1、第 1 页（共 4 页）2011 年硕士研究生入学考试试题答案及评分标准考试科目代码： 856 考试科目名称： 高等代数 一.（40 分，每题 4 分）答：1.(C) 2.(B) 3.(D) 4.(D) 5.(C) 6.(B) 7.(A) 8.(B) 9.(A) 10.(D) 二.（20 分）(1). 证明：如果 , , 那么 .(),1fxg(),1fxh(),()1fxgh(2). 命题“如果 是 的 重根，那么 是 的 重根”对吗？若你m)fm认为这个命题是对的，给出一个证明。若你认为不对，请举出反例。答：(1). 如果 与 不互素，那么存在不可约多项式 , 使()fx()ghx ()p
2、x并且 .（5 分）由后者可知， 或者 , ()pxf p ()pxg h都与 及 矛盾。(10 分),()1g(),1fx(2). 命题不对（4 分） 。反例：取 , 则 . 0 是 的 1 重2(1fx()2fx()fx根，但 0 不是 的 2 重根。 （10 分）()fx三.（15 分）已知行列式 . 求 ，其中 是元素1372145D12324AijA的代数余子式。ija解：考虑行列式 ，按它的第二列展开。 （5 分）由于 和 除了第137245C CD二列外均相同，故 ， （10 分）而计算可得12324A. 所以 .（15 分）137454C123245A第 2 页（共 4 页）四
3、 （20 分）计算 阶行列式 .n1231001nn-LMML解：各列加到第一列；按第一列展开。原式 (10 分)1231010021nnn (15 分)1002(1)1nn (18 分) 1(2)()!n(20 分)1!n五.（10 分）写出一个三元齐次线性方程组，使它的基础解系为 .(2,1)解：考虑以 为解的方程 ，(2,1)1230kxkx那么 .（3 分）130kkAA把它看成 的方程。得到基础解系 （7 分）2, (,)1,由此得到方程组 1230xx它以 为基础解系。.（10(2,1)分）第 3 页（共 4 页）六.（15 分）设数域 上的 3 维空间 的线性变换 在基 下的矩阵
4、为PVA123,. 求线性变换 在基 下的矩阵。145021A123,解：线性变换 在基 下的矩阵为21s-23,a（5 分）2 144450505011由于 （10 分）400所以 （15 分）2 1114456855207321七.（15 分）设 是 维欧氏空间 的一个正交变换，证明 的不变子空间的正nV交补也是 的不变子空间。证：设 是 的任意一个不变子空间， 为 的一组标准正交基，把它扩W1,m W充成 的一组标准正交基 , , （5 分）则 V1,m n 1(,),mL.（8 分） 由于 为正交变换，所以 也是标1(,)mnL 12,n准正交基 （10 分）又由于 是 的不变子空间，
5、所以 是 的一组m W标准正交基，从而 ， （12 分）1,mnW任取 ,那么 . 故1aa 1()()()mnaa是 的不变子空间 （15 分）W八.（15 分）设 是 维欧氏空间 的一个线性变换如果 关于一个标准正交基nV的矩阵是实对称矩阵，那么 是一个对称变换证：设 关于 的一个标准正交基 的矩阵 是对称的令V12,n ()ijAa第 4 页（共 4 页）是 的任意向量（2 分）1,nix1niyV那么 （4 分）11(),(),nniijx（6 分）11,nnikijxay（8 分）11,nnkijkixy（10 分）1.njijjiaxy同样的计算可得（13 分）1,().nijixy因为 ，所以 。即 是一个对称变换。（15 分）jiija(),()
