1、第四章 流体动力学第 6 课 年 月 日章 题目 第 4 章 流体动力学 方式 课堂模块 流体动力学模块 方法 重点内容学习法单元 伯努利方程式的建立及其意义 手段 多媒体基本要求 弄清运动方程和平衡方程之间的联系，掌握伯努利积分的前提条件、伯努利方程及其意义重点 伯努利方程及其意义 难点 伯努利方程的实质内容拓展参考教材张也影，流体力学（第二版） ，高等教育出版社.1999.徐文娟，工程流体力学，哈尔滨工程大学出版社，2002.莫乃榕， 工程流体力学 ，华中科技大学出版社，2000禹华谦，工程流体力学，西南交通大学出版社，1999程 军、赵毅山. 流体力学学习方法及解题指导. 上海：同济大学
2、出版社，2004作业 习题：32、36 思考题：3-1 3-2 3-3上次课内容提问：1、定常流和非定常流的判别？2、为何提出“平均流速”的概念？3、举例说明连续性方程的应用。本次课内容引出4-1 流体的运动微分方程一、理想流体的运动微分方程讨论理想流体受力及运动之间的动力学关系，即根据牛顿第二定律，建立理想流体的动力学方程。如图所示，根据牛顿第二定律，作用在微元六面体上的合外力在某坐标轴方向投影的代数和等于此流体微元质量乘以其在同轴方向的分加速度。在 x 轴方向 xxmaF可得 xx adyzxpdyzxpdG2121因为 ， 图 3.4.1 微元六面体流体质点tuatx, tutzzy,所
3、以流体微元沿 x 方向的运动方程为 dtuxyzdzxpXyzx整理后得txpXx1同理，y 轴方向 dtuyYyz 轴方向 tzpZz1理想流体的运动微分方程，又称欧拉运动微分方程（1755） 。是研究理想流体各种运动规律的基础，对可压缩性流体和不可压缩性流体都是适用的。如果流体处于平衡状态，则 0dtudtuzyx欧拉平衡微分方程，所以，平衡只是运动的特例。一、 粘性流体的运动微分方程与欧拉方程的推导类似，这里要考虑作用于流体微团上的力有：质量力、压力，粘性切应力。如图所示，在流体中取一六面体微团，其边长分别为 dx，dy，dz。作用于该微元体上的力: 1.表面力：法向应力，切向应力。每一
4、侧面上的切应力可沿两座标轴方向分解，因而在每个侧面上的面力有三个分力：一个法向应力，两个切向应力，构成点的应力张量，共有九个分量：第一个下标：切应力所处于的坐标面，第二个下标：切应力的方向 上列九个应力分量，并不完全是独立的。其中六个切向应力，两两相等，即实际上应力张量中只有六个分量是独立的. 2.质量力 方向的平衡方程：稍加整理，消去 dxdydz 得方向的方程式，同理可得方向和方向的方程式 1( )1( )1( )yxx x zxy xy y zyyzxzz zDv pXDt x y zDv pYDt x y zDv pZDt x y z 这就是应力形式的粘性流体运动微分方程 讨 论1、方
5、程中未知函数:三个速度分量和六个应力分量，加上连续性方程，只有四个方程，方程组不封闭。2.若要求解，需补充方程。3.应力与变形速度之间是否有某种关系？流体力学中实验证明，流体微团上的应力与微团的变形速度成正比。例如由最简单的zzyzxyyxzxyxppxzzzyyzxxkZjYiXF dyxzydzxyxpdyzpzxyxx )()( xzxz a)(dyvx牛顿平板剪流试验得知： 方程的矢量形式：可压缩流体：不可压缩流体：讨论1.方程的求解：三个速度和压力，加上连续性方程，方程封闭。但由于数学上的困难，至今不能求得解析解。2.方程为偏微分方程，求解时应给定边界条件和初始条件。3.与理想流体不
