泰勒级数、欧拉公式、三角函数泰勒级数的定义：若函数 f（x）在点 的某一临域内具有直到（ n+1）阶导数，则在该邻域内 f（x）的n 阶泰勒公式为：其中： ，称为拉格朗日余项。以上函数展开式称为泰勒级数。泰勒级数在幂级数展开中的作用：在泰勒公式中，取 ，得：这个级数称为麦克劳林级数。函数 f（x）的麦克劳林级数是 x 的幂级数，那么这种展开是唯一的，且必然与 f（x）的麦克劳林级数一致。注意：如果 f（x）的麦克劳林级数在点 的某一临域内收敛，它不一定收敛于f（x）。因此，如果 f（x）在 处有各阶导数，则 f（x）的麦克劳林级数虽然能做出来，但这个级数能否在某个区域内收敛，以及是否收敛于 f（x）都需要进一步验证。 几个重要的泰勒级数。参数 x 为复数时它们依然成立。 指数函数和自然对数: 几何级数: 二项式定理: 三角函数: 双曲函数: 朗伯 W 函数: 二项式展开中的 C(,n)是二项式系数 。tan(x)和 tanh(x)展开式中的 Bk 是伯努利数。sec(x)展开式中的 Ek 是欧拉数。 复平面上的一个单位圆上的点，与实轴夹角为 时，此点可表示为e 是自然对数的底，此式称为欧拉(Euler)公式。e 可以用计算方法定义为欧拉公式与三角函数的关系 由泰勒级数展开
