1、可导、可微以及连续之间的关系讲义内容：设函数 在 的邻域内有定义，如果 在 处可导，那么 在()fx0 ()fx0()fx处必然连续.0x讲解：函数 在 处可导，即存在 ，由于 时，分母fx000limxffx0x，故分子 ，即函数 在 处连续。但是，这个命0x0lixfff0题的逆命题不成立，如 在 点处是连续但不可导的。另外，我们也可以从图x形的角度区别可导与连续，可导指的是函数的图像是一条光滑的曲线，而连续是指函数的图像不间断。讲义内容：设函数 在 的邻域内有定义，那么函数 在 处可微与函数()fx0 ()fx0在 处可导是等价的，也就是说：可微必可导，可导必可微.进一步地，我们还可以(
2、)fx0得到 在 处的微分 .0dyfx讲解：若函数 在 处可微，则 。fx0 ,0yAxox根据导数的定义， ，故可微必可导。00limlixxf反之，若函数 在 处可导，则 存在，不妨记 ，得f00lixy0limxyA，即 ，由高阶无穷小的定义可知：0limxyA0lixA，也即 ，故可导必可微。,o,0yxox从该证明过程中也可以看出，函数 在 处可微时， ，其f0 ,0yAox中的 。00,Afxdyfx讲解：简单解释一下上述定理的意义：首先，可导的函数必连续，这几乎是高等数学中最基本的结论之一了。它在解题时可以给我们一些隐藏的条件，只要题目中告诉了函数是可导的，也就意味着函数连续。另外，透过可导与可微的关系，我们可以弄清楚微分的几何意义同时，由于可导与可微等价，而微分的计算也等价与导数的计算，因此，对一元函数来说，只要弄清了导数，也就弄清楚了微分。而导数无论从理解的角度还是从应用的角度都要比微分方便很多，所以微积分将研究的重点放在了导数上。
