1、第 二章 波函数和薛定谔方程 引言 2.1.1、 如何描述粒子的波动性 第二章 波函 数和薛定 谔 方程 第一部分 、波函 数的统计 诠释和 态叠加原 理 第 二章 波函数和薛定谔方程 引言 2.1.1、 如何描述粒子的波动性 引言 这一部分中，我们将以实验揭示出的微观粒子的波粒 二象性为 根据， 引出描写 微观粒 子状态的 波函数 ， 讨论波 函数的性 质，以 及量子力 学的态 叠加原理 。 第 二章 波函数和薛定谔方程 2.1 、波函数的统计诠释 2.1.1、 如何描述粒子的波动性 2.1、波 函数的 统 计诠释 2.1.1、 如 何描 述粒子的 波动性 自由粒子 ： 自由粒子 的波， 其
2、频率和波矢都不变，即为平面波， cos 2 x A vt = 。 如果波沿 单位矢 量n 的方向 传播， 则: 第 二章 波函数和薛定谔方程 2.1 、波函数的统计诠释 2.1.1、 如何描述粒子的波动性 。 改为复数 形式为 ， () i kr t Ae = ，或者 () i p r Et Ae = ， 这种波称 为德布 罗意波。 其中， Eh = = ， h p nk = = 。 第 二章 波函数和薛定谔方程 2.1 、波函数的统计诠释 2.1.2、 实物粒子波动性的两种 解释 场中的粒 子 ： 如果粒子受到随时间或位置变化的力的作用，则动能 和动量不 是常量 。用一个 函数表 示来描写
3、这个波 ， (;) rt = 。 那么，该如何理解波函数和它所描写的粒子之间的关 系呢？微 观粒子 的波粒二 象性该 怎么理解 呢？ 第 二章 波函数和薛定谔方程 2.1 、波函数的统计诠释 2.1.2、 实物粒子波动性的两种 解释 2.1.2、 实 物粒 子波动性 的两种 解释 (1)认为物质波是粒子 的某种实 际结构 ，即看成三维 空 间中连续 分布的 某种波包 。 波包是各种波数（长）平面波的迭加，自由粒子的物 质波包必 然会扩 散， 粒子 将越来 越 胖， 与实 验矛盾； 另外， 散射实验 观测到 的总是一 个一个 的电子， 从 未观 测到波包 的一部分 。 夸大了粒 子波动 性的一面
4、 ，抹杀 了粒子性 的一面 。 第 二章 波函数和薛定谔方程 2.1 、波函数的统计诠释 2.1.2、 实物粒子波动性的两种 解释 (2) 认为波 动性是 大量粒子 分布于 空间形成 的疏密 波 类似与空气振动出现的纵波。然而电子一个一个的通 过小孔， 但 只要时 间足够长， 底片上 逐渐呈现 出衍射 花纹， 这说明单 个电子 就具有波 动性。 夸 大了粒 子性 的一面， 抹杀了 粒子波动 性的一 面。 第 二章 波函数和薛定谔方程 2.1 、波函数的统计诠释 2.1.3、 概率波 以上两种解释都是错误的，电子既不是经典的粒子也 不是经典 的波。 电子的粒 子性 ： 有电荷 、 质量 等 粒子
5、属性 ， 但 没 有 确 切的轨道 概念。 电子的波 动性： 本质上是 指波的 相干叠加 性。 第 二章 波函数和薛定谔方程 2.1 、波函数的统计诠释 2.1.3、 概率波 2.1.3、 概 率波 1926 年， 玻恩(Born) 首先提 出了 波函数的 统计解 释， 即： 波函数在 空间某 一点的强 度 （振 幅绝对值 的平方 ） 和在该 点找到粒 子的概 率成正比 。 这样 ， 描述粒 子的波 乃是概率 波。 量子力学 的基本 假定之一 。 第 二章 波函数和薛定谔方程 2.1 、波函数的统计诠释 2.1.3、 概率波 描述微观 粒子状态 的波函 数为 (,) rt ，其强度为， 2 *
