1、【线性代数复习提纲】只需1天就能高分过了线代没听课的孩纸果断分享了！线性代数复习提纲 第一部分：基本要求（计算方面） 四阶行列式的计算； N阶特殊行列式的计算（如有行和、列和相等）； 矩阵的运算（包括加、减、数乘、乘法、转置、逆等的混合运算）；求矩阵的秩、逆（两种方法）；解矩阵方程； 含参数的线性方程组解的情况的讨论； 齐次、非齐次线性方程组的求解（包括唯一、无穷多解）； 讨论一个向量能否用和向量组线性表示； 讨论或证明向量组的相关性； 求向量组的极大无关组，并将多余向量用极大无关组线性表示； 将无关组正交化、单位化； 求方阵的特征值和特征向量； 讨论方阵能否对角化，如能，要能写出相似变换的矩
2、阵及对角阵； 通过正交相似变换（正交矩阵）将对称矩阵对角化； 写出二次型的矩阵，并将二次型标准化，写出变换矩阵； 判定二次型或对称矩阵的正定性。 第二部分：基本知识一、行列式 1行列式的定义 用n2个元素aij组成的记号称为n阶行列式。 （1）它表示所有可能的取自不同行不同列的n 个元素乘积的代数和； （2）展开式共有n!项，其中符号正负各半； 2行列式的计算 一阶|= 行列式，二、三阶行列式有对角线法则； N 阶（n=3）行列式的计算：降阶法 定理： n阶行列式的值等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积的和。 方法：选取比较简单的一行（列），保保留一个非零元素，其余元素化为0
3、，利用定理展开降阶。 特殊情况 上、下三角形行列式、对角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积； （2）行列式值为0 的几种情况： 行列式某行（列）元素全为 0； 行列式某行（列）的对应元素相同； 行列式某行（列）的元素对应成比例； 奇数阶的反对称行列式。 二矩阵 1 矩阵的基本概念（表示符号、一些特殊矩阵如单位矩阵、对角、对称矩阵等）； 2矩阵的运算（1）加减、数乘、乘法运算的条件、结果； （2）关于乘法的几个结论： 矩阵乘法一般不满足交换律（若ABBA，称A、B是可交换矩阵）； 矩阵乘法一般不满足消去律、零因式不存在； 若A、B为同阶方阵，则|AB|=|A|*|B|； |kA|=kn|A|
4、3 矩阵的秩（1）定义 非零子式的最大阶数称为矩阵的秩； （2）秩的求法 一般不用定义求，而用下面结论： 矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；阶梯形矩阵的秩等于非零行的个数（每行的第一个非零元所在列，从此元开始往下全为0的矩阵称为行阶梯阵）。 求秩：利用初等变换将矩阵化为阶梯阵得秩。 4逆矩阵 （1）定义：A、B为n阶方阵，若AB BAI，称A可逆，B 是A的逆矩阵（满足半边也成立）； （2）性质： (AB)-1=(B-1)*(A-1) ，(A)-1=(A-1)；(A B的逆矩阵，你懂的)（注意顺序） （3 ）可逆的条件： |A|0； r(A)=n; A-I; （4）逆的求解 伴随矩阵法 A-1=(
5、1/|A|)A*；(A* A的伴随矩阵) 初等变换法（ A:I）-(施行初等变换)（I:A-1 ） 5用逆矩阵求解矩阵方程： AX=B，则X=（A-1）B； XB=A ，则X=B(A-1) ； AXB=C，则X=(A-1)C(B-1)三、线性方程组1线性方程组解的判定 定理： (1) r(A,b)r(A) 无解； (2) r(A,b)=r(A)=n 有唯一解； (3)r(A,b)=r(A)n 有无穷多组解； 特别地：对齐次线性方程组 AX=0 (1) r(A)=n 只有零解； (2) r(A)n 有非零解；再特别，若为方阵， (1)|A|0 只有零解 (2)|A|=0 有非零解 2齐次线性方程
