1、 关于储蓄所雇佣全时和半时两类服务员问题的数学建模作者：工程管理（092）班 吉训科（200902901） 田治国(200902913)工程管理（091）班 刘生泉（200902859）摘要：运用管理运筹学中的最优单纯形法和 lingo 程序解决储蓄所雇佣全时和半时两类服务员问题。来进一步了解数学知识在数学建模中的运用。目前，众多经营机构都想取得经营的最优化，也就是是取得利益最大化，储蓄所服务员雇佣优化问题主要是如何在经营管理中科学选择全时、半时服务员的数量从而使自己的经营成本达到最低。在第一问中，我们对同时雇佣全时和半时两类服务员时工作时间段和服务员数量数据进行分析。我们应用了线性规划分析，
2、通过LINGO 软件轻松求解。在第二问中，半时服务员数量为零，通过第一问的分析基础，计算此时储蓄所雇佣服务员的每天总费用达到最大。我们认为如果条件允许下储蓄所应该多雇佣半时服务员。在第三问中，半时服务员数量没有限制，我们通过计算发现在这种情况下储蓄所雇佣服务员的每天总费用达到最低。关键字：数学建模，最优单纯形法，lingo 程序1、问题重述某储蓄所每天的营业时间是上午 9：00 到下午 5：00.根据经验，每天不同时间段所需要的服务员数量如下：时间（段） 910 10111112121 12 23 34 45服务员数量4 3 4 6 5 6 8 8储蓄所可以雇佣全时和半时两类服务员。全时服务员
3、每天报酬100 元，从上午 9：00 到下午 5：00 工作，但中午 12：00 到下午2：00 之间必须安排一小时的午餐时间。储蓄所每天可以雇佣不超过 3 名的半时服务员，每个半时服务员必须连续工作 4 小时，报酬40 元。问该储蓄所应该如何雇佣全时和半时两类服务员?如果不能雇佣半时服务员，每天至少增加多少费用？如果雇佣半时服务员的数量没有限制，每天可以减少多少费用？2、符号说明X 、 表示全时服务员数量x1、 表示从 12：00am-1:00pm 全时服务员上班人数x2、 表示从 1：00pm-4:00pm 全时服务员上班人数y1、 表示从 9：00am-1:00pm 半时服务员数量y2、
4、 表示从 10：00am-2:00pm 半时服务员数量y3、 表示从 11：00am-3:00pm 半时服务员数量y4、 表示从 12：00am-4:00pm 半时服务员数量y5、 表示从 1：00pm-5:00pm 半时服务员数量z、 功能函数（表示储蓄所雇佣服务员的总费用）3、 问题假设1、 假设储蓄所可以随时雇佣足够的服务员，不会出现供不应求的情况；2、 假设所有的服务员都积极配合，服从调配； 4、 模型分析设 X 是全时服务员数量，设 y1y5 分别是从 9：00am-5:00pm 每隔四小时半时服务员数量，故 z=min100*X+40(y1+y2+y3+y4+y5),z 为储蓄所雇
5、佣服务员的每天总费用的功能函数。一、功能函数计算公式1在全时和半时服务员同时雇佣的情况 ：雇用总费用，全时服务员数量与半时服务员数量满足下列函数关系：z=100*X+40*(y1+y2+y3+y4+y5);y1+y2+y3+y4+y5=4;X+y1+y2=3;X+y1+y2+y3=4;x1+y1+y2+y3+y4=6;x2+y2+y3+y4+y5=5;x1+x2=X;X+y3+y4+y5=6;X+y4+y5=8;X+y5=8;X,y1,y2,y3,y4,y5 都为整数.2不能雇佣半时服务员时的情况：雇用总费用，全时服务员数量与半时服务员数量满足下列函数关系：z=100*X;X=4;X=3;X=
6、4;x1=6;x2=5;x1+x2=X;X=8;3半时服务员数量没有限制时的情况：雇用总费用，全时服务员数量与半时服务员数量满足下列函数关系：z=100*X+40*(y1+y2+y3+y4+y5);X+y1=4;X+y1+y2=3;X+y1+y2+y3=4;x1+y1+y2+y3+y4=6;x2+y2+y3+y4+y5=5;x1+x2=X;X+y3+y4+y5=6;X+y4+y5=8;X+y5=8;5、 模型建立与求解储蓄所服务员雇佣优化模型一、模型设 X 是全时服务员数量，设 y1y5 分别是从 9：00am-5:00pm 每隔四小时半时服务员数量,z 为储蓄所雇佣服务员的每天总费用的功能函
7、数。1. 全时和半时服务员同时雇佣模型z=min100*X+40*(y1+y2+y3+y4+y5)；2. 不能雇佣半时服务员模型 z=min100*X；3. 半时服务员数量没有限制模型 z=min100*X+40*(y1+y2+y3+y4+y5)；z 表示储蓄所雇佣服务员的每天总费用的功能函数。二：计算求解1.对问题所给之对数据，在全时和半时服务员同时雇佣的情况下计算显示如下：Optimal solution found at step: 10Objective value: 820.0000Branch count: 2Variable Value Reduced CostX 7.00000
8、0 0.0000000Y1 0.0000000 40.00000Y2 0.0000000 40.00000Y3 0.0000000 40.00000Y4 2.000000 40.00000Y5 1.000000 40.00000X1 5.000000 100.0000X2 2.000000 100.0000Row Slack or Surplus Dual Price1 820.0000 1.0000002 0.0000000 0.00000003 3.000000 0.00000004 4.000000 0.00000005 3.000000 0.00000006 1.000000 0.00
9、000007 0.0000000 0.00000008 0.0000000 100.00009 4.000000 0.000000010 2.000000 0.000000011 0.0000000 0.0000000结果说明：在全时服务员数量 X=7,半时服务员总数为3(y1+y2+y3+y4+Y5=3)时，储蓄所雇佣服务员的每天总费用 z 最少为820 元。结果评价：此时储蓄所雇佣服务员的每天总费用 z 还比较高，在条件允许的情况下应该多雇佣半时服务员。2.对问题所给之对数据，在不能雇佣半时服务员时的情况计算显示如下：Optimal solution found at step: 0Obj
10、ective value: 1100.000Branch count: 0Variable Value Reduced CostX 11.00000 0.0000000X1 6.000000 100.0000X2 5.000000 100.0000Row Slack or Surplus Dual Price1 1100.000 1.0000002 7.000000 0.00000003 8.000000 0.00000004 7.000000 0.00000005 0.0000000 0.00000006 0.0000000 0.00000007 0.0000000 100.00008 3.