6、同，在物面上为无滑移条件（法向速度为零，切向速度为零） 。4-2 元流伯利努方程 一、伯利努方程的推导积分的前提条件：（1）流体是均匀不可压缩的，即 c（2）定常流动，即0tutuzyx 0tp（3）质量力定常而有势，设 W=W（ x、 y、 z）是质量力的势函数，则 XYzWZdYyXxdzydx（4）沿统线积分，由于是定常流动，流线与迹线重合，则dtuxdtuytz在上述四个条件的限制下，将欧拉运动微分方程的三个等式分别乘以 dx、 dy、 dz，然后相加，进行整理并沿一条流线进行积分，最后可得cupW2理想流体运动微分方程的伯努利积分。它表明：对于不可压缩的理想流体，在有势质量力的作用下
7、作定常流动时，处于同一流线上)(31)( 2vvpFvtv 2的所有流体质点，其函数 之值均是相同的。对于不同流线上的流体质点来)2(upW说， 图 3.4.2 不同流线上的 值)(伯努利积分函数 的值一般是不同的，如图所示。 )2(up伯努利方程：表示流体运动所具有的能量以及各种能量之间的转换规律。两种情况：（1）流体所受质量力只有重力；（2）流体所受质量力为重力和离心力。1、质量力只有重力此时 gZYX,0则 dzdyxdW积分得 z代入式，对单位重量流体而言，可得到常 数2up对于同一流线上的任意两点 1、2，有=常数 221upzupz理想流体微小流束的伯努利方程， 遵循能量守衡与转换
8、定律。当流体处于静止状态时， u=0。则 常 数z所以，流体静力学基本方程是伯努利方程的一个特例。另外，理想流体微小流束的伯努利方程还可简单地利用理论力学或物理学中的动能定理推导得出。二、伯努利方程的意义1、物理意义（能量意义） 与静力学基本方程对照讲理想流体微小流束伯努利方程中的三项 分别表示单位重量流体的三种不同形gupz2、 式的能量。Z比位能； 比压能； 比动能； 比势能； p2zgupz2总比能。由伯努利方程可知：单位重量的理想流体沿流线运动时，其携带的总能量在所流经的路程上任意位置时总是保持不变的，但其位势能、压力势能和动能是可以相互转化的。2、几何意义z位置水头；曲线 AB位置水
9、头线；压强水头；曲线 CD测压管水头线。p速度水头。gu2直线 EF总水头线。理想流体伯努利方程式的几何意义理想流体沿流线运动时，其位置水头、压强水头、速度水头可能有变化或三个水头之间相互转化，但其各水头 图 3.6.1 理想流体伯努利方程的几何意义之和总是保持不变，即理想流体各过水断面上的总水头永远是相等的。如果用 H 表示各项水头之和，即总水头，则 gupz2第 7 次课 年 月 日章 题目 第 3 章 流体动力学 方式 课堂模块 流体动力学模块 方法 重点内容学习法单元 伯努利方程式的应用 手段 多媒体基本要求 弄清伯努利方程式的应用条件以及用伯努利方程式解决实际问题时注意的事项。重点
10、伯努利方程应用 难点 伯努利方程的应用内容拓展参考教材张也影，流体力学（第二版） ，高等教育出版社.1999.徐文娟，工程流体力学，哈尔滨工程大学出版社，2002.莫乃榕， 工程流体力学 ，华中科技大学出版社，2000禹华谦，工程流体力学，西南交通大学出版社，1999程 军、赵毅山. 流体力学学习方法及解题指导. 上海：同济大学出版社，2004作业 习题：42、46 思考题：4-1 4-2 4-34-3 总流伯努利方程讨论实际流体的伯努利方程，前提：运动流体所受 图 3.7.1 实际流体伯努利方程的几何意义质量力只有重力，流体的运动是定常流动。一、实际流体伯努利方程式的建立1、 实际流体微小流
