1、保密启用前【考试时间 ： 2012 年 11 月 1 日下午 3:005:00】绵阳市高中 2013 级第一次诊断性考试数学 (理科）本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分.第 I 卷 1 至 2 页，第 II 卷 3 至 4 页.满分 150 分.考试时间 120 分钟.注意事项 ：1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考号用 0.5 毫米的黑色签字笔填写在答题卡上， 并将条形码粘贴在答题卡的指定位置.2. 选择题使用 2B 铅笔填涂在答题卡对应题 0 标号的位置上，非选择题用 0.5 毫米的 黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷
2、 上答题无效.3.考试结束后，将答题卡收回.第 I卷（选择题，共 60.分）、选择题：本大题共彳 2 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目荽求的.1. 设集合 ，B=0, 1, 2，则 等于A. 0 B. 0，1C. 0, 1， 2 D.2. 命题 ，则 是A. B.C. D.3. 己知数列为等差数列，且 ，则 的值为A. B. C. D.4. 设 ， ，则A. c0).(I )求证：数列a n为等比数列；(II )若数列a n的公比 q= f(t,数列b n满足 ,求数列b n的通项公式；(III) 设 对（II )中的数列b n，在数列a n的
3、任意相邻两项 ak与 ak+1之间插 入 k 个 后，得到一个新的数列：记此数列为c n.求数列c n的前 2012 项之和.22.(本题满分 14 分）己知函数 在;c=2 处的切线斜率为 . (I)求实数 a 的值及函数 f(x)的单调区间；(II) 设， ，对 使得 成 立，求正实数的取值范围；(III) 证明： 绵阳市高 2013 级第一次诊断性考试数学(理)参考解答及评分标准一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分BCBCC AADDB AB二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分13-4 142 15 5023， 16三、解答题：本大题共
4、6 小题，共 74 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17解：（）f (x)=ab =(cos2x，1)(1， 3sin2x)= 3sin2x+ cos2x=2 sin(2x+ 6)， 6 分 最小正周期 2T，令 2x+ 6=k，kZ，解得 x= 26k，kZ，即 f (x)的对称轴方程为 x= ，kZ8 分（）当 x0， 2时，即 0x 2，可得 62x+ 76， 当 2x+ 6= ，即 x= 6时，f (x)取得最大值 f ( )=2；当 2x+= 7，即 x= 2时，f (x)取得最小值 f ( 2)=-1即 f (x) 的值域为-1，212 分18解：（）由 S3+S5=58，
5、得 3a1+3d+5a1+10d=8a1+13d =58， a 1，a 3，a 7成等比数列，a 32=a1a7，即(a 1+2d)2=a1(a1+6d)，整理得 a1=2d，代入得 d=2， a 1=4， a n=2n+2 6 分（）由（）知 a8=18，b 5b6+b4b7=2b5b6=18，解得 b5b6 =9 T 10= log3b1 +log3b2+ log3b3+ log3b10=log3(b1b10) + log3(b2b9) + log3(b5b6)=5log3(b5b6)=5log39=10 12 分19解：（）由已知 y= f (x)是二次函数，且 f (x)0 的解集是(
6、0，5)，可得 f (x)=0 的两根为 0，5，于是设二次函数 f (x)=ax(x-5)，代入点(1，-4)，得-4=a1(1-5)，解得 a=1， f (x)=x(x-5) 4 分（）h(x)= 2f (x)+g(x)=2x(x-5)+x 3-(4k-10)x+5=x3+2x2-4kx+5，于是 2()34hxk， h(x)在-4，-2上单调递增，在-2，0上单调递减， x=-2 是 h(x)的极大值点， 2()3()4()0hk，解得 k=1 6 分 h(x)=x 3+2x2-4x+5，进而得 234hx令 ()()x ，得 123x，由下表：x (-3，-2) -2 (-2， 3)
