1、一只小小灯泡，当接通电源，灯泡发出的光，光芒四射，光线分散地射向各方。但若把它装在手电筒内，经过适当的调节，就会射出一束较强的平行光线，这是为什么呢？ 原来手电筒内，在小灯泡后面装有一个反光镜，镜面形状是一个由抛物线绕它的对称轴旋转而成的曲面，叫抛物镜面。灯泡装在焦点处，从焦点发出的光线经过抛物线上一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴。这是抛物线的光学性质。 抛物线为什么具有这个性质呢？ 光的反射定律：光线从某一方向入射经过某一界面反射出去，入射线、反射线与法线同处一平面，且在界面的同一侧，反射线与入射线在法线两侧，反射角等于入射角。 根据光的反射定律，我们可以证明不仅是抛物线，而且对圆锥曲线
2、：椭圆、双曲线、抛物线，都具备下列光学性质：为证明光学性质，先讨论圆锥曲线在某点的切线方程。 一、圆锥曲线的切线方程 1、抛物线上一点的切线方程 已知：点 P(x0,y0)为抛物线 y2=2px 上任一点。 求：抛物线过该点 P 的切线方程。 解：在抛物线 y2=2px 上任取一点 Q(x0+x,y0+y)，则(y0+y)2=2p(x0+x) ，展开得：y02+2y0y+y2=2px0+x，y02=2px0，y(2 y0+y)=2px， =。即抛物线上过这 P、Q 两点的割线斜率为：K1=。 显然，当点 Q 越靠近点 P 时， P、Q 两点的割线越趋近于 P 点的切线。而当 Q 越靠近点 P
3、时， x、y 越靠近于 0。当 x0 ，（这时 y0）P、Q 两点的割线就成为切线，而割线斜率就成为切线的斜率。切线的斜率 K=。抛物线在该点的切线方程为：y= (x-x0)+y0，即 y0y=p(x+x0)。 2、椭圆上一点的切线方程 已知：点 P(x0,y0)为椭圆任上一点。 求：椭圆过该点 P 的切线方程。 解：在椭圆任取一点 Q(x0+x,y0+y)，则 ，展开得 ,由，得，=-。即椭圆上过这 P、Q 两点的割线斜率为：K1=-，而当 Q 越靠近点P 时，x、y 越靠近于 0。当 x0 ，（这时 y0）P、Q 两点的割线就成为切线，而割线斜率就成为切线的斜率。切线的斜率 K=-。椭圆在
4、该点的切线方程为：y=-(x-x0)+y0，即。 3、双曲线上一点的切线方程 已知：点 P(x0,y0)为双曲线任上一点。 求：双曲线过该点 P 的切线方程。 解：在双曲线任取一点 Q(x0+x,y0+y)，则 ，展开得 ,由，得，=。即双曲线上过这 P、Q 两点的割线斜率为：K1= ，而当 Q越靠近点 P 时， x、y 越靠近于 0。当 x0 ，（这时 y0）P、Q 两点的割线就成为切线，而割线斜率就成为切线的斜率。切线的斜率 K=。双曲线在该点的切线方程为：y=(x-x0)+y0，即。 二、圆锥曲线的光学性质： 1、抛物线光学性质：从抛物线焦点发出的光线，经过抛物线上任一点反射后，反射光线
5、平行于抛物线的对称轴。 下面我们证明这个性质： 已知：P 为抛物线上一点， PA 平行抛物线对称轴，PF 为焦半径，PT 为抛物线在点 P的切线，PN 为法线。 求证：法线 PN 平分APF 。即 1=2 证明：设点 P(x0，y0)是抛物线 y2=2px 上任一点，PT 和 PN 是过该点的切线和法线。PA 平行于抛物线对称轴。PN 把FPA 分成 1 和 2 两个角，下面要证明 1=2，可转化成证明 1=2。 抛物线过点 P 的切线方程为 y0y=p(x+x0)，它的斜率为：KPT=tg=tg1=。 又 PA 的斜率为 KPA=0，PF 的斜率为 KPF=tan=。 由图可知：2=- 。又
