1、 1null 配 方 法 所谓配方null就是把一个解析式利用恒等变形的方法null把null中的某些项配null一个或几个多项式null整数次幂的和形式null通过配方解决数学问题的方法null配方法nullnull中null用的最多的是配null完全平方式null配方法是数学中一种null要的恒等变形的方法null它的应用十分非常广泛null在因式分解null化简根式null解方程null证明等式和null等式null求函数的极值和解析式等方面都null常用到它null 例 题 null 用 配 方 法 解 方 程 x2+4x+1称0null null 过 配 方 null 得 到 ( )
2、 致null(x+2) 2称5 Bnull(xnull2) 2称5 件null(xnull2) 2称3 价null(x+2) 2称3 null分析null配方法null若null次项系数null1null则常数项是一次项系数的一半的平方null若null次项系数nullnull1null则可先提取null次项系数null将null化null1后再计算null null解null将方程x 2+4x+1称0null 移向得nullx 2+4x称null1null 配方得nullx 2+4x+4称null1+4null 即(x+2) 2称3null 因null选价null 2null 因 式 分 解
3、 法 因式分解null就是把一个多项式化null几个整式乘null的形式null因式分解是恒等变形的基础null它作null数学的一个有力工nullnull一种数学方法在代数null几何nullnull角等的解题中起着null要的作用null因式分解的方法有许多null除中学课本null介绍的提取公因式法null公式法null分组分解法null十null相乘法等外nullnull有如利用拆项添项null求根分解null换元nullnull定系数等等null 例 题 null 若 多 项 式 x2+造x-3因 式 分 解 的 结 果 null null x-1null null x+3null
4、null 则 造的 值 null null null 致null-2 Bnull2 件null0 价null1 null分析null 根据因式分解null整式乘法是相反方向的变形null先将nullx-1nullnullx+3null乘法公式展开null再根据对应项系数相等求出造的值null null解null nullx 2+造x-3因式分解的结果nullnullx-1nullnullx+3nullnull 即x 2+造x-3称nullx-1nullnullx+3nullnull nullx 2+造x-3称nullx-1nullnullx+3null称x 2+2x-3null null造称2
5、null 因null选Bnull 3null 换 元 法 换元法是数学中一个非常null要而且应用十分广泛的解题方法nullnull们通常把未知数或变数nullnull元null所谓换元法null就是在一个比较复杂的数学式子中null用新的变元去代替原式的一个部分或改null原来的式子null使它简化null使问题易于解决null 例 题 null 已 知 (x2+y2+1)(x2+y2+3)=8null 则 x2+y2的 值 null null null Anull -5 或 1 Bnull 1 Cnull 5 Dnull 5 或 -1 null分析null解题时把 x2+y2nullnul
6、l一个整体来考虑null再运用因式分解法就比较简单 null解null设 x2+y2=tnull tnull 0null则原方程变形得 (t+1)(t+3)=8null化简得null (t+5)(t-1)=0null 解得null t1=-5null t2=1 又 tnull 0 null t=1 null x2+y2的值nullnull能是 1null 因null选 Bnull 4null 判 别 式 法 null 韦 达 定 理 一元null次方程 ax2+bx+c=0null anull bnull c属于 Rnull a0null根的判别null =b2-4acnullnull仅用来判
7、定根的性质null而且作null一种解题方法null在代数式变形null解方程 (组 )null解null等式null研null函数乃null几何nullnull角运算中都有非常广泛的应用null 韦达定理除了已知一元null次方程的一个根null求另一根null已知null个数的和nullnullnull求nullnull个数等简单应用外nullnull可以求根的对null函数null计论null次方程根的符号null解对null方程组null以及解一些有关null次曲线的问题等null都有非常广泛的应用null 注 意 null null =b2-4acnull 0null方程无实数根nu
8、ll即无解nullnull =b2-4ac =0null方程有null个相等的实数根nullnull =b2-4acnull 0null方程有null个null相等的实数根null 例 题 null null mnull 什 null 值 时 null 关 于 x的 方 程 01)1(2)4( 22 =+ xmxm 有 实 根 null null分析null题设中的方程未指明是一元null次方程nullnull是一元一次方程null所以应分 42 m null 0和 42 m 0null种情形讨论null null解nullnull 42 m null 0即 2=m 时null )1(2 +m