11、000000 0.0000000结果说明：不能雇佣半时服务员时，全时服务员 X=11, 此时储蓄所雇佣服务员的每天总费用 z 最少为 1100 元。结果评价：储蓄所雇佣服务员的每天总费用偏高，较第一种情况每天至少增加 280 元。3.对问题所给之对数据，在半时服务员数量没有限制时的情况显示如下：Optimal solution found at step: 8Objective value: 560.0000Branch count: 0Variable Value Reduced CostX 0.0000000 100.0000Y1 4.000000 40.00000Y2 0.0000000
12、 40.00000Y3 0.0000000 40.00000Y4 2.000000 40.00000Y5 8.000000 40.00000X1 0.0000000 0.0000000X2 0.0000000 0.0000000Row Slack or Surplus Dual Price1 560.0000 1.0000002 0.0000000 0.00000003 1.000000 0.00000004 0.0000000 0.00000005 0.0000000 0.00000006 5.000000 0.00000007 0.0000000 0.00000008 4.000000 0
13、.00000009 2.000000 0.000000010 0.0000000 0.0000000结果说明：半时服务员数量没有限制时，半时服务员总数为14，全时服务员 X=0,此时储蓄所雇佣服务员的总费用 z 最少为 560元，较第一种情况储蓄所总费用每天减少 260 元，较第二种情况储蓄所总费用每天减少 540 元结果评价：在这三种方法中，储蓄所雇佣服务员的每天总费用达到最低。6模型的改进与推广1、 模型的优点（1）通过处理数据，巧妙地应用了优化模型，对 X 与y1,y2,y3,y4,y5 的变化过程行实时跟踪处理和合理解释。（2）运用功能强大、对非线性问题很好 LINGO 优化软件处理数
14、据，快捷高效，所得结果较为可靠。（4）根据题目信息将半时服务员分为五中，不仅简化了求解过程，而且使问题考虑的更加全面。2、 模型的缺点（1）求解雇佣总费用是一个优化过程，并不能在图表直观描述每天服务员数量的变化趋势。（2）雇佣总费用以天为单位，数据量不够，误差可能比较大。（3）我们只考虑一天不同时间段所需服务员数量，而没有考虑较长时间内服务员数量。7参考文献1.姜启源、谢金星、叶 俊.，数学模型，.北京市西城区德外大街 4号 ：高等教育出版社 ，2006 年 5 月2.Frank R.Giordano Maurice D.Weir William P.Fox 叶其孝、姜启源等译，数学模型，北京
15、昌平奔腾印刷厂：机械工业出版社，2005年 7 月3.魏巍， MATLAB 应用数学工具箱技术手册，.北京市海淀区紫竹院南路 23 号：国防工业出版社，2004 年 1 月 附录一：全时和半时服务员同时雇佣时 LINGO 代码：model:min=100*X+40*(y1+y2+y3+y4+y5);y1+y2+y3+y4+y5=4;X+y1+y2=3;X+y1+y2+y3=4;x1+y1+y2+y3+y4=6;x2+y2+y3+y4+y5=5;x1+x2=X;X+y3+y4+y5=6;X+y4+y5=8;X+y5=8;gin(x1);gin(x2);gin(y1);gin(y2);gin(y3
16、);gin(y4);gin(y5);end附录二：不能雇佣半时服务员时 LINGO 代码：model:min=100*X;X=4;X=3;X=4;x1=6;x2=5;x1+x2=X;X=8;gin(x1);gin(x2);end附录三：半时服务员数量没有限制时 LINGO 代码：model:min=100*X+40*(y1+y2+y3+y4+y5);y1+y2+y3+y4+y5=4;X+y1+y2=3;X+y1+y2+y3=4;x1+y1+y2+y3+y4=6;x2+y2+y3+y4+y5=5;x1+x2=X;X+y3+y4+y5=6;X+y4+y5=8;X+y5=8;gin(x1);gin(x2);gin(y1);gin(y2);gin(y3);gin(y4);gin(y5);end
