1、完全平方数,(一)完全平方数的性质一个数如果是另一个整数的完全平方，那么我们就称这个数为完全平方数，也叫做平方数。例如： 0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,441,484,下面我们来研究完全平方数的一些常用性质：性质1：完全平方数的末位数只能是0,1,4,5,6,9。性质2：奇数的平方的个位数字为奇数，十位数字为偶数。,观察这些完全平方数，可以获得对它们的个位数、十位数、数字和等的规律性的认识。,证明 奇数必为下列五种形式之一： 10a+1, 10a+3, 10a+5, 10a+7, 10
2、a+9 分别平方后，得(10a+1)2=100a2+20a+1=20a(5a+1)+1(10a+3)2=100a2+60a+9=20a(5a+3)+9(10a+5)2=100a2+100a+25=20 (5a2+5a+1)+5(10a+7)2=100a2+140a+49=20 (5a2+7a+2)+9(10a+9)2=100a2+180a+81=20 (5a2+9a+4)+1综上各种情形可知：奇数的平方，个位数字为奇数1,5,9；十位数字为偶数。性质3：如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6；反之，如果完全平方数的个位数字是6，则它的十位数字一定是奇数。,证明 已知m2=10k
3、+6，证明k为奇数。因为m2的个位数为6，所以m的个位数为4或6，于是可设m=10n+4或10n+6。则 10k+6=(10n+4)2=100n2+(8n+1)x10+6 或 10k+6=(10n+6)2=100n2+(12n+3)x10+6 即 k=10n2+8n+1=2(5n2+4n)+1 或 k=10n2+12n+3=2(5n2+6n)+3 k为奇数。,推论1：如果一个数的十位数字是奇数，而个位数字不是6，那么这个数一定不是完全平方数。推论2：如果一个完全平方数的个位数字不是6，则它的十位数字是偶数。,性质5：奇数的平方是8n+1型；偶数的平方为8n或8n+4型。在性质4的证明中，由k(
4、k+1)一定为偶数可得到(2k+1)2是8n+1型的数；由k2为奇数或偶数可得(2k)2为8n型或8n+4型的数。,性质4：偶数的平方是4的倍数；奇数的平方是4的倍数加1。这是因为 (2k+1)2=4k(k+1)+1 (2k)2=4k2,因为自然数被3除按余数的不同可以分为三类：3m,3m+1, 3m+2。平方后，分别得,(3m)2=9m2=3k (3m+1)2=9m2+6m+1=3k+1 (3m+2)2=9m2+12m+4=3k+1,性质6：平方数的形式必为下列两种之一：3k,3k+1。,性质7：不能被5整除的数的平方为5k1型，能被5整除的数的平方为5k型。性质8：平方数的形式具有下列形式
5、之一：16m,16m+1, 16m+4,16m+9。,同理可以得到：,除了上面关于个位数，十位数和余数的性质之外，还可研究完全平方数各位数字之和。例如，256它的各位数字相加为2+5+6=13，13叫做256的各位数字和。如果再把13的各位数字相加：1+3=4，4也可以叫做256的各位数字的和。,下面我们提到的一个数的各位数字之和是指把它的各位数字相加，如果得到的数字之和不是一位数，就把所得的数字再相加，直到成为一位数为止。我们可以得到下面的命题：,一个数的数字和等于这个数被9除的余数。,设四位数为 ，则,下面以四位数为例来说明这个命题。,= 1000a+100b+10c+d= 999a+99
6、b+9c+(a+b+c+d)= 9(111a+11b+c)+(a+b+c+d),显然，a+b+c+d是四位数被9除的余数。 对于n位数，也可以仿此法予以证明。,关于完全平方数的数字和有下面的性质：,性质9：完全平方数的数字之和只能是0,1,4,7,9。证明 因为一个整数被9除只能是9k,9k1, 9k2, 9k3, 9k4这几种形式，而,(9k)2=9(9k2)+0 (9k1)2=9(9k22k)+1 (9k2)2=9(9k24k)+4 (9k3)2=9(9k26k)+9 (9k4)2=9(9k28k+1)+7,除了以上几条性质以外，还有下列重要性质：性质10：a2b为完全平方数的充要条件是b
7、为完全平方数。,证明 充分性：设b为平方数c2，则a2b=a2c2=(ac)2,必要性：若a2b为完全平方数，a2b=x2，则,性质11：如果质数p能整除a，但p2不能整除a，则a不是完全平方数。,证明: 由题设可知，a有质因子p，但无因子p2，可知a分解成标准式时，p的次方为1，而完全平方数分解成标准式时，各质因子的次方均为偶数，可见a不是完全平方数。,性质12：在两个相邻的整数的平方数之间的所有整数都不是完全平方数，即若,性质13：一个正整数n是完全平方数的充分必要条件是n有奇数个因子(包括1和n本身)。,n2k(n+1)2,则k一定不是完全平方数。,(二)重要结论 1.个位数是2,3,7
