1、高中数学函数知识点总结8. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？（定义域、对应法则、值域）相同函数的判断方法：表达式相同；定义域一致 (两点必须同时具备)9. 求函数的定义域有哪些常见类型？例 ： 函 数 的 定 义 域 是yx432lg （ 答 ： ， ， ， ）0234函数定义域求法： 分式中的分母不为零； 偶次方根下的数（或式）大于或等于零； 指数式的底数大于零且不等于一； 对数式的底数大于零且不等于一，真数大于零。 正切函数 xytankxR,2,且 余切函数 cot,且 反三角函数的定义域函数 yarcsinx 的定义域是 1, 1 ，值域是 ，函数 yarccosx 的定
2、义域是 1, 1 ，值域是 0, ，函数 yarctgx 的定义域是 R ，值域是 .，函数 yarcctgx 的定义域是 R ，值域是 (0, ) .当以上几个方面有两个或两个以上同时出现时，先分别求出满足每一个条件的自变量的范围，再取他们的交集，就得到函数的定义域。10. 如何求复合函数的定义域？如 ： 函 数 的 定 义 域 是 ， ， ， 则 函 数 的 定fxabaF(xfx() )()0义域是_。 （ 答 ： ， ）复合函数定义域的求法：已知 的定义域为 ，求 的定义域，可由)(xfynm,)(xgfy解出 x 的范围，即为 的定义域。ngm)( g例 若函数 的定义域为 ，则 的
3、定义域为 。)(fy2,1)(lo2xf11、函数值域的求法1、直接观察法对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。例 求函数 y= 的值域x12、配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。例、求函数 y= -2x+5，x -1，2的值域。23、判别式法对二次函数或者分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其他方法进行化简，不必拘泥在判别式上面下面，我把这一类型的详细写出来，希望大家能够看懂. 12.22222ba y型 ： 直 接 用 不 等 式 性 质k+x型 ,先 化 简 ， 再 用 均 值 不 等 式mn 例 ： 1xcy型 通 常 用 判 别 式d
4、 型n法 一 ： 用 判 别 式法 二 ： 用 换 元 法 ， 把 分 母 替 换 掉x1（ +） （ x1） 1 例 ： y（ x+） 24、反函数法直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。例 求函数 y= 值域。6543x5、函数有界性法直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定函数的值域。我们所说的单调性，最常用的就是三角函数的单调性。例 求函数 y= ， ， 的值域。1xe2sin1y2sin1coy6、函数单调性法通常和导数结合，是最近高考考的较多的一个内容例求函数 y= （2x10）的值域5xlog31x7、换元法通过简单的换元把一个函
5、数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型。换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。例 求函数 y=x+ 的值域。1x8 数形结合法其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。例：已知点 P（x.y）在圆 x2+y2=1 上，2,(2),(,0, (1)的 取 值 范 围y-的 取 值 范 围 解 :()令 则 是 一 条 过 -的 直 线 . d为 圆 心 到 直 线 的 距 离 R为 半 径 )2)令 y-即 也 是 直 线 d xykxxRbyxR例
6、求函数 y= + 的值域。2)82例求函数 y= + 的值域136x54x注：求两距离之和时，要将函数 9 、不等式法利用基本不等式 a+b2 ，a+b+c3 （a，b，c ） ，求函数的最值，其题型特征解析式abc3R是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。例： 3()12x(3-)00) y=b O(a,b) O x x=a (k 为斜率， b 为直线与 y 轴的交点)（ ） 一 次 函 数 ：10ykxb（ ） 反 比 例 函 数 ： 推 广 为 是 中 心 ，200ykxybkxaOab()的双曲线。（ ） 二 次 函 数 图 象 为
7、 抛 物 线3 242 2abcacb顶 点 坐 标 为 ， ， 对 称 轴xba42开 口 方 向 ： ， 向 上 ， 函 数ayc042minab， 向 下 ， x121212,|bxcxaaAA根 的 关 系 ： 211212()()mn,)(fxbmnxfahxh二 次 函 数 的 几 种 表 达 形 式 ：一 般 式顶 点 式 ， （ ， ） 为 顶 点是 方 程 的 个 根 ）函 数 经 过 点 （应用：“三个二次” （二次函数、二次方程、二次不等式）的关系二次方程axbc yabxcx2 120， 时 ， 两 根 、 为 二 次 函 数 的 图 象 与 轴的 两 个 交 点 ，