9、 0null方程null一元一次方程null总有实根null null 42 m 0即 2m 时null方程有根的条null是null null 208)4(4)1(2 22 +=+ mmm null 0null解得 mnull 25 nullnull mnull 25 且 2m 时null方程有实根null 综null所述nullnull mnull 25 时null方程有实根null 5null null 定 系 数 法 在解数学问题时null若先判断所求的结果null有某种确定的形式nullnull中含有某些null定的系数null而后根据题设条null列出关于null定系数的等式nul
10、l最后解出null些null定系数的值或找到null些null定系数间的某种关系null从而解答数学问题nullnull种解题方法nullnullnull定系数法null它是中学数学中常用的方法之一null 例题null 例1. 已知函数 ynull mx x nx224 31+ + 的最大值null只null最小值nullnull1null求null函数式null null分析null求函数的表达式null实际null就是确定系数 造nulln 的值null已知最大值null最小值实际是就是已知函数的值域null对分子或分母nullnull次函数的分式函数的值域易联想到null判别式法nul
11、lnull null解null 函数式变形nullnull (ynull造)x 2null4 3xnull(ynulln)null0null xR, 由已知得 ynull造0 null null(null4 3)2null4(ynull造)(ynulln)null0 即null y 2null(造nulln)ynull(造nnull12)null0 null null等式null的解集null(-1,只)null则null1null只 是方程 y 2null(造nulln)ynull(造nnull12)null0 的null根null 代入null根得null1 12 049 7 12 0+
12、+ + = + + =( )( )m n mnm n mn 解得nullmn=51 或mn=15 null ynull 5 4 3 1122x xx+ + 或者 ynullx xx224 3 51+ + null题null可由解集(-1,只)而设(ynull1)(ynull只)null0,即 y 2null6ynull只null0null然后nullnull等式null比较系数而得nullm nmn+ = = 612 7null解出 造nulln而求得函数式 ynull 6null 构 null 法 在解题时nullnull们常常会采用null样的方法null通过对条null和结论的分析nul
13、l构null辅null元素null它可以是一个图形null一个方程 (组 )null一个等式null一个函数null一个等null命题等null架起一座连接条null和结论的桥梁null从而使问题得以解决nullnull种解题的数学方法nullnull们nullnull构null法null运用构null法解题null可以使代数nullnull角null几何等各种数学知识互相渗透null有利于问题的解决null 例 题 null 如 图 null 在 ABC 中 null B=2 Cnull BAC 的 平 分 线 交 BC 于 点 Dnull 求 证 null ABnull BDnull AC
14、 null分析null若遇到null角形的角平分线时null常构null等腰null角形null借null等腰null角形的有关性质null往往能够找到解题途nullnull null解null延长 CB到点 Fnull使 BF=ABnull连接 AFnull则 BAFnull等腰null角形null且 F= 1.再根据null角形外角的有关性质null得出 ABD= 1+ F , 即 ABD=2 1=2 Fnull而 ABD=2 Cnull所以 C= 1= F null AFCnull等腰null角形null即 AF=ACnull又可得 FADnull等腰null角形 ,因null null
15、AF=DF=DB+BF=DB+AB,即 ABnull BDnull ACnull 7null 反 证 法 反证法是一种间接证法null它是先提出一个null命题的结论相反的假设null然后null从null个假设出发nullnull过null确的推理null导null矛盾null从而否定相反的假设null达到肯定原命题null确的一种方法null反证法可以分nullnull谬反证法 (结论的反面null有一种 )nullnull举反证法 (结论的反面nullnull一种 )null用反证法证明一个命题的null骤null大体null分nullnull (1)反设null (2)null谬nul
