1、用心 爱心 专心 117 号编辑 1高三数学函数的奇偶性、周期性及图象的对称性的相互关系探究教学目标在学生理解函数的奇偶数、周期性及图象的对称性(“简称“三性”)的基础上，进一步探究它们间的相互关系让学生体验研究问题的过程，转变学生的学习方式培养学生探究问题的能力和创新意识教学重点函数“三性”的相互关系的探究，培养探究能力与创新意识教学难点反思结论，发现“三性”的相互关系教学过程一、观察、反思师：根据课前提供给大家的背景材料，通过这几天的研究与学习，今天上午这两节课，就请同学们来展示一下学习成果首先来再现一下函数 y=cosx 与 y=sinx 的奇偶性、周期性及图象对称性的相关结论(利用多媒
2、体显示两函数的图象，如图、)图 图师生共同参与并归纳成如下表(由多媒体显示) 函数 奇偶性 对 称 性 周期性偶函数 对称轴x=k ，kz f(-x)=f(+x)(特例)y=cosx f(-x)=f(x) 对称中心(k+ ，0)，kz2f( -x)=-f( +x)(特2例)f(2+x)=f(x)奇函数对称轴 x=k+ ，kzf( -x)=f( +x)(特例 )y=sinxf(-x)=-f(x) 对称中心(k ，0 )，kz f(-x)=-f(+x)(特例 )f(2+x)=f(x)师：这两个函数从函数的“三性”角度来欣赏，确是比较优美，美就美在将函数“三性”集于一身那么这类函数还有没有？生：还有
3、，例如正切函数 y=tgx 与余切函数 y=ctgx 二、试验、猜想师：这一现象是偶然的呢？还是偶然中有其必然性，你能不能再找一个函数作进一步的试验下面请每一个课题组选一位同学，将本组构造的函数展示给同学们，让大家来共享你的成果生：1已知函数 y=f(x)为偶函数，且关于直线 x=1 对称，当 x0, 1时, f(x)=x2, 作出函数的图象(作图过程略)从图 3 中不难发现，函数具有周期性，且周期为 2yy=cosx y=sinxyx x用心 爱心 专心 117 号编辑 2图2已知函数 y=f(x)为偶函数，且 f(x+2)=f(x)，当 x0，1时，f(x)=x 2，(作图过程略)，由图
4、3 可知，函数的对称轴为 x=k，kz 3已知函数 y=f(x)，满足 f(x+2)=f(x)，且 f(1-x)=f(1+x)，当 x0，1时，f(x)=x 2 (作图过程略)，由图 3 可知，函数为偶函数师：能将上面三个命题写成一个命题形式吗？生：已知函数 y=f(x)，当 x0，1时，f(x)=x 2，给出三个论断1f(x)=f(x)；2f(2x)=f(x)；3f(2+x)=f(x)则以其中两个论断为条件，另一个论断为结论的命题为真命题师：据此，请作出一个合情的猜想生：猜想：函数 y=f(x)，给出三个论断1f(x)=f(x)； 2f(2ax)=f(x)； 3f(2a+x)=f(x)则以其
5、中两个论断为条件，另一个论断为结论，得到的命题为真命题三、探索、发现师：下面由本课题组选三位同学给出对猜想的证明(具体分工由你们自己定)生：由 f(2ax)=f(x)，得 f(2a+x)=f(x) ，又 f(x)=f(x)，得 f(2a+x)=f(x) 生：由 f(2a+x)=f(x)，得 f(2ax)=f(x) ，又 f(x)=f(x)，得 f(2ax)=f(x)生：由 f(2ax)=f(x)，得 f(2a+x)=f(x) ，又 f(2a+x)=f(x) ，得 f(x)=f(x)师：三位同学的推证的关键是抓住了变量 x 的任意性，这样就可以根据目标进行变形在探索过程中，可以发现论断 2 与论
