1、考研保过班 2015 年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题 QQ 客服：100940168 第 1 页 腾讯公司证 明押题真 实性 ： http:/ 2015 考研政 治真题大 题第 37 题：（2 ）为 什么“ 全面 推进依法 治国，必 须坚持党 的领 导“ ？ 严真老师十分 钟点题截图 ： 2015 考研政 治真题大 题第 38 题：（2 ）如 何理解习 近平所说 的“ 中国这 头狮子已 经醒 了，但这是 只和平的 、可亲的 、文明的 狮子“ ？ 严真老师十分 钟点题截图 ： 考研保过班 2015 年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题 QQ 客服：100940168 第 2 页
2、 2015 年全 国硕士 研究生 入学统 一考试 数学（ 三）试 题解析 一、选择题:1 8 小题, 每小题 4 分, 共 32 分.下列每 题给 出的四个选 项中, 只有一 个选项符合 题目要求的, 请将所选项前 的字母填在 答题纸 指定 位置上. (1)设 n x 是数列, 下列命题中不正确的是 ( ) (A) 若 lim = n n xa , 则 2 21 lim lim + = = nn nn x xa (B) 若 2 21 lim lim + = = nn nn x xa , 则 lim = n n xa (C) 若 lim = n n xa , 则 3 31 lim lim + =
3、 = nn nn x xa (D) 若 3 31 lim lim + = = nn nn x xa , 则 lim = n n xa 【答案】(D) 【解析】答案为 D, 本题 考查数列极限与子列极限的关系. 数列 ( ) n x an 对任意的子列 k n x 均有 ( ) k n x ak , 所以 A 、B 、C 正确； D 错(D 选 项缺少 32 n x + 的敛散性), 故选 D (2) 设函数 ( ) fx 在 ( ) , + 内连续, 其 2 阶导函数 ( ) fx 的图形如 右图所示, 则曲线 ( ) = y fx 的拐点个数为 ( ) (A) 0 (B) 1 (C) 2 (
4、D) 3 【答案】(C) 【解析】根据拐点的必要条件，拐点可能是 不存在的点或 的点处产生. 所以 有三个点可能是拐点，根据拐点的定义，即凹凸性改变的点；二阶导 函数 符号发生改变的点即为拐点. 所以从图可知，拐点个数为 2 ，故选 C. (3) 设 ( ) 22 22 , 2, 2 = + + D x y xy x xy y , 函数 ( ) , f xy 在 D 上连续, 则 ( ) , dd D f xy xy = ( ) (A) ( ) ( ) 2cos 2sin 42 00 0 4 d cos , sin d d cos , sin d f r r rr f r r rr + (B)
5、 ( ) ( ) 2sin 2cos 42 00 0 4 d cos , sin d d cos , sin d f r r rr f r r rr + (C) ( ) 2 1 0 11 2d , d x x x f xy y (D) ( ) 2 12 0 2d , d xx x x f xy y 【答案】(B) 【解析】根据图可得，在极坐标系下该二重积分要分成两个积分区域 () fx () 0 fx = () y fx = () fx 考研保过班 2015 年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题 QQ 客服：100940168 第 3 页 所以 ， 故选 B. (4) 下列级数中发散的是
6、( ) (A) 1 3 n n n = (B) 1 11 ln(1 ) n n n = + (C) 2 ( 1) 1 ln n n n = + (D) 1 ! n n n n = 【答案】(C) 【解析】A 为正项级数，因为 ，所以根据正项级数的比值判别法 收 敛；B 为正 项级数，因为 ，根据 级数收敛准则，知 收敛；C ， ，根据莱布尼茨判别法知 收敛， 发散，所以根据级数 收敛定义知， 发散；D 为正项级数，因为 ， 所以根据正项级数的比值判别法 收敛， 所以选 C. (5)设矩阵 2 11 1 12 14 a a = A , 2 1 d d = b . 若集合 1, 2 = ， 则线性
7、方程组 = Ax b 有无穷多解的充分必要 条件为 ( ) (A) , ad (B) , ad (C) , ad (D) , ad 【答案】(D) 1 ( , ) 0 ,0 2sin 4 Dr r = 2 ( , ) ,0 2cos 42 Dr r = 2sin 2cos 42 00 0 4 ( , ) ( cos , sin ) ( cos , sin ) D f x y dxdy d f r r rdr d f r r rdr = + 1 1 11 3 lim lim 1 33 3 n nn n n n n n + + + = = 1 3 n n n = 3 2 1 11 ln(1 ) n