11、束的伯努利方程微小流束见图 3.7.1。设 为单位重量流体从断面 11 流动到断面 22 所损耗的机lh械能，即能量损失，称水头损失。则2211 lhgupzgupz实际流体微小流束的伯努利方程。 实际流体的总水头线沿着流体的流动路程是一条下降的曲线。而不象理想流体水头线是一条水平线。2、实际流体总流的伯努利方程区别：微小流束： 很小，dA在同一 上，各流体质点的 、dz、 等物理量可以看作是相同的;总pu流：A 为有限大，在同一 A 上，各流体质点的 、 、 等物理量之zpu值变化较大。微小流束总流 急变流和缓变流急变流流线的曲率半径 r 很小， 图 3.7.2 急变流与缓变流流线之间的夹角
12、 很大的流动。 缓变流流线的曲率半 r 无限大，流线之间的夹角 无限小，即流线接近于平行直线流动。在缓变流段中，过水断面上压强的分布遵循重力场中流体静力学规律，即 （证明略）cpz所以，应将伯努利方程中的过水断面取在缓变流段中。在不同的缓变流过水断面上 有不同的常数值，即 pz图 3.7.3 缓变流断面11cpz22cpz 实际流体总流的伯努利方程讨论如何把实际流体微小流束的伯努利方程总流的缓变流断面上实际流体总流的伯努利方程。 假定：流体是不可压缩的实际流体，并且作定常流动，其中任一微小流束的伯努利方程为 2211 lhgupzgupz单位重量流体能量的变化关系。如图所示，假设单位时间内流过
13、微小流束断面 11 和 22 的流体重量为 dQ ，用dQ 乘上式各项，得其能量关系为 2222111 ldQhgudpQzdgupdQz 将上式沿总流相应的过水断面 和 对流量进行积分， 1A2 glgggggg dhvdpzdvpdz 222211 即 223221311 )(2)( AlAAAA uuuzuuz （a）因为 =常数，所以cpQpzudAzudAzA )()()( (b)-单位时间内通gvgA2233过总流过水断面的流体动能的总和。 动能修正系数图 3.7.4 微小流束和总流AvduE3 取决于 u 在 A 上的分布。 一般大于 1，如果流速分布较均匀时 。10.5在圆管层
14、流动动中 。工程实际中的紊流运动常取 。21流体由 流至 ，因克服摩擦阻力而损失的机械能。lAlQhd 12单位重量流体的平均能量损失， udAll将上面三项积分分别代回原式, 两边同时除以 ，就得出总流的伯努利方程为 Qlhgvpzgvpz2211 重力场中实际流体总流的伯努利方程，是工程流体力学中最重要的方程之一。 总流伯努利方程的限制条件： a 流体为不可压缩的实际流体； b 流体的运动为定常流动； c 流体所受质量力只有重力； d 所选取的两过水断面必须处在缓变流段中； e 总流的流量沿程不变； g 除 了外，总流没有能量的输入或输Lh出。使用伯努利方程时的注意事项： a 方程中 、
15、的基准面可任选，但必须选择同一基准面，一般使 ; 1z2 0zb 、 必须取在缓变流段中，在 、 之间是否为缓变流，则无关系；A1A2c 方程中的压强 和 ，即可用绝对压强，也可用相对压强，但等式两边的标准必须1p2一致； d 当 时，方程变为理想流体总流的伯努利方程。 0lh当流体为气体时，由于气体在流动时，重度 是个变量，如果不考虑内能的影响，伯努利方程为 lhgvpzgvpz2211 矿井中的通风过程就属于这种情况，如果 变化不大，也可直接使用原式。 当在两个过水断面之间通过泵、风机或水轮机等流体机械，有机械能的输入或输出时，伯努利方程变为 lhgvpzEgvpz 22211 E输入或输
16、出的能量，使用泵或风机对系统输入能量时，E 前冠以正号；使用水轮机，由系统输出能量时，E 前冠以负号。 举例 根据不同专业特点任选下面一道例题 例题 31 由一高位水池引出一条供水管路 AB，如图所示。已知：流量Q0.034m 3/s；管路直径 D0.15m；压力表读数 Pb4.9 104N/m2；高度 H20m ，试计算水流在管路 AB 段的水头损失。图 3.7.5 高位水池及供水管路 图 3.7.6 气体集流器例题 32 如图所示为测量风机流量常用的集流器装置示意图。其入口为圆弧形或圆锥形，已知直管内径 D0.3m，气体重度 a12.6N/m 3，在距入口直管段 D/2 处（即过水断面 2