6、断 3 必须具有相同的 2a，同学们回过头来反思图 3 的作图过程，又有什么新的发现呢？生：图象的特征在于两条对称轴 x=0，x=1，它是产生周期性的关键，在作图过程中不难发现 2=2(10)师：分析得相当深刻，将这一结果能否作更大胆的推广呢？生：能给出三个论断1y=f(x)的图象关于直线 x=a 对称；2y=f(x)的图象关于直线 x=b 对称；3y=f(x)是周期函数，且周期 T=2|b-a|为其中一个周期则以其中两个论断为条件，另一个论断为结论的命题为真命题师：这一命题的证明，就不作展示，请其余各组在课后作进一步的论证四、类比、发散师：以上重点展示了偶函数、轴对称、周期性的相互关系，请结
7、合图 1、图 2，作类比、发散，还可以得到哪一些命题生：1若函数 y=f(x) 为偶函数，其图象关于点 A(a，0) 对称，则函数 y=f(x)为周期函用心 爱心 专心 117 号编辑 3数，且周期 T=4|a|师：这位同学将轴对称类比为中心对称，还有吗？生：2若函数 y=f(x)为奇函数，其图象关于直线 x=a 对称，则函数 y=f(x)为周期函数，且周期 T=2|a| 生：3若函数 y=f(x)为奇函数，其图象关于点 A(a，0) 对称，则函数 y=f(x) 为周期函数，且周期 T=2|a|师：三位同学均抓住一点进行类比，各自得到一个命题，事实上，以每一个命题中的三个论断中的二个论断为条件
8、，另一个作为结论，均是一个真命题类比肯定还很多，由于时间限制，类比、发散就到此为止，每个命题的证明就作为作业下面请其它各组也作一些简短的展示(略)五、回顾、提高师：通过今天“研究性的学习”知道，研究也并不是什么高不可攀的事情，也并不是专家们的专利，我们中学生也能够做研究一个问题，首先是我们需要发现问题，这节课主要是通过反思两个熟悉函数的性质，捕捉信息，发现问题，反思是发现的源泉反思试验猜想论证，是发现问题，解决问题的一种流程在整个研究性学习过程中，我们还多次使用逼近与联想类比的思维，这是发现问题、解决问题常用的两种思维模式在学习过程中获得了一个知识，即函数“三性”的内在联系留意平时的点点滴滴，
9、学问就在我们身边六、巩固、反馈1完成课堂上得到的而没有证明的各个命题的证明2学习体会一篇3(2001 年高考题)设 f(x) 是定义在 R 上的偶函数，其图象关于直线 x=1 对称，对任意x1 ，x20， ，都有 f(x1+x2)=f(x1)f(x2) ，且 f(1)=a0 ()求 f( )及 f( )的值；214()证明 f(x)是周期函数；()记 an=f(2n+ ) ， 求 (1n a n)教后感对“研究性学习”如何进入课堂的一次偿试，这节课有以下几点体会“研究性学习”的背景材料的选取将教材中的重要知识点改编为“研究性学习”的背景材料，这无疑是一个丰富的素材基地，它可以发挥广大中学教师的
10、优势有时，还可以把自己写的论文改编为“研究性学习”的背景材料“研究性学习”的教学目标要明确这节课重点教给学生一个发现问题的方法再现结论前与结论后的反思荷兰著名数学教育家弗赖登尔指出：“反思是重要的数学活动，它是数学的核心和动力”反思是发现的源泉、教会学生发现问题是“研究性学习”的目标之一注意“研究性学习”的课堂操作建立课题小组：一般以 10 个左右同学为一个课题小组，落实课题小组组长处理好课内与课外关系教师的主要精力是放在课外，课内主要是各课题组研究成果的展示点面结合，本节教案主要选取一个课题小组的研究方案各个课题小组各有不同的研究方案大致有：奇函数，轴对称，周期性；奇函数，中心对称，周期性偶函数，轴对称，周期性偶函数，中心对称，周期性关于 x 轴上的两点成中心对称，周期性关于平行于 y 轴的两直线对称，周期性关于一条平行 y 轴的直线成轴对称，与 x 轴上一点成中心对称，周期性然后各自进行类比与发散，真是百花齐放但课堂展示不可能面面俱到，只能以点带面用心 爱心 专心 117 号编辑 4
