1、测 量 学 学者：陈伟创建时间：2012-6-18 11:09:00 第 1 页 共 17 页 坐标增量计算公式 YxAB XBaD正算：X?=XA+XAB Y?=YA+XABXAB=DAB*Cos(aAB)YAB=DAB*Sin(aAB)A 为已知坐标，aAB 已知，DAB 已知。X?=XA+DAB*Cos(aAB) Y?=YA+DAB*Sin(aAB)反算：若 A、B 点坐标已知，求方位角 aAB。Cos()= XAB/DAB Sin() =YAB/DAB a= Cos 1XAB/DAB a= Sin 1XAB/DAB 按照上式计算出来的方位角是有正负号，因此还应该按坐标所在象限最后确定。
2、则 AB 边 的坐标方位角aAB：测 量 学 学者：陈伟创建时间：2012-6-18 11:09:00 第 2 页 共 17 页 在第象限 既当 X0， Y0 时， aAB= a在第象限 既当 X0， Y0 时， aAB=180- a 在第象限 既当 X0， Y0 时， aAB=180+ a 在第象限 既当 X0， Y0 时， aAB=360- a 坐标方位角推算NNAB 左aCaBAC NN 右aABaBCA C前 进 方 向NNA Ca前 a后B图 6- 图 6-7图 6-8如图 6-6 所示， 设 A、B、C 为导线点， AB 边的方位角 aAB 为已知，导线在 B 点的左角 左，现在来
3、推算 BC 边的方位角 aBC。由正反方位角的关系，可知：测 量 学 学者：陈伟创建时间：2012-6-18 11:09:00 第 3 页 共 17 页 aBA=aAB-180则从图中可以看出aBC= aBA+ 左= aAB-180+ 左根据方位角不大于 360的定义，当应上式算出的方位角大于 360时，则减去 360即可。当用右角推算方位角时，如图 6-7 所示：aBA=aAB+180则从图中可以看出aBC= aAB+180- 右用上式计算 aBC 时，如果 aAB+180后仍小于 右时， 则应 加上 360后再减 右根据上述推倒，得到导线坐标方位角的一般推算公式为： 左a 前= a 后18
4、0 右闭合导线计算闭合导线角度闭合差的计算与调整： 理 =180*（n-2)由于测角时存在误差，使实测值之和不等于理论值， 这样 就产生角度闭合差，以 f 来表示， 则：测 量 学 学者：陈伟创建时间：2012-6-18 11:09:00 第 4 页 共 17 页 f= 测- 理f= 测-180*（n-2)式中： n -闭合 导线的转折角数 测 -观测 角的总和允许闭合差：f 容=40 n各角改正数：V 改= -（f n）坐标增量闭合差计算：Fx=x 理- x 测 Fy=y 理 - y 测Vx 改= FxD*DVy 改= FyD*D式中： D-导线边长总和D -某边边长导线精度衡量：Fd =f
5、x+fyK= Fd D=1(FdD)附和导线计算附和导线角度闭合差：f= 左-n*180+ 起点方位角-终点方位角测 量 学 学者：陈伟创建时间：2012-6-18 11:09:00 第 5 页 共 17 页 f 容=40 nV 改= -（fn）f 容V 改 则导线允许f 容V 改 则导线超限坐标增量闭合差计算：x 理=xB-xAy 理= yB-yAFx=x 测- xB-xAFy=y 测- yB-yA导线精度衡量：Fd =fx+fyK= Fd D=1(FdD)圆曲线主点测设切线长 T=R*tan(a/2)曲线长 L=(/180*a)/R外 距 E=R(1/cos(a/2)切曲差 D=2T-L主
6、点里程测设：交 点 JD 交 点直圆点 ZY （JD-T）曲中点 QZ （ZY+L/2）测 量 学 学者：陈伟创建时间：2012-6-18 11:09:00 第 6 页 共 17 页 圆直点 YZ （ZY+L）校 核 JD (QZ+E)圆曲线带缓和曲线主点测设内移值 p=Ls/24R切线增长值 q= Ls/2- Ls /240R 缓和曲线长 Ls=A/R缓和曲线切线角 =Ls/2R*/180切线长 Th=q+（R+p）tan(a/2)曲线长 Lh=R(a-2)*/180+2Ls外 距 E=(R+P)*1/（COS（a/2）-R切曲差 Dh=2Th-Lh主点里程测设：交 点 JD 里程直缓点 Z
