1、北京市昌平区 2012 届高三第二次统一练习数 学 试 卷（文科） 2012. 4第一部分（选择题 共 40 分）一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 若集合 , ，则0x|A4|2xBBAA. B. C. D. 2|x 2x| 2x|2. “ ” 是“ 垂直”的1lgxA. 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件3.下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是 A B lgyxtanyxC D3134. 已知空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是A. B. 3438C.
2、4 D. 5. 已知函数()sin(0,)2fxAx的部分图象如图所示，则 A. B. 46C. D.3125主视图 左视图22俯视图2512y O x266. 爬山是一种简单有趣的野外运动，有益于身心健康，但要注意安全，准备好必需物品，控制好速度.现有甲、乙两人相约爬山，若甲上山的速度为 ，下山的速度为1v（ ），乙上下山的速度都是 （甲、乙两人中途不停歇），则甲、乙两人2v2121v上下山所用的时间 的关系为21,tA B. C. D. 不能确定21t21t21t7. 四面体的四个面的面积分别为 、 、 、 ，记其中最大的面积为 ，则 的1S234SSi341取值范围是A. B. C. (
3、 D. 231(, 3, , 42,8.设等差数列 的前 项和为 ，已知 ，nanS377120(1)aa，有下列结论：32062061(1) ； ； ； 其中正确的结论序号S20172017是A B C D第二部分（非选择题 共 110 分）二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.9. (1-2 i ) =_.10. 若向量 满足 ， ，则 |b| = _.ba, 32ba,| ba,cos4311. 已知双曲线的方程为 ，则142yx其渐近线的方程为_,若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，pxy2则 .y=2x-3否是开始输入 xx5y= x -1输出 y结束是否x2y=x2
4、12. 如图给出了一个程序框图，其作用是输入 的值，输出相应的 值，若要使输入的xy值和输出的 值相等，则这样的 值有_个.xyx13若变量 x , y 满足约束条件 表示平面区域 M，则平面区域 M 的面积是40xy_;当 4 时，动直线 所经过的平面区域 M 的面积为2aay_.14. 若对于定义在 R 上的函数 f (x) ,其图象是连续不断的，且存在常数 ( R)使得 f (x + ) + f (x) = 0 对任意实数 x 都成立，则称 f (x) 是一个“ 伴随函数”. 有下列关于“伴随函数”的结论：f (x) =0 是常数函数中唯一个“ 伴随函数”； f (x) = x2 是一个
5、“ 伴随函数” ； “ 伴随函数”至少有一个零点 . 其中不正确的序号是21_（填上所有不正确的结论序号） 三、解答题(本大题共 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15 （本小题满分 13 分） 已知向量 ， , .(cos,ina(31b2（）当 时，求 的值；b（）求 的取值范围.16 (本小题满分 13 分)某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数 X 依次为 1，2，3，4，5.现从一批日用品中随机抽取 20 件，对其等级系数进行统计分析，得到频率分布表如下表所示：等级 频数 频率1 c a()若所抽取的 20 件日用品中，等级系数为 2 的恰有 4
6、件，求 a,b,c 的值；（）在（）的条件下，从等级为 4 的 2 件日用品和等级为 5 的 3 件日用品中任取两件（假定每件日用品被取出的可能性相同），写出所有可能的结果，并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率.17.（本小题满分 13 分）在正四棱柱 中， 为 中点, 1ABCDEAD为 中点.F1（）求证: 平面 ；/1（）在 上是否存在一点 ,使 平面 ?CDGB1EC若存在，请确定点 的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由.18 （本小题满分 14 分）已知函数 （ ， 为常数） ，且 为 的一个极值2()4ln6fxaxba2x()f点() 求 的值；a() 求函数 的单调
7、区间；()fx() 若函数 有 3 个不同的零点，求实数 的取值范围yb19 （本小题满分 14 分）2 4 b3 9 0.454 2 0.15 3 0.15合计 20 1FED 1 C1B1A1D CBA已知椭圆 C: ，过点 B（0，1）, 离心率为 .21()xyab23（）求椭圆 C 的方程；（）是否存在过点 的直线 与椭圆交于 M， N 两个不同的点，且使(0,2)Pl成立？若存在，求出直线 的方程；若不存在，请说明理由.12PMN20. (本小题满分 13 分) 设数列 的首项 ，前 项和为 ，且对任意 都有na21nnS*,Nm，数列 中的部分项 N*）成等比数列，且)53(mS