8、 n n + P 1 11 ln(1 ) n n n = + 1 11 ( 1) 1 ( 1) 1 ln ln ln nn n nn n nn = = = + = + 1 ( 1) ln n n n = 1 1 ln n n = 1 ( 1) 1 ln n n n = + 1 1 ( 1)! ( 1)! 1 ( 1) lim lim lim 1 ! ! ( 1) 1 n n n n nn n n n nn n n n nn n e n + + + + + = = = + 1 ! n n n n = 考研保过班 2015 年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题 QQ 客服：100940168
9、 第 4 页 【解析】 22 11 1 1 11 1 1 (,) 1 2 0 1 1 1 1 4 0 0 ( 1)( 2) ( 1)( 2) Ab a d a d ad a a d d = ， 由 () (,) 3 rA rA b = ，故 1 a = 或 2 a = ，同时 1 d = 或 2 d = . 故选（D ） (6) 设二次型 ( ) 123 , fxxx 在正交变换 = x Py 下的标准形为 222 1 23 2yyy + ，其中 123 (, , ) = P ee e ，若 1 32 (, , ) = Q e ee 则 123 (, , ) f xxx = 在正交变换 = x
10、 Qy 下的标准形为( ) (A) 222 123 2yyy + (B) 222 1 23 2yyy + (C) 222 1 23 2yyy (D) 222 1 23 2yyy + 【答案】(A) 【解析】由 x Py = ，故 222 1 23 ( )2 T TT f x Ax y P AP y y y y = = =+ . 且 20 0 01 0 00 1 T P AP = . 又因为 100 001 0 10 Q P PC = = 故有 200 ( ) 0 10 001 T TT Q AQ C P AP C = = 所以 222 123 ( )2 T TT f x Ax y Q AQ y
11、 y y y = = =+ . 选（A ） (7) 若 , AB 为任意两个随机事件, 则: ( ) (A) ( ) ( ) ( ) PA B PAPB (B) ( ) ( ) ( ) PA B PAPB (C) ( ) ( ) ( ) 2 + PA PB P AB (D) ( ) ( ) ( ) 2 + PA PB P AB 【答案】(C) 【解析】 由于 , AB A AB B ， 按概率的基本性质， 我们有 ( ) () PA B PA 且 ( ) () P AB P B ，从 而 () () ( ) () () 2 PA PB PA B PA PB + ，选(C) . (8) 设总体
12、( ) , X Bm 12 , , n XX X 为来自该总体的简单随机样本, X 为样本均值, 则 ( ) 2 1 n i i E XX = = ( ) 考研保过班 2015 年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题 QQ 客服：100940168 第 5 页 (A) ( ) ( ) 11 mn (B) ( ) ( ) 11 mn (C) ( ) ( ) ( ) 1 11 mn (D) ( ) 1 mn 【答案】(B) 【解析】根据样本方差 22 1 1 () 1 n i i S XX n = = 的性质 2 ( ) () ES DX = ，而 ( ) (1 ) DX m = ，从而 22
13、 1 ( ) ( 1) ( ) ( 1) (1 ) n i i E X X n ES mn = = = ，选(B) . 二、填空题：9 14 小题, 每小题 4 分, 共 24 分.请将答 案写在 答题 纸 指 定位置 上. (9) 2 0 ln(cos ) lim _. x x x = 【答案】 【解析】原极限 (10) 设函数 () fx 连续， 2 0 ( ) ( )d , x x xf t t = 若 (1) 1, (1) 5, = = 则 (1) _. f = 【答案】 【解析】因为 连续，所以 可导，所以 ； 因为 ，所以 又因为 ，所以 故 (11) 若函数 (, ) z zxy
