 12null 在 2 5( 4 2)x x+ + 的展开式中， 3x 的系数为 _null用数字作答null null例 13null 求 2 9 4( 3 1) (2 1)x x x+ + 展开式中含 2x 项系数 null例 14null 在 2 6(1 ) (1 ) (1 )x x x+ + + + + +L 的展开式中， 2x 项的系数是 null用数字作答null null例 15null 2 3 4 5( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)x x x x x + + 的展开式中 2x 的系数等于 _nu
14、ll用数字作答null null例 16null 2 91( )2x x 展开式中 9x 的系数是 _null用数字作答null null例 17null 在 8( 1)( 1)x x + 的展开式中 5x 的系数是null null A 14 B 14 C 28 D 28 null例 18null 在 ( 1)( 2)( 3)( 4)( 5)x x x x x 的展开式中，含 4x 的项的系数是null null A 15 B 85 C 120 D 274 null例 19null 在 5 6 7 8 9(1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 )x x x x x + + + + 的
15、展 开 式 中 ， 含 3x 项 的 系 数 是 null用数字作答null null例 20null 求 2 6(1 )x x+ 展开式中 5x 的系数 null例 21null 6 4(1 ) (1 )x x + 的展开式中 x的系数是 _null用数字作答null null例 22null 在 2 5( 4 2)x x+ + 的展开式中， x的系数为 _null用数字作答null null例 23null 在 2 5( 4 2)x x+ + 的展开式中， 2x 的系数为 _null用数字作答null null例 24null 在 2 5( 4 2)x x+ + 的展开式中， 3x 的系数
16、为 _null用数字作答null null例 25null 求 2 9 4( 3 1) (2 1)x x x+ + 展开式中含 2x 项系数 null例 26null 在 2 6(1 ) (1 ) (1 )x x x+ + + + + +L 的展开式中， 2x 项的系数是 null用数字作答null null例 27null 2 3 4 5( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)x x x x x + + 的展开式中 2x 的系数等于 _null用数字作答null null例 28null 2 91( )2x x 展开式中 9x 的系数是 _null用数字作答null null例 29
17、null 在 8( 1)( 1)x x + 的展开式中 5x 的系数是null null A 14 B 14 C 28 D 28 null例 30null 在 ( 1)( 2)( 3)( 4)( 5)x x x x x 的展开式中，含 4x 的项的系数是null null null Anull 15 null Bnull 85 null Cnull 120 null Dnull 274 null例 31null 在 5 6 7 8 9(1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 )x x x x x + + + + 的 展 开 式 中 ， 含 3x 项 的 系 数 是 null用数字作答nul
18、l null例 32null 求 2 6(1 )x x+ 展开式中 5x 的系数 null例 33null 在二项式52 1xx 的展开式中，含4x 的项的系数是null null A 10 B 10 C 5 D 5 null例 34null 3 4(1 2 ) (1 )x x+ 的展开式中 x的系数是 _， 2x 的系数为 _ null例 35null 411 (1 )xx + + 的展开中含 2x 的项的系数为null null A 4 B 6 C 10 D 12 null例 36null ( ) ( )6 41 1x x + 的展开式中 x的系数是null null A 4 B 3 C
19、3 D 4 null例 37null 求 ( ) ( )3 101 1x x + 展开式中 5x 的系数； null例 38null 在二项式52 1xx 的展开式中，含4x 的项的系数是null null A 10 B 10 C 5 D 5 null例 39null 6( 2)x + 的展开式中 3x 的系数是null null A 20 B 40 C 80 D 160 null例 40null 在 4(1 )x+ 的展开式中， x的系数为 null用数字作答null null例 41null 在 ( ) ( )3 33 3(1 ) 1 1x x x+ + + + + 的展开式中， x的系数为 _ null用数字作答null null例 42null 91x x 的二项展开式中含 3x 的项的系数为null null A 36 B 84 C 36 D 84 null例 43null 若 2 61( )x ax+ 的二项展开式中 3x 的系数为 5 ,2 则 a = null用数字作答null
