1、奥 赛 专 题 - 抽 屉 原 理专题介绍 把 4 只苹果放到 3 个抽屉里去，共有 4 种放法（请小朋友们自己列举），不论如何放，必有一个抽屉里至少放进两个苹果。同样，把 5 只苹果放到 4 个抽屉里去，必有一个抽屉里至少放进两个苹果。更进一步，我们能够得出这样的结论：把 n1 只苹果放到 n 个抽屉里去，那么必定有一个抽屉里至少放进两个苹果。这个结论，通常被称为抽屉原理。利用抽屉原理，可以说明（证明）许多有趣的现象或结论。不过，抽屉原理不是拿来就能用的，关键是要应用所学的数学知识去寻找“抽屉”，制造“抽屉”，弄清应当把什么看作“抽屉”，把什么看作“苹果”。经典例题【例 1】一个小组共有 1
2、3 名同学，其中至少有 2 名同学同一个月过生日。为什么？【分析】每年里共有 12 个月，任何一个人的生日，一定在其中的某一个月。如果把这12 个月看成 12 个“抽屉”，把 13 名同学的生日看成 13 只“苹果”，把 13 只苹果放进 12个抽屉里，一定有一个抽屉里至少放 2 个苹果，也就是说，至少有 2 名同学在同一个月过生日。 【例 2】任意 4 个自然数，其中至少有两个数的差是 3 的倍数。这是为什么？【分析与解】首先我们要弄清这样一条规律：如果两个自然数除以 3 的余数相同，那么这两个自然数的差是 3 的倍数。而任何一个自然数被 3 除的余数，或者是 0，或者是 1，或者是 2，根
3、据这三种情况，可以把自然数分成 3 类，这 3 种类型就是我们要制造的 3 个“抽屉”。我们把 4 个数看作“苹果”，根据抽屉原理，必定有一个抽屉里至少有 2 个数。换句话说，4 个自然数分成 3 类，至少有两个是同一类。既然是同一类，那么这两个数被3 除的余数就一定相同。所以，任意 4 个自然数，至少有 2 个自然数的差是 3 的倍数。想一想，例 2 中 4 改为 7，3 改为 6，结论成立吗？【例 3】有规格尺寸相同的 5 种颜色的袜子各 15 只混装在箱内，试问不论如何取，从箱中至少取出多少只就能保证有 3 双袜子（袜子无左、右之分）？【分析与解】试想一下，从箱中取出 6 只、9 只袜子
4、，能配成 3 双袜子吗？回答是否定的。按 5 种颜色制作 5 个抽屉，根据抽屉原理 1，只要取出 6 只袜子就总有一只抽屉里装2 只，这 2 只就可配成一双。拿走这一双，尚剩 4 只，如果再补进 2 只又成 6 只，再根据抽屉原理 1，又可配成一双拿走。如果再补进 2 只，又可取得第 3 双。所以，至少要取622=10 只袜子，就一定会配成 3 双。思考：1.能用抽屉原理 2，直接得到结果吗？2.把题中的要求改为 3 双不同色袜子，至少应取出多少只？3.把题中的要求改为 3 双同色袜子，又如何？【例 4】一个布袋中有 35 个同样大小的木球，其中白、黄、红三种颜色球各有 10 个，另外还有 3
5、 个蓝色球、2 个绿色球，试问一次至少取出多少个球，才能保证取出的球中至少有 4 个是同一颜色的球？【分析与解】从最“不利”的取出情况入手。最不利的情况是首先取出的 5 个球中，有 3 个是蓝色球、2 个绿色球。接下来，把白、黄、红三色看作三个抽屉，由于这三种颜色球相等均超过 4 个，所以，根据抽屉原理 2，只要取出的球数多于（4-1）3=9 个，即至少应取出 10 个球，就可以保证取出的球至少有 4 个是同一抽屉（同一颜色）里的球。故总共至少应取出 105=15 个球，才能符合要求。思考：把题中要求改为 4 个不同色，或者是两两同色，情形又如何？当我们遇到“判别具有某种事物的性质有没有，至少
6、有几个”这样的问题时，想到它抽屉原理，这是你的一条“决胜”之路。提示抽屉原理还可以反过来理解：假如把 n1 个苹果放到 n 个抽屉里，放 2 个或 2 个以上苹果的抽屉一个也没有（与“必有一个抽屉放 2 个或 2 个以上的苹果”相反），那么，每个抽屉最多只放 1 个苹果，n 个抽屉最多有 n 个苹果，与“n+1 个苹果”的条件矛盾。运用抽屉原理的关键是“制造抽屉”。通常，可采用把 n 个“苹果”进行合理分类的方法来制造抽屉。比如，若干个同学可按出生的月份不同分为 12 类，自然数可按被 3 除所得余数分为 3 类等等。【例 4】证明任意 11 个自然数，总能从中找到 2 个，使得它们之差是 1
7、0 的倍数。这里可以把 11 个数除以 10 的余数当做 苹果，总共 11 个余数。 而任何自然数除以 10 的余数可能是：0,1,2,3,.9 这 10 个数，把这 10 个余数当做抽屉。前面具体的 11 个余数放入后面这 10 个抽屉里，至少有一个抽屉里有=2 个数，表明肯定能从 11 个数中选出 2 个，使得他们除以 10 有相同的余数，于是这两个数之差就是 10 的倍数了。证毕。【例 5】一个小组共有 13 名同学，其中至少有 2 名同学同一个月过生日。为什么？【分析】每年里共有 12 个月，任何一个人的生日，一定在其中的某一个月。如果把这 12个月看成 12 个“抽屉” ，把 13
8、名同学的生日看成 13 只“ 苹果 ”，把 13 只苹果放进 12 个抽屉里，一定有一个抽屉里至少放 2 个苹果，也就是说，至少有 2 名同学在同一个月过生日。【例 6】任意 4 个自然数，其中至少有两个数的差是 3 的倍数。这是为什么？【分析与解】首先我们要弄清这样一条规律：如果两个自然数除以 3 的余数相同，那么这两个自然数的差是 3 的倍数。而任何一个自然数被 3 除的余数，或者是 0，或者是 1，或者是 2，根据这三种情况，可以把自然数分成 3 类，这 3种类型就是我们要制造的 3 个“抽屉”。我们把 4 个数看作“苹果”，根据抽屉原理，必定有一个抽屉里至少有 2 个数。换句话说，4
9、个自然数分成 3 类，至少有两个是同一类。既然是同一类，那么这两个数被 3 除的余数就一定相同。所以，任意 4 个自然数，至少有 2 个自然数的差是 3 的倍数。【例 7】有规格尺寸相同的 5 种颜色的袜子各 15 只混装在箱内，试问不论如何取，从箱中至少取出多少只就能保证有 3 双袜子（袜子无左、右之分）？【例 8】有红 ,黄,白三种颜色的小球各 10 个,每个人从中任意选择两个,那么至少需要几个人选择小球,才能保证必有两人或两人以上选择的小球的颜色完全相同 ?解：4+3=7【例 9】用红、蓝两种颜色将一个 25 方格图中的小方格随意涂色（见右图），每个小方格涂一种颜色。是否存在两列，它们的小方格中涂的颜色完全相同？分析与解：用红、蓝两种颜色给每列中两个小方格随意涂色，只有下面四种情形：将上面的四种情形看成四个“抽屉”。根据抽屉原理，将五列放入四个抽屉，至少有一个抽屉中有不少于两列，这两列的小方格中涂的颜色完全相同。