17、2 位置）安装静压测压管，测得 h 0.25m 。试计算此风机的风量 Q。重点：解题思路、相关知识以及与后续专业课知识的联系本次课小结： 45 微小流束的伯努利方程及其总流的伯努利方程公式形式 ；定常流动，为什么伯努利方程成立？0dtu46 理想流体运动微分方程的形式及其伯努利积分的具体条件；47 画图说明理想流体微小流束的伯努利方程的表达式及其物理意义和几何意义；实际流体微小流束伯努利方程的表达式及其物理意义和几何意义；实际流体总流伯努利方程的表达式及其物理意义和几何意义；伯努利方程的实质是什么？课后思考题：1、定常流动 ，为什么伯努利方程成立？0dtu2、伯努利方程的实质是什么？作业：习题
18、 42、46第 8 次课 年 月 日章 题目 第 4 章 流体动力学 方式 课堂模块 流体动力学模块 方法 启发式、案例式单元 定常流动总流的动量方程及其工程应用 手段 多媒体基本要求 弄清定常流动总流动量方程几种应用情况的不同特点，以便掌握分析、计算这类问题的方法重点 动量方程的应用 难点 连续性方程、伯努利方程以及与动量方程的联立应 用内容拓展 渐扩管受力有限元模拟参考教材1、张也影. 流体力学. 北京：高等教育出版社，19992、徐文娟. 工程流体力学3、禹华谦. 工程流体力学(水利学 ). 成都：西南交通大学出版社， 19994、周亨达. 工程流体力学（第二版）. 北京：冶金工业出版社
19、，19985、程 军、赵毅山. 流体力学学习方法及解题指导. 上海：同济大学出版社，2004作业 习题：413、414 思考题：46提问：1、伯努利方程的应用条件是什么？2、伯努利方程在日常生活中有哪些应用，举例说明？3、孔口管嘴在日常生活中的应用？本次课内容引入4-5 恒定流动总流的动量方程讨论运动流体与固体边界面上的相互作用力，例如： 流体在弯曲管道内流动，弯管的受力情况；水力采矿时，高压水枪射流对水枪、对矿床的作用力；火箭飞行过程中，从火箭尾部喷射出的高温高压气体对火箭的反推力 等等。这类问题，需应用运动流体的动量方程来分析。一、动量方程从物理学知，运动物体的动量为 vm根据质点系动量定
20、理： 用符号 表示动量，即 ，则 流体作定常流动时的动量方程。 图示一弯管，其中的流体作定常流动，在总流中任意取一微小流束 12，并取过水断面 11、22 间的流束段进行研究。 图 3.8.1 流束动量变化即 12K对不可压缩流体 ，则微小流束的动量方程为 将上式推广到总流中去，则得 由定常流动总流的连续性方程，有 因为 u 在 A 上分布难以确定，所以用 v 代换 u，有式中 、 动量修正系数，其实验值为 1.021.05，工程计算上取 1。整理可得 理想流体定常流动总流的动量方程。其物理意义是：作用在所研究的流体上的外力矢量和等于单位时间内流出与流入的动量之差。作用在流体上的外力：流束段
21、12 的重力 ，两过水断面 11、2-2 上的压力 G、 ， 边界面上所受表面压力的总值 。上式也可写为 其分量式为： 确定流体与固体边界之间的作用力，上述方程是一个重要方程。 二、动量方程的应用 工程实际中管路联结方式，接头受力图 3.8.2 流体作用于弯管上的力（1）流体作用于弯管上的力图示一弯管，沿 x 轴、 y 轴的动量方程为)(sinco1221 yyy xxvQRGApF所以 sinsicoc22 11vRyx则 jRiyx的方向为 R xarctg流体对弯管的作用力，与 是一对作用力和反作用力，大小与 相等,方向与 相反。 R（2）射流作用在固定平面上的冲击力 水射流清洗：船体、