8、,8的整数一定不是完全平方数； 2.个位数和十位数都是奇数的整数一定不是完全平方数； 3.个位数是6，十位数是偶数的整数一定不是完全平方数； 4.形如3n+2型的整数一定不是完全平方数； 5.形如4n+2和4n+3型的整数一定不是完全平方数； 6.形如5n2型的整数一定不是完全平方数； 7.形如8n+2, 8n+3, 8n+5, 8n+6,8n+7型的整数一定不是完全平方数； 8.数字和是2,3,5,6,8的整数一定不是完全平方数。,(三)范例例1：一个自然数减去45及加上44都仍是完全平方数，求此数。解：设此自然数为x，依题意可得,(2)-(1)可得:,(m,n为自然数),nm,n2-m2=
9、89,n2=x+44=m2+45+44m2,(n-m)(n+m)=89,但89为质数，它的正因子只能是1与89，于是n-m=1,n+m=89.,解之，得n=45。代入(2)得x=452-44=1981。,故所求的自然数是1981。,例2：求证：四个连续的整数的积加上1，等于一个奇数的平方(1954年基辅数学竞赛题)。,分析 设四个连续的整数为n,n+1,n+2,n+3，其中n为整数。欲证n(n+1)(n+2)(n+3)+1是一奇数的平方，只需将它通过因式分解而变成一个奇数的平方即可。,而n(n+1)是两个连续整数的积，所以是偶数；又因为2n+1是奇数，因而n(n+1)+2n+1是奇数。这就证明
10、了m是一个奇数的平方。,证明 设这四个整数之积加上1为m，,例3：求证：11,111,1111, 这串数中没有完全平方数(1972年基辅数学竞赛题)。,分析 形如 的数若是完全平方数，必是末位为1或9的数的平方，即,或,在两端同时减去1之后即可推出矛盾。,证明: 若,则,因为左端为奇数，右端为偶数，所以左右两端不相等。,综上所述， 不可能是完全平方数。,若,则,因为左端为奇数，右端为偶数，所以左右两端不相等。,另证 由 为奇数知，若它为完全平方数，则只能是奇数,十位上的数字为1，所以 不是完全平方数。,的平方。但已证过，奇数的平方其十位数字必是偶数，而,例4：试证数列49,4489,44488
11、9, 的每一项都是完全平方数。证明= + +1=4 +8 +1=4 ( )(9 +1)+8 +1=36 ( )2+12 +1=(6 +1)2,即,为完全平方数。,解：设由300个2和若干个0组成的数为A，则其数字和为6003600 3A此数有3的因子，故9A。但9不能整除600，矛盾。故不可能有完全平方数。,例5：用300个2和若干个0组成的整数有没有可能是完全平方数？,例6：试求一个四位数，它是一个完全平方数，并且它的前两位数字相同，后两位数字也相同(1999小学数学世界邀请赛试题)。 解：设此数为,此数为完全平方，则 必须是11的倍数。因此11a + b，而a,b为0,1,2,，9，故共有
12、(2,9), (3,8), (4,7),(9,2)等8组可能。,直接验算，可知此数为7744=882。,例7：求满足下列条件的所有自然数： (1)它是四位数。 (2)被22除余数为5。 (3)它是完全平方数。 解：设 ，其中n,N为自然数，可知N为奇数。,11N - 4或11N + 4,或,k = 1,k = 2,k = 3,k = 4,k = 5,所以此自然数为1369, 2601, 3481, 5329, 6561, 9025。,解：n头羊的总价为n2元，由题意知n2元中含有奇数个10元，即完全平方数的十位数字是奇数。如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6。所以，n2的末位
13、数字为6，即乙最后拿的是6元，从而为平均分配，甲应补给乙2元。,例8：甲、乙两人合养了n头羊，而每头羊的卖价又恰为n元，全部卖完后，两人分钱方法如下：先由甲拿十元，再由乙拿十元，如此轮流，拿到最后，剩下不足十元，轮到乙拿去。为了平均分配，甲应该补给乙多少元(第2届“祖冲之杯”初中数学邀请赛试题)？,例9：矩形四边的长度都是小于10的整数(单位：公分)，这四个长度数可构成一个四位数，这个四位数的千位数字与百位数字相同，并且这四位数是一个完全平方数，求这个矩形的面积(1986年缙云杯初二数学竞赛题)。,9x+1是一个完全平方数，而,，验算知x=7满足条件。又由x+y=11得,解：设矩形的边长为x,
14、y，则四位数,N是完全平方数，11为质数 x+y能被11整除。 又,N=1000x+100x+10y+y=1100x+11y=11(100x+y)=11(99x+x+y),得x+y=11。,而,例10：求一个四位数，使它等于它的四个数字和的四次方，并证明此数是唯一的。,解：设符合题意的四位数为,，则,为五位数，,为三位数，,经计算得,其中符合题意的只有2401一个。,例11：求自然数n，使n6的值是由数字0,2,3,4,4,7,8,8,9组成。解：显然，,为了便于估计，我们把,的变化范围放大到,于是,即, ，,另一方面，因已知九个数码之和是3的倍数，故n6及n都是3的倍数。这样，n只有24,27,30三种可能。但30结尾有六个0，故30不合要求。,经计算得,故所求的自然数n = 27。,(四)讨论题 1.(1986年第27届IMO试题) 设正整数d不等于2,5,13，求证在集合2,5,13,d中可以找到两个不同的元素a , b，使得ab -1不是完全平方数。 2.求k的最大值，使得37可以表示为k个连续正整数之和。,
