1、数学物理方法,牛志平,课程目的,培养运用数学方法分析、解决物理问题的能力,课程简介,课程内容,复变函数论,数学物理方程及其常用解法,积分变换(傅里叶变换、拉普拉斯变换),课程特点,涉及数学知识广泛,涉及物理内容和概念多,计算较繁,对 象,复变函数（自变量为复数的函数）,主要任务,研究复变数之间的相互依赖关系，具体地就是复数域上的微积分。,主要内容,复变函数的积分、级数、留数、,复数与复变函数、解析函数、,傅里叶变换、拉普拉斯变换,第一篇 复变函数论,学习方法,复变函数中许多概念、理论、和方法是实变函数在复数域内的推广和发展，它们之间有许多相似之处。但又有不同之处，在学习中要善于比较、区别、特别
2、要注意复数域上特有的那些性质与结果。,第一章 复变函数,11 复数与复数运算,一、复数的定义与表示,1.定义: 对任意两实数x、y ,称 z=x+iy为复数,复数的模,2.复数的表示:,称向量的长度为复数z=x+iy的模或绝对值；以正实轴 为始边, 以 为终边的角的弧度数 称为复数z=x+iy的辐角.(z0时),复数平面（几何表示）,复数z和复数平面上的点（x，y）一一对应,复数z也和复数平面上的一个矢量一一对应,复数的几种表示方式:,1 代数式：,实部,虚部,2 三角函数式：,3 指数式：,判断复数相等,一般, 任意两个复数不能比较大小。,二、复数的模、幅角和共轭复数,1复数的模：,2复数的
3、幅角：,主值：arg z,复数0的幅角无意义,一个复数的幅角一般可有无限多个值,3共轭复数,Z和Z*关于实轴对称,性质：,三、无限远点、复数球,模 有限的复数,复数平面上有限远点,模 的复数,复数平面上的无限远点,复数平面上有限远点和球面上N以外的点一一对应,复数平面无限远点和球面上N点对应,例,代数式：,三角式：,指数式：,四、复数的运算,设,满足交换律、结合律,1加减,设,2乘除,定理 两个复数乘积的模等于它们的模相乘， 两个复数乘积的辐角等于它们的辐角相加。,定理 两个复数的商的模等于它们的模的商， 两个复数的商的辐角等于被除数与除 数的辐角之差。,满足交换律、结合律、分配律,3 n（整
4、数）次幂,定义,由复数的乘法定理和数学归纳法可证:,4 n（整数）次方根,共有n个不同值,问题 给定复数z=e i ，求所有的满足n=z 的 复数。,当k=0，1，n-1时，可得n个不同的根， 而k取其它整数时，这些根又会重复出现。,几何上， 的n个值是以原点为中心， 为半径的圆周上n个等分点，即它们是内接于该圆周的正n边形的n个顶点。,例 计算,解,例 计算,解,12 复变函数,一、复变函数的定义：,若在复数平面（或球面）上存在一个点集E（复数的集合），对E的每一个点（每一个z值），按照一定的规律，有一个或多个复数值w与之对应，则称w为z的复变函数。z称为w的宗量，定义域为E。,记作：,二、
5、区域和曲线,1区域：复变函数的宗量z在复数平面上的取值范围。它是满足以下两个条件的点集： （1）全由内点组成。（2）具有连通性。,为了给区域严格定义,我们引入:,邻域,复平面上以 z 0为圆心，任意小正实数 0为半径的圆 | z -z 0|(或 0 | z z 0|) 内部的点的集合称为点 z 0 的（去心）邻域 。,设D是复平面上一点集,若点 z0及其邻域都属于D，则称z 0是区域D的内点。,内点,境界点,若点z 0及其邻域均不属于区域D，则称z 0是区域D的外点。,外点,若点z 0本身不属于区域D,但在其邻域内含有属于区域D的点，则称z 0是区域D的境界点。,B1的内点,B2的外点,B3的
6、境界点,D-区域,边界(境界线),闭区域,区域D与它的边界一起构成闭区域,2曲线：设 和 是定义在 上 的连续函数，则由方程,或,所决定的点集L，称为复数平面上的一条连续曲线。,简单闭曲线的性质,任一条简单闭曲线 C：z=z(t)， ta，b，把复平面唯一地分成两个没有公共点的区域：一个是有界区域，称为C的内部区域；一个是无界区域，称为C的外部区域。它们以这条简单闭曲线为公共边界。,3区域的表示：,复数平面上的区域通常是由复数的实部、虚部及幅角的不等式所确定的点集。,例,（1）,（2）,（3）,（4）,（5）,（6）,三、初等复变函数,1指数函数,以 为周期的周期函数。,2三角函数,以 为周期