8、也 是 二 次 不 等 式 解 集 的 端 点 值 。axbc0()求闭区间m，n上的最值。2m(),in()ax4in,ax(),(m 0nfffmbcfffna区 间 在 对 称 轴 左 边 （ ） 区 间 在 对 称 轴 右 边 （ ）区 间 在 对 称 轴 边 （ ） 也 可 以 比 较 和 对 称 轴 的 关 系 ， 距 离 越 远 ， 值 越 大(只 讨 论 的 情 况 ）求区间定（动） ，对称轴动（定）的最值问题。一元二次方程根的分布问题。如 ： 二 次 方 程 的 两 根 都 大 于axbckbakf2002()y O x k y (a0) O k x1 x2 x 一 根 大
9、于 ， 一 根 小 于kkf()0mn22()0bmnaff在 区 间 （ ， ） 内 有 根在 区 间 （ ， ） 内 有 1根（ ） 指 数 函 数 ： ，40yax（ ） 对 数 函 数 ，51aalog由图象记性质！ （注意底数的限定！） y y=ax(1) (01) 1 O 1 x (00 且 a1）-f（xy ）f（x）f（y ） ；f（ ） f（x）f （y）y5. 三角函数型的抽象函数f（x）t gx- f（xy ） )(1yfxff（x）cot x- f（xy） )(ff例 1 已知函数 f（x）对任意实数 x、y 均有 f（xy ）f（x）f（y） ，且当 x0 时，f(
10、x)0，f( 1) 2 求f(x)在区间 2,1上的值域.分析：先证明函数 f（x）在 R 上是增函数（注意到 f（x 2）f （x 2x 1）x 1f（x 2x 1）f（x 1） ） ；再根据区间求其值域.例 2 已知函数 f（x）对任意实数 x、y 均有 f（xy ）2f（x）f（y） ，且当 x0 时，f( x)2，f(3) 5，求不等式 f（a 22a2）0, xN ；f（ab） f（a）f（b） ，a、bN ；f（2）4.同时成立？若存在，求出 f（x）的解析式，若不存在，说明理由.分析：先猜出 f（x）2 x；再用数学归纳法证明 .例 6 设 f（x）是定义在（ 0，）上的单调增函
11、数，满足 f（x y）f（x ）f（y） ，f（3）1，求：（1） f（1） ；（2） 若 f（x）f（x8）2，求 x 的取值范围.分析：（1）利用 313；（2）利用函数的单调性和已知关系式.例 7 设函数 y f（x ）的反函数是 yg（x）.如果 f（ab）f（a） f（b） ，那么 g（ab）g（a）g（b）是否正确，试说明理由.分析：设 f（a）m，f（b）n，则 g（m）a，g（n）b，进而 mnf（a）f（b） f（ab）f g（m）g（n） .例 8 已知函数 f（x ）的定义域关于原点对称，且满足以下三个条件： x1、x 2 是定义域中的数时，有 f（x 1x 2） ；)(
12、121xff f（a） 1（a0，a 是定义域中的一个数） ； 当 0x2a 时，f（x）0.试问：（1） f（x）的奇偶性如何？说明理由；（2） 在（0，4a）上，f（x ）的单调性如何？说明理由.分析：（1）利用 f （x 1x 2） f （x 1x 2） ，判定 f（ x）是奇函数；（3） 先证明 f（x ）在（0，2a）上是增函数，再证明其在（2a，4a）上也是增函数.对于抽象函数的解答题，虽然不可用特殊模型代替求解，但可用特殊模型理解题意.有些抽象函数问题，对应的特殊模型不是我们熟悉的基本初等函数.因此，针对不同的函数要进行适当变通，去寻求特殊模型，从而更好地解决抽象函数问题.例 9
13、 已知函数 f（x） （x 0）满足 f（xy）f（x）f（y） ，（1） 求证：f（1）f（1）0；（2） 求证：f（x）为偶函数；（3） 若 f（x）在（0，）上是增函数，解不等式 f（x）f（x ）0.21分析：函数模型为：f（x）log a|x|（a0）（1） 先令 xy1，再令 xy 1；（2） 令 y 1；（3） 由 f（x）为偶函数，则 f（x）f（|x|）.例 10 已知函数 f（x）对一切实数 x、y 满足 f（0）0，f（xy ）f（x）f（y） ，且当 x0 时，f（x）1，求证：（1） 当 x0 时，0f（x）1；（2） f（x）在 xR 上是减函数.分析：（1）先令
14、xy 0 得 f（0 ）1，再令 yx；（3） 受指数函数单调性的启发：由 f（x y）f（ x）f（y）可得 f（x y） ，)(f进而由 x1x 2，有 f（x 1x 2）1.)(2练习题：1.已知：f（xy ） f（x）f（y）对任意实数 x、y 都成立，则（ ）（A） f（0）0 （B）f（0）1 （C）f（0）0 或 1 （D）以上都不对2. 若对任意实数 x、y 总有 f（xy）f（x）f（y） ，则下列各式中错误的是（ ）（A） f（1）0 （B）f（ ） f（x） （C）f（ ） f（x）f（y） （D）f（x n）nf（x ） （n N ）3.已知函数 f（x）对一切实数 x
15、、 y 满足：f（0）0，f（xy ）f（x）f（y） ，且当 x0 时，f（x）1，则当x0 时， f（x ）的取值范围是（ ）（A） （1，） （B） （，1）（C） （0，1） （D） （1，）4.函数 f（x）定义域关于原点对称，且对定义域内不同的 x1、x 2 都有f（x 1x 2） ，则 f（x ）为（ ）)(21f（A）奇函数非偶函数 （B）偶函数非奇函数（C）既是奇函数又是偶函数 （D）非奇非偶函数5.已知不恒为零的函数 f（x）对任意实数 x、y 满足 f（xy ）f（xy）2f（x）f（y），则函数 f（x）是（ ）（A）奇函数非偶函数 （B）偶函数非奇函数（C）既是奇函数又是偶函数 （D）非奇非偶函数参考答案：1A 2B 3 C 4A 5B23. 你记得弧度的定义吗？能写出圆心角为 ，半径为 R 的弧长公式和扇形面积公式吗？(和三角形的（ ， ）扇llRS122面积公式很相似， 可以比较记忆.要知道圆锥展开图面积的求法)O R 1弧 度 R
