1、六、逆矩阵 逆矩阵及其性质 若方阵 A,B 满足等式AB=BA=I (I 为单位矩阵)则称 A 为 B 的逆矩阵，或称 B 为 A 的逆矩阵,记作A= 或 B=这时 A,B 都称为可逆矩阵（或非奇异矩阵，或满秩矩阵）.否则称为不可逆矩阵（或奇异矩阵，或降秩矩阵）.可逆矩阵具有性质：1 若 A,B 为可逆矩阵，则 AB 仍为可逆矩阵，且（反序定律）一般地，若 A1 ,A2 ,As为可逆矩阵，则2 矩阵 A 可逆的充分必要条件是：det A 0.3 若矩阵 A 可逆，则det 0 且 det =(det=A, (a 0)=( ) , 4 矩阵 A 可逆的充分必要条件是：矩阵 A 的特征值全不为零.
2、伴随矩阵与逆矩阵表达式 设 Aij为矩阵 A=(aij)的第 i 行第 j 列元素aij的代数余子式，则矩阵A*=称为矩阵 A 的伴随矩阵.若 A 为非奇异矩阵，即 det A 0,则 A 的逆矩阵表达式为注意， A*的第 i 行第 j 列元素是 A 的第 j 行第 i 列元素的代数余子式.对角矩阵的逆矩阵 对角矩阵D= , di 0 (i=1,2,.,n)的逆矩阵为D1 =显然对角矩阵的逆矩阵仍是对角矩阵.三角形矩阵的逆矩阵 三角形矩阵L= , 的逆矩阵为=P=式中(i=1,2,.,n)显然非奇异下（上）三角形矩阵的逆矩阵仍是下（上）三角形矩阵.正定矩阵的逆矩阵1 高斯-若当法正定矩阵 A=
3、(aij)的逆 A1 =(bij)可由下列递推公式求出：, , (k=1,2,.,n)最后得到式中 n 为该正定矩阵 A 的阶.2 三角阵法 其步骤如下：（1） 把正定矩阵 A=(aij)表示为A= D 式中 D 为实的非奇异对角矩阵D= 为实的非奇异下三角矩阵. = 是 的转置矩阵 .di(i=1,2,.,n)与 ij(i=2,.,n;j=1,n)由下面递推公式算出：（2）求出 D 的逆矩阵=（3）求出 的逆矩阵式中（4）求出 A 的逆矩阵=( D =( ) =式中注意，这种方法的好处是避免了求平方根的运算.分块矩阵的逆矩阵 设非奇异矩阵 A 的分块矩阵为A=式中 B11,B22为方子阵，那末 A 的逆矩阵A1 =由下面公式求出初等变换法求逆矩阵 设= = =B对矩阵作一系列行的初等变换，使虚线左边一块矩阵化为单位矩阵，而右边一块单位矩阵就变为 A 的逆矩阵 B=A1 ,即逆矩阵的近似求法 设 为矩阵 A 的初始近似逆矩阵，可由下列迭代公式求出更精确的逆矩阵：(n=0,1,2,.)式中 I 为与 A 同阶的单位矩阵.计算机求逆程序的检验矩阵 用下列 n 阶非奇异矩阵及其逆矩阵，来检验大矩阵求逆的计算程序.A=