7、的周期函数。,实三角函数恒等式对复变数三角函数仍然成立。,3双曲函数, 以 为周期的周期函数。, 实双曲函数恒等式对复变数双曲函数仍然成立。,例 求 、 的实部、虚部和模,解,4对数函数, 是负实数时,主值：, 是多值函数，任两个函数值相差 的整数倍。 称为 的主值。,主值：,主值：, 实对数函数运算法则对复变量对数函数 同样适用。,5幂函数,当 （n是正整数）时：,单值函数,当 （n是正整数）时：,多值（n个值）函数,当 为复数,为无穷多值的多值函数,例,例,解,例5,四、多值函数,1（定义）对于给定的复变数 ，如果复变函数 有二个或二个以上的值和它对应，则这类复变函数称为多值函数。,2多值
8、函数的单值分支,多值函数 中对于给定的复变数 ，对应的一个函数 称为该多值函数的一个单值分支。,性质：复变量多值函数的各单值分支并不相互独立，当复变量 沿绕某一定点的任一曲线连续变化时，多值函数将交错取它各单值分支的各个数值。,设复变量 从 出发，绕原点沿任一曲线连续变化一周后回到起点：,再连续变化一周后回到起点,13 复变函数的导数,一、极限(定义),记作:,这个定义在几何上意味着：当变点进入Z0一个充分小的 邻域时，它们的像点就落入w0的一个给定的邻域。,二、连续(定义),三、导数（定义）,记为：,四、求导法则,实变函数中求导法则同样可应用于复变函数,五、柯西黎曼（CR）方程,柯西黎曼方程
9、：,是复变函数可导的必要条件（不是充分条件）,在极坐标系中对,（1）沿径向趋于零,（2）沿横向趋于零,极坐标系中的柯西黎曼方程：,柯西-黎曼条件的应用,例 讨论函数 在点z0 =0处的可导性。,解：首先考察 C-R条件是否满足。,根据,有,C-R 在z0=0处成立,六、复变函数可导的充要条件,例 问：函数f (z)=x+2yi是否可导？,例,解,解,14 解析函数,一、 定义（解析函数）,如果函数 在点 及其邻域上处处可导，则称 在 点解析。,如果函数 在 点不解析，则称为 的奇点。,如果函数 在区域B内每一点都解析，则称 是区域B内的解析函数。,注意（1）函数的解析性概念是和一个区域 （或点
10、的 邻域）联系在一起的。,（2）函数在一个区域内可导和解析是等价的；但在一个点上可导和解析是不等价的。,二、 解析函数判定定理,三、 解析函数性质,证明,在区域B内解析,均为B内的调和函数,证明,在区域B内解析,与 正交,例1 讨论下列函数的可微性和解析性， 并在其各可微点求出导数。,解,它们在全平面有连续一阶偏导数，,在全平面处处可微。,=,=,在全平面有连续一阶偏导数,在全平面处处可微。,=,=,在整个复平面可导、解析。,在整个复平面CR方程处处成立,仅在点z = 0 (x=0, y=0) 处 满足C-R条件:,则 u= x2+y2 , v=0,解,例 判定函数 在何处可导，在何处解析?,
11、故,一个点上可导和解析是不等价的!,四、已知解析函数的实（虚）部， 求解析函数,证明,是调和函数,即：,故存在函数v（x，y）使：,C-R方程成立,且B是单连通区域，线积分与路径无关,在B内解析,又,结论：若已知单连通区域B内的调和函数，就可以找到B内的解析函数 ，它以已知调和函数为实部或虚部（相差一个实常数或纯虚常数）。,（1）曲线积分法：积分与路径无关，可选取特殊路径，使积分容易算出。,（2）凑全微分显式法：将积分式凑成全微分显式。,（3）不定积分法：将x（或y）视作参数，先对y（或x）积分；再对x（或y）积分。,解,是调和函数,（1）曲线积分法：,选积分路径,（2）凑全微分显式法：,（3
12、）不定积分法：,将x视作参数，先对y积分,再确定,例2 已知,求以它为虚部的解析函数。,解 用极坐标,全微分显式,15 解析函数在平面场中的应用,一、恒定平面场,恒定场：不随时间变化的物理场（电磁场、 温度场）。,平面场：在空间某一方向均匀的物理场，只 需在垂直于该方向的平面上研究它。,二、平面矢量场和平面标量场,平面矢量场（静电场）,平面标量场（电势）,无旋、无源场一定存在一个势函数u，其为调和函数,三、复势,分别代表 的等势线族和通量线族。,平面静电场,复势,电势：,通量函数：,等势线族：,电力线族：,电场线族：,等势线族：,穿过ab的电通量,平面无旋流体的速度场,复势：,速度势：,流量函数：,热流线族：,流线族：,平面稳定温度场,复势：,温度函数：,热流量函数：,等势线族：,等温线族：,例1 （P20）,解,复势：,电场线族：,等势线族：,由电力线方程解出,设,注意：,不是调和函数！,代入：,得：,令：,积分得：,再积分得：,用极坐标：,等势线族：,