8、n nkab( .4,21b() 求数列 与的通项公式;与 nnba（）令 ，并用 x 代替 n 得函数 ，设 的定义域为 R ,1)(nf )(xf)(f记 ,求 .)(.)2()0( *Nfffcn niic1北京市昌平区 2012 高三第二次统一练习数学(文科)试卷参考答案及评分标准 2012.4一、选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分)题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案 B C D B B A C D二、填空题(本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分)9 -2-i 10. 2 11. , xy21512. 3 138 , 7 14. 注：11,13
9、题第一空 2 分.三、解答题(本大题共 6 小题，共 80 分)15.（本小题满分 13 分）解：（） 2 分ba 0sinco3得 tn2即： = 6 分3（）由 9 分ba)sin(3icos 10 分265 12 分1)3sin(11)si(2 13 分ba16(本小题满分 13 分)解:（）由频率分布表得 即 2 分1504ba 30.ba因为抽取 20 件日用品中，等级系数为 2 的恰有 4 件，所以 24解得 ， 5 分10.a102.c从而 35b所以 6 分 ,.,.() 从日用品 ， 中任取两件，所有可能的结果为21x321y , 213231213221 xyyxyx ,9
10、 分设事件 A 表示“从日用品 ， 中任取两件，其等级系数相等 ”，则 A 包含的基21x,321y,本事件 共 4 个，基本事件总数为 10, 11 分,3121yx故所求的概率 13 分04.)(P17.（本小题满分 13 分）（）证明：在正四棱柱 中，取 中点 ,连结1ABCDBCM,.AF.11/BFM且四边形 是平行四边形. 1BFM.2 分1/且，1A四边形 是平行四边形.F.1/M为 中点，EAD. /C且四边形 是平行四边形. 4 分./.1EAF, ，1C且1EC且. 6 分1/（） 证明：在 上存在一点 ,使 平面DGB1E取 中点 ，连结 7 分CGB在正方形 中, A,
11、ECADC. . 9 分. .9090GE. 11 分 B, ACD且1 ABC且, .G1E平面 . B故在 CD 上存在中点 G,使得 平面 . 13 分B1EC18 （本小题满分 14 分）解： () 函数 f (x)的定义域为（0，+）1 分 f (x) = 2 分624aGMFED1 C1B1A1DCBA ，则 a = 14 分 0642a)(f()由( ) 知 bxxf6ln(2 f (x) = 6 分 )1(4624由 f (x) 0 可得 x 2 或 x 1，由 f (x) 0 可得 1 x 2 函数 f ( x ) 的单调递增区间为 (0 ，1) 和 (2，+ )，单调递减区
12、间为 (1 , 2 ) 9 分() 由()可知函数 f (x)在(0，1) 单调递增，在(1，2)单调递减，在(2 ，+) 单调递增且当 x =1 或 x =2 时，f (x) = 0 10 分 f (x) 的极大值为 11 分 561ln4bf (x)的极小值为 12 分 f 82ln42)(由题意可知 08ln4)(51bf则 14 分 285b19 （本小题满分 14 分）解：（）由题意可知 , 解得 1b321)(2abac 92a故椭圆 的方程为 4 分 M92yx（） 点 M 为 PN 的中点，12PN设 则 5 分)()(21y,x, 12x（1）当直线的斜率 k 不存在时， ,
13、易知不符合条件，此时直线方程P(02),)0(N,不存在. 7 分（2）当直线的斜率存在时，设直线的方程为 kxy由 ，消去 y 得 192yxk 02736192)(得 解得 （*） 9 分072)19(4)36(2k312k ， 19221kxx由 可得消去 ，可得 ，故 13 分2,532k51k综上可知：存在这样直线 l 的方程为： 14 分2xy20.（本小题满分 13 分）解：() 由 代入已知得,211aS1)53(1nSn即 于是有nn4532 )2(,)2(,1nnn又 =121aS所以数列 的通项公式为 .3 分 n 23na由 知，数列 是首项为 1，公比为 4 的等比数列，4,2 kb 14nbka而 为等差数列 中的第 项，是等比数列 中的第 项，所以有kban kba即 .5 分 2341 3)4(21n（）解由已知 ，则)(xf43)2(412321)(xx xxf.8 分 ),(1(.)(1)(0 nffnffnfcn ,02)(f+得 即 .10 分 43)1(2nc)1(8nc（ 13211.nnii 1893264)1432nn.13 分【 以上答案仅供参考，若有其它解法，请酌情给分】
