1、高三第一轮复习数学- 三角函数的最值一、教学目标：掌握三角函数最值的常见求法，能运用三角函数最值解决一些实际问题二、教学重点：求三角函数的最值三、教学过程：（一）主要知识：求三角函数的最值，主要利用正、余弦函数的有界性，一般通过三角变换化为下列基本类型处理： ，设 化为一次函数 在闭区间 上的最值求之；sinyaxbsintxyatb1,t ，引入辅助角 ，化为co22(cos,sin)ba求解方法同类型；2si() ，设 ，化为二次函数 在 上的nyaxbintx2ytc1,t最值求之； ，设 化为二次函数ico(icos)sicotx在闭区间 上的最值求之；2(1)tyt2,t ，设 化为
2、 用 法求值；当 时，还可用tancxbanx2atby0ab平均值定理求最值； 根据正弦函数的有界性，即可分析法求最值，还可“不等式”法或“数siyd形结合” （二）主要方法：（1） 认真观察函数式，分析其结构特征，确定类型。（2） 根据类型，适当地进行三角恒等变形或转化，这是关键的步骤。（3） 在有关几何图形的最值中，应侧重于将其化为三角函数问题来解决。2 特别说明注意变换前后函数的等价性，正弦、余弦的有界性及函数定义域对最值确定的影响，含参数函数的最值，解题要注意参数的作用和影响。（三）例题分析：1、化为一个角的三角函数，再利用有界性求最值。例 1：求函数 的最值，并求取得最值时的 值。
3、2sin3sico1yxxx解： 3(co)i= 11sin2ssin(2)6xx当 即 时， 取得最大值，,6k3kZymax12y当 即 时， 取得最小值， 。2,62xk()6xkZymx32iy练习：变式 1、函数 的最大值是 。40sincosi xy解： 214sin2cos12iincosi2 xxxy ,0,14sin,434,0 yx思维点拨：三角函数的定义域对三角函数有界性的影响。2、转化为闭区间上二次函数的最值问题。例 2 是否存在实数 a，使得函数 在闭区间 上的最大值2385cossin2axy 2,0是 1？若存在，求出对应的 a 值？若不存在，试说明理由。解： 2
4、185421cos2xy当 时， ，令 则 ，00xtcos10t,21854212aaty0t)(423 12854,2cos,0, 2max舍或 时即则 当时即 ayxt )(51285,0cos,0, max 舍时即则 当时即 ayt 32031123 舍时即则 当时即 xa综上知，存在 符合题意。23思维点拨：闭区间上的二次函数的最值问题字母分类讨论思路。练习变式 3: .2sincotsicot 的 最 值求 函 数 xxy解: 8741i2insinc1 2xy,y 有最小值 ,无最大值.时当 41cos1o0s xx3、换元法解决 同时出现的题型。xxcosin,si例 3 求函
5、数 的最值 。)(ay)20(a解： 2csicosinxx令 ，则 ，且有tsi ,21cosintx故 ，由 知当 时，y21)(21at 2,0(at；当 时， 。mixt 12maxy思维点拨：遇到 与 相关的问题，常采用换元法，但要注意xcosincsin的取值范围是 ，以保证函数间的等价转化。cosin,练习变式 4、求函数 的最小值。xyos34si解： xycn9cosin126令 ，则2.,4isi txt 21cosintx，732912162tty .t所以当 时，34t7miny4、图象法，解决形如 型的函数。dxbcaosi例 4、求函数 的值域。yin2c思维点拨：
6、此题为基本题型解决的方法很多，可用三角函数的有界性或万能公式，判别式法。这里以图象法的主求解。解：由 得 ，设点xysin2co32sin0coxy0,2cos,inQxP则 可看作是单位圆上的动点 P 与定点 Q 连线的斜率 ki令： ，圆心到直线的距离 ，得 或2xky 12kd313yy所以函数的值域为 。,例 5设 ，若方程 有两解，求 的取值范围。2,0xax)32sin(解：设 ，ayxy),32sin(要使两函数图象有交点（如图） ，则 。2思维点拨：在用数形结合法解题时，作图一定要准确。本题若改为方程有一解，则 的a范围又该怎样呢？5、利用不等式单调性求最值。例 6 求 的最值
7、及相应的 x 的集合。xysin2)3)(1(变式： 上的最大值为多少？，xi在思维点拨：利用基本不等式求最值时，等号不能取得时，可利用单调性。（四）巩固练习：1已知函数 在同一周期内，当 时，取得最大值 ，当 时，sin()yAx9x1249x取得最小值 ，则该函数的解析式是 （ ）12 B()si()36yx()B1sin(3)26yx()Csin(3)6yx()Dn2若方程 有解，则 cos2sinco1xxkk3,1四、小结：（1） 求三角函数最值的方法有：配方法，化为一个角的三角函数，数形结合法换元法，基本不等式法。（2） 三角函数最值都是在给定区间上取得的，因而要特别注意题设所给出的区间。（3） 求三角函数的最值时，一般要进行一些三角变换以及代数换元，须注意函数有xO6233 23ay65y意义的条件和弦函数的有界性。（4） 含参数函数的最值，解题要注意参数的作用和影响。五、作业：