22、铸造清砂、 矿车清扫流体从管嘴喷射出而形成射流。如射流在同一大气压强之下，并忽略自身重力，则作用在流体上的力，只有固定平面对射流的阻力，它与射流对固定平面的冲击力构成一对作用力和反作用力。图示固定平板与水平面成 角，流体从喷嘴射出，射流的动量为 dt)(d021Rvmvx 轴方向的动量方程为 tsin(即 si200vAv射流对平板的冲击力 =-/R当 90 0时 20vA如果平板不固定，沿射流方向以速度 运动，则射流对移动平板的冲出力为u0/ )(（3）射流的反推力 烟花升空我们知道， 火箭飞行的根本动力是火箭内部的燃料发生爆炸性燃烧，产生大量高温高压的气体，从尾部喷出形成射流，射流对火箭有
23、一反推力，使火箭向前运动 。下面我们具体讨论反推力的计算。图示装有液体的容器测壁开一小孔，流体便从小孔流出形成射流，则射流速度为 ghv2图 3.8.3 射流对固定平面的冲击力 图 3.8.4 射流反推力在 x 轴方向上，流体动量对时间的变化率为 2AvQdtK则射流给容器的反推力 （其大小与 相等，方向与 相反）为xFxRxR2如果容器与底面间无摩擦，可沿 x 轴自由运动，那么容器在反推力 的作用下，将沿xF与射流相反的方向运动，这就是射流的反推力。 火箭、喷气式飞机、喷水船等都是借助这种反推力而工作的。二、动量矩方程要确定运动流体对固体边界面或某点的力矩时用动量矩方程。 例如离心式水泵、风
24、机、汽涡轮机及水轮机等流体机械，其叶轮流道中的流体，由于随叶轮转动，所以流体对转轴的力矩必须用动量矩方程解决。 为了说明问题的方便，先简单介绍控制体及流体系统等概念。 从物理知，作用在物体上的力 对某一点或某一转轴的力矩为 F其中 为转动中心到作用力 F 的距离。当质量为 m 的物体以速度 运动时具有动量为 ，该物体对某点或某一转动轴的动量矩（也称角动量）为 vm其中 为转动中心到物体的距离。并且力矩 等于该物体对同一转动中心或转轴的动量矩对时间的变化率，即 动量矩定理。 动量矩定理在运动流体中的推广应用： 由上节的动量方程 得 即 定常流动微小流束的动量矩方程。 总流的动量矩方程 这就是说，
25、外界作用在流体系统上的力对某一点的力矩矢量和，等于单位时间内从控制面流出的动量矩与流入的动量矩之差。 动量矩方程的一个最重要的应用： 导出叶片式流体机械（泵、通风机、水轮机、及涡轮机等）的基本方程。现以离心式水泵或风机为例进行推导。 图示流体从叶轮的内边缘流入，经叶片流道从外缘流出。流体质点的绝对速度 等于其相对速度与牵连速度 的矢量和，则 图 叶轮进出口速度图wccwu离心式水泵或风机 的进出口处速度 、 、 三者之间的关系如图 a 所示。利用动量矩方程式得 )oss(1122rurQM设叶轮转动的角速度为 ， ，单位时间内叶轮对流体做的功（输入功率）12c为 )coscs(1122uuQN则单位重量流体获得的能量为 gH如用 、 表示进出口处流体质点的切向速度，1tu2t， ，则1cost2cosut)(112cugHtt这就是离心水泵与风机等涡轮机械的基本方程，它首先是欧拉在 1754 年得到的，因此也称欧拉方程。如果流体从叶轮外缘流入内缘流出，则其基本方程为 )coscs(1221ug或 )(12cugHtt作业： 413、414思考题：46、总流的动量方程为 ，试问：（1）02vQF中包括那些力？（2）在水平面 坐标中和在铅垂面 坐标中， 是否相FxoyxozF等？（3）如果由总流动量方程求得的力为负值，说明什么问题？
