1、A1xD1B1ADBCC1yzE1F1HGA1xD1B1ADBCC1yz E1F空间的角的计算（1）一、创设情景1、异面直线所称的角、线面角的定义及求解方法2、向量的夹角公式二、建构数学1、法向量在求面面角中的应用：原理：一个二面角的平面角 1 与这个二面角的两个半平面的法向量所成的角 2 相等或互补。2、法向量在求线面角中的应用：原理：设平面 的斜线 l 与平面 所的角为 1，斜线 l 与平面 的法向量所成角 2，则 1 与 2 互余或与 2的补角互余。三、数学运用1、例 1 在正方体 中,E 1，F 1 分别在 A1B1,C1D1 上，且 E1B1= A1B1，D 1F1= D1C1，求
2、BE11DCBA 44与 DF1 所成的角的大小。解 1：(几何法)作平行线构造两条异面直线所成的角 HG175cosAHG解 2：（向量法）设 ，则 且bFa1,4|ab222121 7)(|BEDF5b 1|,cos11DF解 3：（坐标法）设正方体棱长为 4，以 为正交基底，建立如图所示空间坐标系1,DCA xz, ， 15)40(1BE),0(11BE75|cos1F2、例 2 在正方体 中, F 分别是 BC 的中点，点 E 在 D1C1上,且 D1C1,试求直线 E1F 与CAD 14平面 D1AC 所成角的大小解：设正方体棱长为 1，以 为单位正交基底，建立如图所示坐标系 D-x
3、yz1,为 D1AC 平面的法向量，B),(B),432(1FE87,cos1所以直线 E1F 与平面 D1AC 所成角的正弦值为 873、补充例题 在三棱锥 SABC 中，SAB=SAC =ACB=90，AC=2，BC= ，SB= 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j139（1）求证：SCBC；（2）求 SC 与 AB 所成角的余弦值 头htp:/w.xjkygcom126t:/.jDClABlPOA PA BlA1xD1B1ADBCC1yzEA1xD1B1ADBCC1yzEF空间的角的计算（2）一、创设情景1、二面角的定义及求解方法 2、平面的法向量的定义二、建构数学利用向量求
4、二面角的大小。方法一：转化为分别是在二面角的两个半平面内且与棱都垂直的两条直线上的两个向量的夹角（注意：要特别关注两个向量的方向）如图：二面角 -l- 的大小为 ，A，Bl，AC ，BD , ACl ，BD l 则 = 方法二：先求出二面角一个面内一点到另一个面的距离及到棱的距离，然后通过解直角三角形求角。如图：已知二面角 -l-，在 内取一点 P， 过 P 作 PO，及 PAl,连 AO，则 AOl 成立，PAO 就是二面角的平面角 用向量可求出|PA|及|PO|，然后解三角形 PAO 求出PAO。方法三：转化为求二面角的两个半平面的法向量夹角的补角。如图（1）P 为二面角 -l- 内一点，
5、作 PA ， PB，则AP B 与二面角的平面角互补。 三、数学运用1、例 3 在正方体 中,求二面角 的大小。11DC11CBD解：设正方体棱长为 1，以 为单位正交基底，建立如图所示坐标系 D-xyz（法一） ,)2,(1EA),2(1E3cosC（法二）求出平面 与平面 的法向量B11 )1,(,)1(21nn|,cs2121nn2、例 4 已知 E,F 分别是正方体 的棱 BC 和 CD 的中点，求：11DCBA（1）A 1D 与 EF 所成角的大小；（2）A 1F 与平面 B1EB 所成角的大小；（3）二面角 的大小。C解：设正方体棱长为 1，以 为单位正交基底，建立如图所示坐标系
6、D-xyz1,D（1） ),0(1)02(EF|,cos11AA1D 与 EF 所成角是 06（2） , )2,(F),(B3|,cos11 BFA（3） , ，11C0,1A 6|,11CC二面角 的正弦值为BD136zyxC1B1A1A CBCADBOEEFD CBA空间的距离一、创设情景1、空间中的距离包括：两点间的距离，点到直线的距离，点到平面的距离，平行直线间的距离，异面直线直线间的距离，直线与平面的距离，两个平行平面间的距离。这些距离的定义各不相同，但都是转化为平面上两点间的距离来计算的。2、距离的特征：3、求空间中的距离有直接法，即直接求出垂线段的长度；转化法，转化为线面距或面面
7、距，或转化为某三棱锥的高，由等积法或等面积法求解；向量法求解。二、建构数学1、两点间的距离公式2、向量法在求异面直线间的距离4、向量法在求点到平面的距离中（1）设分别以平面外一点 P 与平面内一点 M 为起点和终点的向量为 ，平面的法向量为 ，则 P 到平面的距an离 d 等于 在 方向上正射影向量的模。an|nad（2）先求出平面的方程，然后用点到平面的距离公式：点 P（x 0,y0,z0）到平面 AX+BY+CZ+D=0 的距离 d 为：d=三、数学运用1、例 1 直三棱柱 ABC-A1B1C1 的侧棱 AA1= ，底面 ABC 中，C=90，AC=BC=1，求点 B1 到平面 A1BC
8、的3距离。解 1：如图建立空间直角坐标系，由已知得直棱柱各顶点坐标如下：A（1,0,0） ，B （0,1,0） ，C（0,0,0）A 1（1,0, ） ，B 1（0,1, ） ，C 1（0,0, ）3 3 3 =（1,1, ） ， =（1,0, ） =（1,1,0）13 13设平面 A1BC 的一个法向量为 ，),(zyxn则 10z01n3zxy即 ),3(所以，点 B1 到平面 A1BC 的距离 23|1nBAd解 2 建系设点同上（略） ，设平面 A1BC 的方程为 ax+by+cz+d=0(a,b,c,d 不全为零)，把点 A1，B，C 三点坐标分别代入平面方程得平面 A1BC 的方程
9、为 x+z=0 0d3bca3又 B1（0,1, ）3设点 B1 到平面 A1BC 的距离为 d，则d= = 2、例 2（2006 年福建卷）如图，四面体 ABCD 中，O、E 分别是 BD、BC 的中点， 2BD2A（I）求证： 平面 BCD；O（II）求异面直线 AB 与 CD 所成角的大小；（III）求点 E 到平面 ACD 的距离。3、例 3（2005 福建卷理第 20 题）如图，直二面角 D-AB-E 中，四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形，AE EB，F 为 CE 上的点，且 BF平面ACE（）求证：AE平面 BCE；（）求二面角 B-AC-E 的大小；（）求点 D 到平面 ACE 的距离。