6、y02=2px0。 tan2= = = =。 tan1= tan2。又 1、2 都是 0 到 之间的角。1=2，即 1=2。 经过上述证明，我们就可对探照灯为什么射出的光线是一束平行光作出科学的解释。 2、椭圆的光学性质：从椭圆一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线交于椭圆另一个焦点上。 下面证明这个性质： 已知：P 为椭圆上一点， PF1、PF2 为两个焦半径，PT 为椭圆在点 P 的切线，PN 为法线。 求证：法线 PN 平分F1PF2。即 1=2 证明：设点 P(x0，y0)是椭圆上的一点，PT 和 PN 是经过该点的切线和法线，PF1 和PF2 是过点 P 的两条焦半径。PN 分
7、F1PF2 为 1 和 2 两个角。下面根据两直线的到角公式证明 1=2。 过椭圆上点 P(x0，y0)的切线方程为：。则法线 PN 的斜率为 KPN=。 设两焦点分别为 F1(-c，0)，F2(c，0)，由斜率公式： KPF1=，KPF2= 。又P 是椭圆上的点， b2x02+a2y02=a2b2，且 a2-b2=c2。 tan1= 同理可得： tan2= = = tan1=tan2 又 1、2 都是 0 到 之间的角，所以 1=2。 3、双曲线的光学性质：从双曲线一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线是散开的，它们就好象是从另一个焦点(虚焦点) 射出的一样。 下面证明这个性质： 已
8、知：P 为双曲线上一点， PF1、PF2 为两个焦半径，PT 为双曲线在点 P 的切线，PN 为法线。 求证：切线 PT 平分F1PF2。即 1=2 证明：设点 P(x0，y0)是双曲线上一点，PT 和 PN 是经过该点的切线和法线，PF1 和PF2 是过点 P 的两条焦半径。PT 分F1PF2 为 1 和 2 两个角。下面根据两直线的到角公式证明 1=2。 过双曲线上点 P(x0，y0)的切线方程为：。 则切线 PT 的斜率为 KPT= 。设两焦点分别为 F1(-c，0)，F2(c，0)，由斜率公式：KPF1=， KPF2=。则：又P 是双曲线上的点，b2x02-a2y02=a2b2，且 a
9、2+b2=c2。 tan1= 同理可得： tan2= tan1=tan2 又 1、2 都是 0 到 之间的角，所以 1=2。 椭圆、双曲线、抛物线的光学性质经常被人们广泛应用于各种设计之中。 三、圆锥曲线光学性质的应用： 1、抛物线光学性质的应用： 探照灯、手电筒、汽车前灯等在灯泡后面都有一个反射镜，即抛物镜面。光线从灯泡（灯泡放在焦点位置）射出，经过反射镜的反射，就成为一束平行的光线射出。 应用抛物线的这个性质，还可以反过来，使一束平行光（如太阳光，调整使之与抛物面对称轴平行）经过抛物面的反射集中于焦点处。人们应用这个原理设计了“太阳灶” 来加热热水和食物。在这个太阳灶上装有一个旋转抛物面的
10、反光镜，当它的轴与太阳光线平行时，太阳光线经过镜面反射后集中于焦点处，产生了很高的温度，以致于把水烧开或把食物煮熟。 2、椭圆、双曲线光学性质的应用： 椭圆、双曲线的光学性质与抛物线的不同。由于入射角和反射角相等，所以，从椭圆一个焦点发出的光线，经过反射后，都聚焦到另一个焦点上。而从双曲线一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线是散开的，它们就好象是从另一个焦点射出的一样（该焦点称虚焦点）。如电影放影机的聚光灯有一个反射镜，它的形状是旋转椭圆面。为使片门（电影胶片通过的地方）处获得最强的光线，灯丝 F2 与片门 F1 应位于椭圆的两个焦点处，这就是利用椭圆光学性质的一个实例。 同样由椭圆一个焦点发出的声音，经过反射后，也都集中到另一个焦点上。有一种“耳语廊”的建筑物，它的顶部的纵断面是椭圆的半弧，在一个焦点处低声说话，本来不可能在另一个焦点处听到的声音，经反射后，能清晰地听到。 双曲线的光学性质也经常被人们广泛应用于各种设计之中。
