1、5-2 能带论基础5. 2. 1 三个重要假设晶体是由大量电子及原子核组成的多粒子系统，但晶体的许多电子过程仅与外层电子有关，因此，可以将晶体看作由外层的价电子及离子实（由内部电子与核构成）组成的系统。系统中粒子的状态由薛定谔方程： HE（5-2-1）的解来描述。式中 是晶体的哈密顿算符， 是晶体的波函数，E 是晶体的能量。这里晶体的哈密顿算符包括电子的动能算符、离子的动能算符、电子与电子的相互作用算符、离子与离子的相互作用算符以及电子与离子的相互作用算符等，如果晶体由 N 个原子组成，每个原子都有 Z 个电子，那么薛定谔方程（5-2-1）就包含了 3（Z+1 ）N 个变量，这样，方程的变量数
2、就高达 10221024（或更高）的数量级。这样多的方程目前是无法求解的，为此需对方程进行特殊处理。能带理论就利用了下面的三个近似假设，将多粒子问题简化为单电子在周期场中运动的问题。能带理论的这三个基本假设是：（1）绝热近似由于离子质量远大于电子质量，故离子的运动速度远小于电子的运动速度。当原子核运动时，电子极易调整它的位置，跟上原子核的运动。而当电子运动时，可近似认为原子核还来不及跟上，保持不动。这样，在考虑电子的运动时，可以认为离子实固定在其瞬时新加坡 ，可把电子的运动与离子实的运动分开处理，称玻恩 奥本哈莫近似或绝热近似。通过绝热近拟，把一个多粒子体系问题简化为一个多电子体系。（2）单电
3、子近似多电子体系仍然是一个很大的体系，直接求解式（5-2-1）也有困难，需要进一步简化。认为 一个电子在离子实和其他电子所形成的势场中运动，称为哈特里（Hartree）福克(Fock)自洽场近似，也称为单电子近似。单电子近似把一个多电子问题转化为一个单元电子问题。（3）周期场近似单电子近似使得相互作用的电子系统简化为无相互作用的电子系统。由于晶格的周期性，我们可以合理地假设所有电子及离子实产生的场都具有晶格周期性，即 U (r)=U (r+Rn)，其中 R=n1a1+n2a2+n3a3 中正格矢。这个近似称为周期场近似。所以，能带理论有时被称为周期场理论。采用这些假设后，晶体中的电子状态问题变
4、成一个电子在周期性势场中的运动问题，使问题大简化，但却导致能带理论具有局限性。5. 2. 2 布洛赫定理及其证明在经过上述的三个近似之后，晶体中电子的状态就可以用周期性场中电子的状态来描述，薛定谔方程则为： 2()UrErm（5-2-2）布洛赫证明，周期场中的电子的波函数是一个调幅的平面波，即：（5-2-3）()ikeur其中(r)具有晶格周期性，即 （5-2-4）()kknurR上述结论称为布洛赫（Bloch）定理.把周期性调幅的平面波称为布洛赫波，把用布渊赫描述的电子称为布洛赫电子。波函数（5-2-3）中指数部分表明它是一个平面波， uk( r )为平面波的振幅，它不是一个常数，与位置有关
5、，并具有晶格周期性。波函数中，k 是平面波的波矢，也可看成是标志状态的量子数。下面来证明布洛赫定理。晶体势场的周期性是晶体具有平移对称性的反映，据此我们引入平移算符，它作用到波函数上将使函数变量从 r 移到 ，即()nTRn（5-2-5）nrR由于势能具有晶格对称性，使得哈密顿算符 H 与平移算符 是互相对移的，即()nTR（5-2-6）()nnnHrr由于平移算符与顺序无关，不同的平衡算符之间也是对易的，即（5-2-7）()()mmmnTRrT其中 和 代表不同的正格矢，按照量子力学原理，两个相互对易的算符必有共同的本征函数。可见，nRm哈密顿算符的本征函数 （r）也是各平移算符的本征函数，
6、即（5-2-8）()nTr其中 n为平移算符 的本征值，可把它写成：()T（5-2-9）ieAkR这种写法可满足平移算符连续作用时所遵守的加法关系，即（5-2-10）inmrAnmkRrT则有： （5-2-11）()() ()mieAnkRn nmrTRr由式（5-2-10）中第一式可得：（5-2-12）ieAkRnrr上式说明周期势场中电子的波函数的又一性质：不同原胞的对应点上，波函数差一个位相因子 ，nieAkR此位相因子不影响波函数模的大小。所以，不同原胞对应点上，电子出现的几率是相同的。式（5-2-12）是布洛赫定理的另一表达形式，即满足式（5-2-12）的波函数也满足布洛赫定理。由式
7、（ 5-2-3）得：（5-2-13）()iueAkr把上式中变量 r 移到 r+Rn，则有：（5-2-14）() ()ni i iiikn knee A Ankr+RkRr（5-2-15）() ()n in uAkr在上式的第 2 个等式中利用了式（5-1-12） ，说明具有晶格周期性，这样就可以证明布洛赫定理了。5. 2. 3 周期性边界条件波矢 k 的取值由边界条件确定。设沿 3 个基矢 方向的晶体原胞数目为 和 ，晶体的123,a12,N3总原胞数为 ，根据周期性边界条件有：123N（5-2-16）,.iirar将式（5-2-12）代入（5-2-16） ，可以得到：（5-2-17）iieAkar即： 或 ， 为整数。（5-2-18）1iN2iil根据： （5-2-19）23hb将（5-2-19）代入（5-2-18 ） ，并利用正格子基矢与倒格子基矢的正交关系，可以得到：（5-2-20）123lllk表明满足周期性边界条件的布洛赫波的波矢只能取一些分立值。在波矢量空间中，一个分立的波矢量所占的体积可表示为：（5-2-21）*312()VNAb上式中的 为倒格子原胞体积。由于一个布里渊区的体积刚好等于倒格子原胞的体积，所以在一个*布里渊区中共有 N 个分立的波矢，可容纳 2N 个电子（这里设 N 为晶体的原胞数） 。