14、 = 由方程 23 e1 xyz xyz + += 确定，则 (0,0) d _. z = 【答案】 【解析】当 ， 时带入 ，得 . 对 求微分，得 把 ， ， 代入上式，得 1 2 22 00 ln(1 cos 1) cos 1 1 lim lim 2 xx xx xx + = = = 2 () fx () x 2 22 0 ( ) () 2 ( ) x x f t dt x f x = + (1) 1 = 1 0 (1) ( ) 1 f t dt = = (1) 5 = 1 0 (1) ( ) 2 (1) 5 f t dt f =+= (1) 2 f = 12 33 dx dy 0 x
15、= 0 y = 23 1 xyz e xyz + += 0 z = 23 1 xyz e xyz + += 23 23 ( ) ( 2 3) ( ) xyz xyz d e xyz e d x y z d xyz + + += + 23 ( 2 3) xyz e dx dy dz yzdx xzdy xydz + = + 0 = 0 x = 0 y = 0 z = 230 dx dy dz +=考研保过班 2015 年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题 QQ 客服：100940168 第 6 页 所以 (12) 设函数 () y yx = 是微分方程 20 yy y += 的解， 且在
16、0 x = 处取得极值 3，则 ( ) _. yx = 【答案】 【解析】 的特征方程为 ， 特征根为 ， ， 所以该齐次微分方 程的通解为 ，因为 可导，所以 为驻点，即 ， ，所以 ， ，故 (13) 设 3 阶矩 阵 A 的特征值为 2, 2,1 ， 2 , =+ B A AE 其中 E 为 3 阶单位 矩阵，则行列式 _. = B 【答案】 21 【解析】 A 的所有特征值为 2, 2,1. B 的所有特征值为 3,7,1.所以 | | 3 7 1 21 B = . (14) 设二维随机变量 (,) XY 服从正态分布 (1, 0;1,1; 0) N ，则 0 _. P XY Y 11
17、11 1 1 0 1 0 2222 2 P X PY P X PY = =+= . 三 、 解答 题：15 23 小题, 共 94 分. 请将解答写在 答题纸 指定 位置上.解答 应写出文字 说明、 证明 过程或 演算步骤. (15)(本题满分 10 分) 设函数 3 () l n( 1 ) s i n , () f x x a x bx x g x c kx =+ + = . 若 () fx 与 () gx 在 0 x 时是等价无穷小，求 , abk 的值. 【答案】 11 1, , 23 ab k = = = 【解析】法一 ： 因为 ， ， (0,0) 12 33 dz dx dy = 2
18、 () 2 xx yx e e = + 20 yy y += 2 20 += 2 = 1 = 2 12 () xx y x Ce Ce = + () yx 0 x = (0) 3 y = (0) 0 y = 1 1 C = 2 2 C = 2 () 2 xx yx e e = + 23 3 ln(1 ) ( ) 23 xx x x ox +=+ 3 3 sin ( ) 3! x x x ox =+考研保过班 2015 年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题 QQ 客服：100940168 第 7 页 则有， ， 可得： ，所以， 法二： 由已知可得得 由分母 ，得分子 ，求得 c ； 于是
19、 由分母 ，得分子 ，求得 ； 进一步，b 值 代入原式 233 33 00 0 (1 ) ( ) ( ) ( ) ln(1 ) sin 23 1 lim lim lim () xx x aa ax b x x ox f x x a x bx x g x kx kx + + + + + = = = 10 0 2 1 3 a a b a k += = = 1 1 2 1 3 a b k = = = 3 0 0 sin ) 1 ln( lim ) ( ) ( lim 1 kx x bx x a x x g x f x x + + + = = 2 0 3 cos sin 1 1 lim kx x b
20、x x b x a x + + + + = 0 3 lim 2 0 = kx x ) cos sin 1 1 ( lim 0 x bx x b x a x + + + + 0 ) 1 ( lim 0 = + = a x ) ( ) ( lim 1 0 x g x f x = 2 0 3 cos sin 1 1 1 lim kx x bx x b x x + + + = ） （ x kx x x bx x x b x x + + + + + = 1 3 cos ) 1 ( sin ) 1 ( lim 2 0 2 0 3 cos ) 1 ( sin ) 1 ( lim kx x x bx x x