6、 = 。根据波函数的统 计诠释，在t 时刻 、r 点附近单位体 积 中找到粒 子的概 率为， ， 其中 是概率密度 ，C 是比例 常数。 这样，t 时刻、 附近d 体积元 中找到 粒子的概 率为， 第 二章 波函数和薛定谔方程 2.1 、波函数的统计诠释 2.1.3、 概率波 波函数的 归一化 粒子在整 个空间 中出现的 概率 为 1， 即要求波 函数 满足如 下条件， 2 | ( , )| 1 C rt d = ， 这称为波 函数的 归一化条 件 。 波 函数的归 一化条 件要求波 函数绝对 值平方 在全空间 可积。 则，比例 系数 C 可得， 2 1 | ( , )| C rt d = 。
7、 第 二章 波函数和薛定谔方程 2.1 、波函数的统计诠释 2.1.3、 概率波 粒子在空间各点出现的概率只决定于波函数在空间各点 的 相对强 度 。 这样如果 令， ， 波函数描 写的状 态并不 改变，归 一化条 件为, 。 波函数 称 为 归一化波函数 ， 常数 C 称为归一化因子 。 这样 和 描写的是粒子的同一个状态，只是 为归一化 波函数 ， 而 是没有 归一化 的波函数 。 第 二章 波函数和薛定谔方程 2.1 、波函数的统计诠释 2.1.3、 概率波 相位不定 性 如： ， 实数， ，即波函数 在归一 化后仍 然有一个 相位因子 i e 的不确 定性。 讨论： （1） 波函数 一
8、般 为复数 ， 不表 示 真实的物 理量 ， 只 有其模平 方 2 | 才有物理意义 。 第 二章 波函数和薛定谔方程 2.1 、波函数的统计诠释 2.1.3、 概率波 （2）由 于粒子 在 空间出现 的几率 为 1， 所以各 点 出现 的概率值 决定于 波函数在 空间各 点的相对 强度， 而不决定 于强度的 绝对大 小， 即使将 波函 数乘上常 数后所 描述的状 态不变。 C = ， 和 描述的是 同 一量子状 态。t 时 刻， 12 , rr 附近单位 体积内 找到粒子 的几率 之比为， 1 2 ( ,) ( ,) wr t wr t = 2 1 2 2 | ( , )| | ( , )|
9、 C rt C rt = 2 1 2 2 | ( , )| | ( , )| rt rt = 2 1 2 2 | ( , )| | ( , )| rt rt ， 第 二章 波函数和薛定谔方程 2.1 、波函数的统计诠释 2.1.3、 概率波 （3 ）归一 化条件并 不是唯一 的，对 于在 全空 间中对 波 函 数模平方 积分 为 1 的条 件， 对 于有 些波函数 是没有 意义的 。 比如自由 粒子波 函数， ， 就不 满足 这个条件 。 至于这种 波函数 如何归一 化的问 题，后面 再讨论 。 （4）归 一化的 波 函数可以 含有任 意相因子 。 第 二章 波函数和薛定谔方程 2.1 、波函
10、数的统计诠释 2.1.5、 统计诠释对波函数的要 求 2.1.5、 统 计诠 释对波函 数的要 求 （1）可 积性： 0 2 | ( , )| rt d = 有限值。 （2）归 一化( 如 平方可积) ： 2 | ( , )| 1 rt d = 。 （3） 单值性： 2 | ( , )| rt 具 有单值性。 注意: 不是 (,) rt 。 （4）连 续性： (,) rt 及 其各阶导 数连续 。 第 二章 波函数和薛定谔方程 2.2 、态叠加原理 2.1.5、 统计诠释对波函数的要 求 2.2、态 叠加原 理 量子力学中描述微观粒子量子状态的方式和经典力学 中用坐标 和动量 的确定值 来描述
11、 质点的状 态完全 不同， 这 种差别来 源于微 观粒子的 波粒二 象性。 波函 数的 统计诠释 是波粒二 象性的 一个表现 。 微观粒子的波粒二象性还通过量子力学中关于状态的 一个基本 原理 态叠加原 理表 现出来。 第 二章 波函数和薛定谔方程 2.2 、态叠加原理 2.2.1、 态函数及量子态 2.2.1、 态 函数 及量子态 当给定波 函数 ：粒子的位 置 是不 确定的， 粒子的几 率分布 是确定的 。 可以证明 ： 此 时 粒子的其 他可观 测量 （如 ： 能 量、 动量等） 的观测值 及其几 率分布也 是完全 确定的。 因此， 可以用来 完全描述 微观粒 子的状态 ， 称之 为 态