6、组 （1）解的情况： r(A)=n ，（或系数行列式 D0）只有零解； r(A)n，（或系数行列式 D0）有无穷多组非零解。 （2 ）解的结构： X=c11+c22+Cn-rn-r 。 （3）求解的方法和步骤： 将增广矩阵通过行初等变换化为最简阶梯阵； 写出对应同解方程组； 移项，利用自由未知数表示所有未知数； 表示出基础解系； 写出通解。 3非齐次线性方程组 （1）解的情况： 利用判定定理。 （2）解的结构： X=u+c11+c22+Cn-rn-r。 （3）无穷多组解的求解方法和步骤： 与齐次线性方程组相同。（4）唯一解的解法： 有克莱姆法则、逆矩阵法、消元法（初等变换法）。 四、向量组 1
7、 N 维向量的定义 注：向量实际上就是特殊的矩阵（行矩阵和列矩阵）。 2向量的运算： （1）加减、数乘运算（与矩阵运算相同）； （2）向量内积 =a1b1+a2b2+anbn； （3）向量长度 |=(a12+a22+an2) ( 根号) （4）向量单位化 (1/|)； （5 ）向量组的正交化（施密特方法） 设 1， 2，n 线性无关，则 1=1， 2=2- （21/1）*1， 3=3-（31/11）*1-（32/22）*2，。 3线性组合 （1 ）定义 若 =k11+k2 2+knn，则称 是向量组1， 2，n 的一个线性组合，或称 可以用向量组 1， 2，n 的一个线性表示。 （2）判别方法
8、 将向量组合成矩阵，记 A(1， 2，n)，B=(1，2，n,) 若 r (A)=r (B)，则 可以用向量组 1， 2， ，n 的一个线性表示； 若 r (A)r (B)，则 不可以用向量组 1， 2， ，n 的一个线性表示。（3）求线性表示表达式的方法： 将矩阵 B 施行行初等变换化为最简阶梯阵，则最后一列元素就是表示的系数。 4向量组的线性相关性 （1 ）线性相关与线性无关的定义 设 k11+k22+knn=0， 若 k1,k2,，kn 不全为 0，称线性相关；若 k1,k2,，kn 全为 0，称线性无关。 （ 2）判别方法： r(1， 2，n)n，线性相关； r(1， 2， ，n)=n
9、 ，线性无关。 若有 n 个 n 维向量，可用行列式判别： n 阶行列式aij0 ，线性相关（ 0无关） (行列式太不好打了) 5极大无关组与向量组的秩 （1）定义 极大无关组所含向量个数称为向量组的秩（2）求法 设 A(1 ， 2，n) ，将 A 化为阶梯阵，则 A 的秩即为向量组的秩，而每行的第一个非零元所在列的向量就构成了极大无关组。 五、矩阵的特征值和特征向量 1定义 对方阵 A，若存在非零向量 X 和数 使 AXX，则称 是矩阵 A 的特征值，向量 X 称为矩阵 A 的对应于特征值 的特征向量。 2 特征值和特征向量的求解： 求出特征方程 |I-A|=0的根即为特征值，将特征值代入对
10、应齐次线性方程组 (I-A)X0 中求出方程组的所有非零解即为特征向量。 3重要结论： （1）A 可逆的充要条件是 A 的特征值不等于 0； （2）A 与 A 的转置矩阵 A有相同的特征值； （3）不同特征值对应的特征向量线性无关。 六、矩阵的相似 1定义 对同阶方阵 A、 B，若存在可逆矩阵 P，使 P-1AP=B，则称 A 与 B 相似。2求 A 与对角矩阵相似的方法与步骤（求 P 和）： 求出所有特征值； 求出所有特征向量； 若所得线性无关特征向量个数与矩阵阶数相同，则 A 可对角化（否则不能对角化），将这 n 个线性无关特征向量组成矩阵即为相似变换的矩阵 P，依次将对应特征值构成对角阵
11、即为。 3求通过正交变换 Q 与实对称矩阵 A 相似的对角阵：方法与步骤和一般矩阵相同，只是第三歩要将所得特征向量正交化且单位化。 七、二次型 n 1定义 n 元二次多项式 f(x1,x2,，xn)= aijxixj 称为二次型,若 aij=0(ij)，则称为二交型的标准型。i,j=1 2二次型标准化： 配方法和正交变换法。正交变换法步骤与上面对角化完全相同，这是由于对正交矩阵 Q，Q-1=Q，即正交变换既是相似变换又是合同变换。 3二次型或对称矩阵的正定性：（1）定义（略）； （2）正定的充要条件： A 为正定的充要条件是 A 的所有特征值都大于 0； A 为正定的充要条件是 A 的所有顺序主子式都大于 0；