21、b x x + + + + = kx x x bx x bx x x b x x b x b x 6 sin ) 1 ( cos cos ) 1 ( cos ) 1 ( sin 1 lim 0 + + + + + + + = 0 6 lim 0 = kx x sin ) 1 ( cos cos ) 1 ( 2 sin 1 lim 0 x x bx x bx x x b x b x + + + + + 0 ) cos 2 1 ( lim 0 = + = x b x 2 1 = b ) ( ) ( lim 1 0 x g x f x = kx x x x x x x x x x 6 sin ) 1
22、 ( 2 1 cos 2 1 cos ) 1 ( sin 2 1 1 lim 0 + + + = k x x x x x x x x x x x x x x x 6 cos ) 1 ( 2 1 sin 2 1 sin ) 1 ( 2 1 sin 2 1 cos 2 1 sin ) 1 ( cos cos 2 1 lim 0 + + + + + + + + = 考研保过班 2015 年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题 QQ 客服：100940168 第 8 页 ，求得 (16)(本题满 分 10 分) 计算二重积分 ( )d d D xx y xy + ，其中 22 2 ( , ) 2,
23、 . D xy x y y x = + 【答案】 2 45 【解析】 (17)(本题满分 10 分) 为了实现利润的最大化， 厂商需要对某商品确定其定价模型， 设Q 为该商品的需求量， P 为价格，MC 为边际成本， 为需求弹性 ( 0) . (I) 证明定价模型为 1 1 MC P = ； (II) 若该商品的成本函数为 2 ( ) 1600 CQ Q = + ， 需求函数为 40 QP = ，试由 （I ） 中的定价模型确定 此商品的价格. 【答案】(I) 略(II) . 【解析】(I) 由于利润函数 , 两边对 求导，得 . 当且仅当 时，利润 最大，又由于 , 所以 , 故当 时，利润
24、最大. k 6 2 1 = . 3 1 = k 2 () DD x x y dxdy x dxdy += 2 2 12 2 0 2 x x dx x dy = 1 2 22 0 2 (2 ) x x x dx = 2 sin 1 2 2 22 4 00 22 2 2 2 2sin 2cos 55 xt x x dx t tdt = = = 2 22 42 00 2 22 2 sin 2 sin . 5 5 45 ut tdt udu = = = = 30 P = () () () () LQ RQ CQ P Q CQ = Q () dL dP dP PQ C Q PQ M C dQ dQ dQ
25、 = += + 0 dL dQ = () LQ P dQ Q dP = 1 dP P dQ Q = 1 1 MC P = 考研保过班 2015 年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题 QQ 客服：100940168 第 9 页 (II)由于 , 则 代入(I)中的定 价模型，得 , 从而解得 . (18)(本题满分 10 分) 设函数 () fx 在定义域 I 上的导数大于零， 若对任意的 0 xI ，曲线 () y fx = 在点 00 ( , ( ) x fx 处的切线 与直线 0 xx = 及 x 轴所围成区域的面积恒为 4 ，且 (0) 2 f = ，求 () fx 表达式. 【答
26、案】 ( ) 8 4 fx x = 【解析】曲线的切线方程为 ，切线与 轴的交点为 故面积为： . 故 满足的方程为 , 此为可分离变量的微分方程, 解得 ，又由于 ，带入可得 ，从而 (19)(本题满分 10 分) （I ）设函数 () ,() ux vx 可导，利用导数定义证明()() ()() () () ; uxvx u xvx uxv x = + （II）设函数 12 () , () , , () n uxux u x 可导， 12 () () () () n f x u xu x u x = ，写出 () fx 的求导公式. 【答案】 【解析】 （I ） （II）由题意 得 ( )
27、 2 2(40 ) MC C Q Q P = = = 40 P dQ P Q dP P = = 2(40 ) 40 1 P P P P = 30 P = ( ) ( ) ( ) 0 00 y fx f x x x = x ( ) ( ) 0 0 0 ,0 fx x fx ( ) ( ) 2 0 0 1 4 2 fx S fx = = ( ) fx ( ) ( ) 2 8 f x fx = ( ) 8 fx xC = + ( ) 0 =2 f 4 C = ( ) 8 4 fx x = 12 () () () () n f x u xu x u x = 1 2 12 12 () () () ()
