1、第 1 页(共 4 页)2011 年硕士研究生入学考试试题答案及评分标准考试科目代码: 856 考试科目名称: 高等代数 一.(40 分,每题 4 分)答:1.(C) 2.(B) 3.(D) 4.(D) 5.(C) 6.(B) 7.(A) 8.(B) 9.(A) 10.(D) 二.(20 分)(1). 证明:如果 , , 那么 .(),1fxg(),1fxh(),()1fxgh(2). 命题“如果 是 的 重根,那么 是 的 重根”对吗?若你m)fm认为这个命题是对的,给出一个证明。若你认为不对,请举出反例。答:(1). 如果 与 不互素,那么存在不可约多项式 , 使()fx()ghx ()p
2、x并且 .(5 分)由后者可知, 或者 , ()pxf p ()pxg h都与 及 矛盾。(10 分),()1g(),1fx(2). 命题不对(4 分) 。反例:取 , 则 . 0 是 的 1 重2(1fx()2fx()fx根,但 0 不是 的 2 重根。 (10 分)()fx三.(15 分)已知行列式 . 求 ,其中 是元素1372145D12324AijA的代数余子式。ija解:考虑行列式 ,按它的第二列展开。 (5 分)由于 和 除了第137245C CD二列外均相同,故 , (10 分)而计算可得12324A. 所以 .(15 分)137454C123245A第 2 页(共 4 页)四
3、 (20 分)计算 阶行列式 .n1231001nn-LMML解:各列加到第一列;按第一列展开。原式 (10 分)1231010021nnn (15 分)1002(1)1nn (18 分) 1(2)()!n(20 分)1!n五.(10 分)写出一个三元齐次线性方程组,使它的基础解系为 .(2,1)解:考虑以 为解的方程 ,(2,1)1230kxkx那么 .(3 分)130kkAA把它看成 的方程。得到基础解系 (7 分)2, (,)1,由此得到方程组 1230xx它以 为基础解系。.(10(2,1)分)第 3 页(共 4 页)六.(15 分)设数域 上的 3 维空间 的线性变换 在基 下的矩阵
4、为PVA123,. 求线性变换 在基 下的矩阵。145021A123,解:线性变换 在基 下的矩阵为21s-23,a(5 分)2 144450505011由于 (10 分)400所以 (15 分)2 1114456855207321七.(15 分)设 是 维欧氏空间 的一个正交变换,证明 的不变子空间的正nV交补也是 的不变子空间。证:设 是 的任意一个不变子空间, 为 的一组标准正交基,把它扩W1,m W充成 的一组标准正交基 , , (5 分)则 V1,m n 1(,),mL.(8 分) 由于 为正交变换,所以 也是标1(,)mnL 12,n准正交基 (10 分)又由于 是 的不变子空间,
5、所以 是 的一组m W标准正交基,从而 , (12 分)1,mnW任取 ,那么 . 故1aa 1()()()mnaa是 的不变子空间 (15 分)W八.(15 分)设 是 维欧氏空间 的一个线性变换如果 关于一个标准正交基nV的矩阵是实对称矩阵,那么 是一个对称变换证:设 关于 的一个标准正交基 的矩阵 是对称的令V12,n ()ijAa第 4 页(共 4 页)是 的任意向量(2 分)1,nix1niyV那么 (4 分)11(),(),nniijx(6 分)11,nnikijxay(8 分)11,nnkijkixy(10 分)1.njijjiaxy同样的计算可得(13 分)1,().nijixy因为 ,所以 。即 是一个对称变换。(15 分)jiija(),()