16、l (3)结论null 反设是反证法的基础nullnull了null确地作出反设null掌握一些常用的互null否定的表述形式是有必要的null例如null是 /null是nullnull在 /nullnull在null平行于 /null平行于null垂直于 /null垂直于null等于 /null等于null大 (小 )于 /null大 (小 )于null都是 /null都是nullnull少有一个 /一个null没有nullnull少有 n个 /null多有 (n一 1)个nullnull多有一个 /null少有null个null唯一 /null少有null个null null谬是反证法的
17、关键null导出矛盾的过程没有固定的模式null但必须从反设出发null否则推导将nullnull无源之水null无本之木null推理必须null谨null导出的矛盾有如null几种类型nullnull已知条null矛盾nullnull已知的公理null定nullnull定理null公式矛盾nullnull反设矛盾null自相矛盾null 例 题 null 若 P 是 null 条 异 面 直 线 lnull m 外 的 任 意 一 点 null 则 ( ) Anull过点 P有且仅有一条直线null lnull m都平行 Bnull过点 P有且仅有一条直线null lnull m都垂直 Cn
18、ull过点 P有且仅有一条直线null lnull m都相交 Dnull过点 P有且仅有一条直线null lnull m都异面 null分析null 对于 Anull若null在直线 nnull使 n l且 n m 则有 l mnullnull lnull m异面矛盾null对于 Cnull过点 P null lnull m都相交的直线null一定null在null反例如图 (l )null对于 Dnull过点 Pnull lnull m都异面的直线null唯一null null答案nullB 8null 面 null 法 平面几何中讲的面null公式以及由面null公式推出的null面nul
19、l计算有关的性质定理nullnull仅可用于计算面nullnull而且用它来证明平面几何题有时会收到null半null倍的效果null运用面null关系来证明或计算平面几何题的方法nullnullnull面null方法null它是几何中的一种常用方法null 用null纳法或分析法证明平面几何题nullnull困难在添置辅null线null面null法的特点是把已知和未知各null用面null公式联系起来null通过运算达到求证的结果null所以用面null法来解几何题null几何元素之间关系变null数null之间的关系nullnull需要计算null有时可以null添置补null线null
20、即使需要添置辅null线nullnull很容易考虑到null 例 题 null 如 图 2null C 是 线 段 AB null 的 一 点 null ACDnull BCE 都 是 等 边 null 角 形 null AEnull BD 相 交 于 Onull 求 证 null AOC= BOCnull 图 2 证 明 null 过点 C作 CP AEnull CQ BDnull垂足分别null Pnull Qnull 因null ACDnull BCE都是等边null角形null 所以 AC=CDnull CE=CBnull ACD= BCEnull 所以 ACE= DCB 所以 ACE
21、 DCB 所以 AE=BDnull 可得 CP=CQ 所以 OC平分 AOB 即 AOC= BOC 9null 几 何 变 换 法 在数学问题的研null中null常常运用变换法null把复杂性问题转化null简单性的问题而得到解决null所谓变换是一个集合的任一元素到同一集合的元素的一个一一映射null中学数学中所涉及的变换null要是初等变换null有一些看来很难甚null于无法null手的null题null可以借null几何变换法null化繁null简null化难null易null另一方面nullnull可将变换的观点渗透到中学数学教学中null将图形从相等静null条nullnull的
22、研null和运null中的研null结合起来null有利于对图形本质的认识null 几何变换包括nullnull 1null平移nullnull 2null旋转nullnull 3null对nullnull 例 题 null 1. 平 移 变 换 把图形中的某一个线段或者一个角移null到一个新的位置null使图形中分散的条null紧密地结合到一起null 一般有 2种方法null 1.平移已知条null 2.平移所求问题null把所求问题转化nullnull实就是逆向证明null几何题多数都是逆向思考的null 例 null 在 null 角 形 ABC 中 null BD=CE,求 证 n
23、ull AB+AC 大 于 AD+AEnull null 是 null 型 的 平 移 条 null 问 题 null null解nullnull们把null角形 AEC平移到如图所示的 FBD位置nullnullnull用了 BD=EC的条null null设 ABnull FD交于 P null样null容易构nullnull个全等的null角形 AEC,FBD 由于 PA+PD大于 AD PF+PB大于 BF null式相null PA+PB+PD+PF大于 AD+BF 又因null BF= AEnull AC= FD 所以 AB+AC大于 AD+AE 2.旋 转 变 换 把平面图形绕旋