28、() () () () () nn n u xu x u x u xu x u x u xu x u x = + + 0 ( )( ) ()() ()() l i m h ux hvx h uxvx uxvx h + + = 0 ( )( ) ( )() ( )() ()() lim h ux hvx h ux hvx ux hvx uxvx h + + = 00 ( ) () ( ) () lim ( ) lim ( ) hh vx h vx ux h ux ux h vx hh + + = + () () ()() uxv x u xvx = + 12 () () () () n f x
29、u xu x u x = 1 2 12 12 () () () () () () () () () nn n u xu x u x u xu x u x u xu x u x = + + 考研保过班 2015 年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题 QQ 客服：100940168 第 10 页 (20) (本题满分 11 分) 设矩阵 10 11 01 a a a A= ，且 3 = AO . (I) 求 a 的值； (II)若矩阵 X 满足 22 + = X XA AX AXA E ，其中 E 为 3 阶单位矩阵 ，求 X . 【答案】 31 2 0, 1 1 1 21 1 aX = =
30、 【解析】(I) 3 23 10 0 10 0 1 11 1 0 0 01 1 a AO A a aa a a aa a = = = = = (II) 由题意知 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 22 2 2 1 1 1 2 22 1 2 X XA AX AXA E X E A AX E A E EA X EA E X EA EA EA EA X EA A + = = = = =2 0 11 111 1 12 EA A = ， 0 11 100 1 1 1 0 10 111 0 1 0 0 11 100 11 2 0 0 1 11 2 0 0 1 MM M
31、M MM1 1 1 0 10 1 1 1 0 10 01 1 100 01 1 100 0 2 10 11 0 0 12 11 MM MM MM1 1 02 0 1 1 0 03 1 2 0 1 01 1 1 0 1 01 1 1 0 0 12 1 1 0 0 12 1 1 MM MM MM31 2 11 1 21 1 X = (21) (本题满分 11 分) 设矩阵 02 3 13 3 12 a = A 相似于矩阵 1 20 00 031 b B= . (I) 求 , ab 的值； 考研保过班 2015 年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题 QQ 客服：100940168 第 11 页
32、 （II）求可逆 矩阵 P ，使 1 P AP 为对角矩阵. 【答案】 231 4, 5, 1 0 1 01 1 abP = = = 【解析】(1) () () 3 1 1 A B tr A tr B a b = +=+ 0 2 3 1 20 13 3 0 0 1 2 031 = = AB b a14 23 5 = = = = ab a ab b0 23 1 0 0 1 23 13 3 0 1 0 12 3 1 23 0 0 1 1 23 = = + =+ A EC ( ) 12 3 1 1 2 3 11 23 1 23 1 = = C C 的特征值 12 3 0, 4 = = = 0 = 时
33、 (0 ) 0 = E Cx 的基础解系为 12 (2,1, 0) ; ( 3, 0,1) = = TT5 = 时 (4 ) 0 = E Cx 的基础解系为 3 ( 1, 1,1) = TA 的特征值 1 : 1,1, 5 = + AC令 123 231 (, , ) 1 0 1 01 1 = = P ， 1 1 1 5 = P AP (22) (本题满分 11 分) 设随机变量 X 的概率密度为 ( ) 2 ln 2, 0 0, 0 x x fx x = , 对 X 进行独立重复的观测, 直到第 2 个大于 3 的观 测值出现时停止，记Y 为观测次数 (I)求Y 的概率分布； (II)求 (