12、函数 。 而所描 写的状态 为量子 态。 第 二章 波函数和薛定谔方程 2.2 、态叠加原理 2.2.2、 态叠加原理 量子态 ： 微观粒子的 运动状态（物理状态） 。 各种 力学量 的值是不 确定的 ， 但是他们 的可 能值及其 分布几 率是确定 的。对这 种态的 描述是统 计性的 第 二章 波函数和薛定谔方程 2.2 、态叠加原理 2.2.2、 态叠加原理 2.2.2、 态 叠加 原理 经典物理 中， 声 波和光波 都遵循 叠加原理， 两个 可能的 波动过程 12 , 的线形迭加的结果 12 ab + 也是一个可能 的波动过 程。 量子力学中， 如果 12 , 是体系的可 能状态， 那么它
13、们 的线性迭 加， 11 2 2 cc = + ，( 12 , cc 为复数) ，也是 这个 体系的可 能状态 。这就是 量子力 学中的态 叠加原 理。 第 二章 波函数和薛定谔方程 2.2 、态叠加原理 2.2.2、 态叠加原理 此时，粒 子出现 的几率为 ， 如为双缝 衍射， 则， 第一项： 粒子穿 过狭缝 1 出 现在 P 点 的几率 ； 第二项： 粒子穿 过狭缝 2 出 现在 P 点 的几率 ； 第三、四 项： 的干涉相。 第 二章 波函数和薛定谔方程 2.2 、态叠加原理 2.2.2、 态叠加原理 因此， 可 以看到 ， 叠加是 指对态 （ ） 的叠 加， 而 不是对 概率（ ）的叠
14、加 。 态叠加原 理还有 如下含义 ：当粒 子处于态 1 和 2 的叠加 态 时， 粒子 既处 于态 1 （几率 为 ） 又 处于态 2 （几 率为 ） 。 第 二章 波函数和薛定谔方程 2.2 、态叠加原理 2.2.2、 态叠加原理 态迭加原 理的一 般表达式 ， nn n c = ， 12 , cc 为复数 。 当系统处 于态 时，体系部 分地处 在 中，相 应 的概率分 别为 。 叠加系数 的意义 ： ：表示了 量子态 在所有可 能的态 中所占的 比例。 因此， 具有几率 的意义。 第 二章 波函数和薛定谔方程 2.2 、态叠加原理 对叠加原理的认识 对叠加原 理的认 识 (1) 态 叠
15、加是 对 波函数的 叠加， 不是对概 率的叠 加； (2) 态 叠加是 同 一量子体 系自身 状态的叠 加； (3) 叠 加系数 的 模平方 2 | n c 具有几率 意义。 第 二章 波函数和薛定谔方程 2.2 、态叠加原理 2.2.3、 动量的几率分布 2.2.3、 动 量的 几率分布 具有确定 动量 的粒子的运 动状态 用波函数 表示为 由态叠加 原理， 粒子的状 态 可以表示为 取多种可 能 值的平面 波的线 性叠加： 由于 可以连续变 化，求和 改为积 分： 第 二章 波函数和薛定谔方程 2.2 、态叠加原理 2.2.3、 动量的几率分布 式中， ， 为归一化 因子。 将 乘以(6)
16、 式两边 ，并对 全空间积 分，得： 第 二章 波函数和薛定谔方程 2.2 、态叠加原理 2.2.3、 动量的几率分布 第 二章 波函数和薛定谔方程 2.2 、态叠加原理 2.2.3、 动量的几率分布 得， 比较： 上两式互 为傅立 叶变换式 ， ， 是波函数的 两 种不同的描述方式 。 是以坐标为自变量的波函数。 则是以动 量为自 变量的波 函数。 第 二章 波函数和薛定谔方程 2.2 、态叠加原理 2.2.3、 动量的几率分布 : t 时刻 ，粒子 处 于处的概 率; : t 时刻 ，粒子 具 有动量的 概率。 刻画粒子 在坐标 空间中的 分布概 率； 刻画粒子 在动量 空间中的 分布概 率；