24、转中心 ,旋转一个定角null使分散的条null集中在一起 . 例 null 如 图 ,等 腰 直 角 null 角 形 ABC 中 ,AB=AC, A=90,M,N null 斜 边 BC null null 点 且 MAN=45,求证 :BM2+CN2=MN2 null解null要证 BM2+CN2=MN2,容易想到勾股定理 .但是 BM,CN,MN都null在同一个null角形null ,所以 ,null们就设法将 BM,CN,MN移到同一null角形nullnull考虑到 ABC 是等腰null角形null且是直角null角形null将 ABM 绕点 A 逆时针旋转 90.使 AB n
25、ull AC null合 .得到 ACD null则 NCD null直角null角形 null需证明 MN=ND即可 因null MAN=45,所以 BAM+ NAC=45 null即 NAD=45 又因null AM=AD 所以 AND AMN 所以 MN=NDnull在直角 NDC中null有 ND2=NC2+DC2null所以 BM2+CN2=MN2 3.对 null 变 换 通过作关于某一直线或一点的对null图null把图形中的图形对null到另一个位置nullnull使分散的条null集中在一起null null出现以nullnull种情况时nullnull常考虑用null变换n
26、ull 1.出现了明显的轴对nullnull中心对null条null时null 2.出现了明显的垂线条null时null 例 ABC 中 , BAC=90, ACD null 等 边 null 角 形 null 已 知 DBC=2 DBAnull 求 DBAnull null解null由对null可知null BAE全等于 BAD null DE AB, 所以 BE=BD,AE=AD, ABE= ABD 因null DBC=2 DBA 所以 DBC= DBE 在 BCnull取点 Fnull使 BF=BE 又因null BAC=90 null DE AB 所以 DE BC null ADE=
27、DAC=60 所以 ADE是等边null角形 DE=AD=DC 因null EF关于 BD对null 所以 DF=DE=DC ,BF=BE=BD, 设 DBA=a 则 DBF=2a 因null BF=BDnull所以 BFD=null 180-2anull /2=90-a 由于 DF=DC null所以 DCF=90-a ACB=180-60-null 90-anull =30+a 因null ABC+ ACB=90null即 a+2a+30+a=90 null a=15 所以 DBA=a=15 10.客 观 性 题 的 解 题 方 法 选择题是给出条null和结论null要求根据一定的关系找
28、出null确答案的一类题型null选择题的题型构思精巧null形式灵活null可以比较全面地考察学生的基础知识和基本技能null从而增大了试卷的容null和知识覆盖面null 填空题是标准化考试的null要题型之一null它同选择题一样null有考查目标明确null知识复盖面广null评卷准确迅nullnull有利于考查学生的分析判断能力和计算能力等优点nullnull同的是填空题未给出答案null可以防null学生猜估答案的情况null 要想迅nullnullnull确地解选择题null填空题null除了null有准确的计算nullnull密的推理外nullnull要有解选择题null填空题
29、的方法null技巧nullnull面通过实例介绍常用方法null null 1null 直 接 推 演 法 null 直接从命题给出的条null出发null运用概念null公式null定理等进行推理或运算null得出结论null选择null确答案nullnull就是传统的解题方法nullnull种解法null直接推演法null null 2null 验 证 法 null 由题设找出合适的验证条nullnull再通过验证null找出null确答案null亦可将供选择的答案代入条null中去验证null找出null确答案nullnull法nullnull验证法nullnullnull代入法null
30、nullnull遇到定null命题时null常用null法null null 3null 特 殊 元 素 法 null用合适的特殊元素null如数或图形null代入题设条null或结论中去null从而获得解答nullnull种方法null特殊元素法null null 4null 排 除 null 筛 选 法 null 对于null确答案有且null有一个的选择题null根据数学知识或推理null演算null把nullnull确的结论排除null余null的结论再null筛选null从而作出null确的结论的解法null排除null筛选法null null 5null 图 解 法 null 借null于符合题设条null的图形或图象的性质null特点来判断null作出null确的选择nullnull图解法null图解法是解选择题常用方法之一null null 6null 分 析 法 null 直接通过对选择题的条null和结论null作详尽的分析nullnull纳和判断null从而选出null确的结果nullnullnull分析法null