34、) EY . 考研保过班 2015 年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题 QQ 客服：100940168 第 12 页 【答案】(I) 1 2 22 1 17 11 88 nn n PY n C p p p n = = ( ) ( )( ) ( ) ， 23 , n = ； (II) 16 EY = () . 【解析】(I) 记 p 为观测值大于 3 的概 率，则 3 1 3 22 8 ( ) ln x p P X dx + = = = ， 从而 1 2 22 1 17 11 88 nn n PY n C p p p n = = ( ) ( )( ) ( ) ， 23 , n = 为Y
35、的概率分布； (II) 法一: 分解法: 将随机变量Y 分解成 = YM N + 两个过程, 其中 M 表示从1 到 () nn k 次试验观测值大于 3 首次发生， N 表示从 1 n + 次到第 k 试验观测值大于 3 首次发生. 则 M Ge n p (, ) ， N Ge k n p ( ,) ( 注：Ge 表示几何分布) 所以 1122 16 1 8 EY EM N EM EN ppp = += + =+= ( )( )( )( ) . 法二:直接计算 22 2 1 22 2 17 7 7 7 1 12 88 8 8 8 n n nn nn n E Y n P Y n nn nn =
36、 = = = = = + () ( ) () () ( ) () () () 记 2 1 2 1 11 () ( ) n n Sx nn x x = = ，则 21 1 3 2 22 2 1 1 n nn n nn S x n n x nx x x = = = = = = = () ( ) ( ) ( ) () ， 12 21 3 22 2 11 1 () ( ) ( ) () () nn nn x Sx nn x x nn x x Sx x = = = = = = ， 2 2 22 31 3 22 2 11 1 () ( ) ( ) () () nn nn x Sx nn x x nn x
37、x Sx x = = = = = = ， 所以 2 1 23 3 24 2 2 2 11 () () () () () xx Sx S x S x S x xx + =+= = ， 从而 7 16 8 EY S = = () () . (23) (本题满 分 11 分) 设总体 X 的概率密度为 , 1, (, ) , x fx = 1 1 0其他, 其中 为未知参数， 12 n X ,X , ,X 为来自该总体 的简单随机样本. (I)求 的矩估计量； (II)求 的最大似然估计量. 考研保过班 2015 年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题 QQ 客服：100940168 第 13
38、页 【答案】(I) 1 1 21 n i i XX X n = = , ； (II) 12 n XX X = min , , , . 【解析】(I)1 11 12 ( ) (; ) E X xf x dx x dx + + = = ， 令 () EX X = ，即 1 2 X + = ，解得 1 1 21 n i i XX X n = = , 为 的矩估计量 ； (II)似然函数 1 1 1 1 0 , () ( ;) , n n i i i x L fx = = = 其他 ， 当 1 i x 时， 1 11 11 () ( ) n n i L = = = ，则 1 ln ( ) ln( )
39、Ln = . 从而 1 ln ( ) dL n d = ，关于 单调增加， 所以 12 n XX X = min , , , 为 的最大似然估计量. 考研保过班 2015 年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题 QQ 客服：100940168 第 14 页 考研保过班 2015 年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题 QQ 客服：100940168 第 15 页 考研保过班 2015 年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题 QQ 客服：100940168 第 16 页 考研保过班 2015 年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题 QQ 客服：100940168 第 17 页 考研保过班 2015 年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题 QQ 客服：100940168 第 18 页 考研保过班 2015 年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题 QQ 客服：100940168 第 19 页