7、( ，1)()h+ 0 - 0 +h(x) 极大 极小 可知：h(-2)=(-2) 3+2(-2)2-4(-2)+5=13，h(1)=1 3+212 -41+5=4，h(-3)=(-3)3+2(-3)2-4(-3)+5=8，h( )=( )3+2( )2-4 +5= 957， h(x)的最大值为 13，最小值为 952712 分20解：（）asinA=(a-b)sinB+csinC，由正弦定理 sinisinabcABC，得 22()abc，即 22bc由余弦定理得221osabc，结合 0C，得 3 6 分（）由 C=-(A+B)，得 sinC=sin(B+A)=sinBcosA+cosBs
8、inA， sinC+sin(B-A)=3sin2A， sinBcosA+cosBsinA+sinBcosA-cosBsinA=6sinAcosA，整理得 sinBcosA=3sinAcosA 8 分若 cosA=0，即 A= 2时，ABC 是直角三角形，且 B= 6，于是 b=ctanB=2tan 6= 3， S ABC = 12bc= 3 10 分若 cosA0，则 sinB=3sinA，由正弦定理得 b=3a联立，结合 c=2，解得 a= 7，b= 6， S ABC = 12absinC= 2 32= 7综上，ABC 的面积为 3或 712 分21解：（）当 t=1 时，2a n-2=0，
9、得 an=1，于是数列a n为首项和公比均为 1 的等比数列 1 分当 t1 时，由题设知(t-1)S 1=2ta1-t-1，解得 a1=1，由(t-1)S n=2tan-t-1，得(t-1)S n+1=2tan+1-t-1，两式相减得(t-1)a n+1=2tan+1-2tan，, 12nat（常数） 数列a n是以 1 为首项， 21t为公比的等比数列4 分（） q= f (t)= t，b 1=a1=1，b n+1= 2f (bn)= 1b， 1nnb， 数列 n是以 1 为首项，1 为公差的等差数列，于是 1nb， b8 分（III）当 t= 13时，由（I）知 an= 1()2，于是数
10、列c n为：1，-1， ，2，2， ，-3，-3，-3， 31()2，设数列a n的第 k 项是数列c n的第 mk项，即 ak= mc，当 k2 时，m k=k+1+2+3+(k-1)= (1)2k， m 62= 623195，m 63= 63406设 Sn表示数列c n的前 n 项和，则 S2016=1+ 2+()+ 62()+-1+(-1)222+(-1)333+(-1)626262显然 1+ 1+ 2()+ 621()=63621， (2n) 2-(2n-1)2=4n-1， -1+(-1) 222+(-1)333+(-1)626262=-1+22-32+42-52+62-612+622
11、=(2+1)(2-1)+(4+3)(4-3)+(6+5)(6-5)+(62+61)(62-61)=3+7+11+123= 31(2)=1953 S 2016= 62+1953=1955- 621 S 2012=S2016-(c2016+c2015+c2014+c2013)=1955- 621-( +62+62+62)=1769- 61即数列c n的前 2012 项之和为 1769- 61212 分 22解：（）由已知： ()fxa，由题知 1(2)2f，解得 a=1于是 xfx，当 x(0，1)时， ()0f，f (x)为增函数，当 x(1，+)时， ()0fx，f (x)为减函数，即 f (
12、x)的单调递增区间为(0，1)，单调递减区间为(1，+) 5 分（）由（） x1(0，+)，f (x 1) f (1)=0，即 f (x1)的最大值为 0，由题知：对 x1(0，+)， x2(-，0)使得 f (x1)g(x 2)成立，只须 f (x)maxg(x) max 2()kgxkxkx k， 只须 0，解得 k110 分（）要证明22ln3ln14()(nN*，n2)只须证222lll()，只须证222ln3ln1()由（）当 1x，时， 0fx，f (x)为减函数，f (x)=lnx-x+10，即 lnxx-1， 当 n2 时， 2ln，22ln111()n，2l3ln 231n211()n， 22ln3l4()n14 分