7、H （JD-T）缓圆点 HY （ZH+Ls）圆缓点 YH （HY+L）缓直点 HZ （YH+Ls）曲中点 QZ （HZ-Lh/2）校 核 JD (QZ+E)式中： Lh-曲线总长Ls-缓和曲 线长L -圆曲线长测 量 学 学者：陈伟创建时间：2012-6-18 11:09:00 第 7 页 共 17 页 A -缓和曲线设计参数竖曲线计算切线长 T=T/2曲线长 L= R（i 前-i 后）外 距 E=T /2R圆心坐标推算 YxFdaoRX=X+R*COS(F+D)Y=Y+R*SIN(F+D)测 量 学 学者：陈伟创建时间：2012-6-18 11:09:00 第 8 页 共 17 页 涵洞计算
8、斜交涵洞： 60ABCFa2 = b2 + c2 - 2bccosA b2 = a2 + c2 - 2accosB c2 = a2 + b2 - 2abcosC cosC = (a2 + b2 - c2) / (2ab) cosB = (a2 + c2 - b2) / (2ac) cosA = (c2 + b2 - a2) / (2bc) C 点坐标 X=XB+BC*cos(F+ABC)Y=YB+BC*sin(F+ABC)正交涵洞：测 量 学 学者：陈伟创建时间：2012-6-18 11:09:00 第 9 页 共 17 页 FABCBC =AB +AC Sin(ABC)=(AC* sin(B
9、AC)/BCC 点坐标 X=Xb+BC*cos(F+ABC)Y=Yb+BC*sin(F+ABC)三角函数 YxABCacbsinA=a/bcosA=c/b测 量 学 学者：陈伟创建时间：2012-6-18 11:09:00 第 10 页 共 17 页 tanA=a/c圆心角计算公式： 弧长/半径*180/坡度定义 1:0.75换算成百分比格式： 平距高差 换算成 1 比几格式： 高差平距求 夹 角： =tan(坡度)正 弦 定 理 的 应 用 领 域测 量 学 学者：陈伟创建时间：2012-6-18 11:09:00 第 11 页 共 17 页 在 解 三 角 形 中 ，有 以 下 的 应 用
10、 领 域 ： （1）已 知 三 角 形 的 两 角 与 一 边 ，解 三 角 形 （2）已 知 三 角 形 的 两 边 和 其 中 一 边 所 对 的 角 ，解三 角 形 （3）运 用 a：b：c=sinA：sinB：sinC 解 决 角 之 间 的转 换 关 系 直 角 三 角 形 的 一 个 锐 角 的 对 边 与 斜 边 的 比 叫 做这 个 角 的 正 弦 。 编 辑 本 段 证 明步 骤 1 在 锐 角 ABC 中 ，设 BC=a，AC=b，AB=c。作CHAB 垂 足 为 点 H CH=asinB CH=bsinA asinB=bsinA 测 量 学 学者：陈伟创建时间：2012-
11、6-18 11:09:00 第 12 页 共 17 页 得 到 a/sinA=b/sinB 同 理 ，在 ABC 中 ， b/sinB=c/sinC 步 骤 2. 证 明 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R： 如 图 ，任 意 三 角 形 ABC,作 ABC 的 外 接 圆 O. 作 直 径 BD 交 O 于 D. 连 接 DA. 因 为 在 同 圆 或 等 圆 中 直 径 所 对 的 圆 周 角 是 直 角 ，所 以 DAB=90 度 因 为 在 同 圆 或 等 圆 中 同 弧 所 对 的 圆 周 角 相 等 ，所 以 D 等 于 ACB. 所 以 c/sinC=c/sinD=B
12、D=2R 类 似 可 证 其 余 两 个 等 式 。 编 辑 本 段 意 义正 弦 定 理 指 出 了 任 意 三 角 形 中 三 条 边 与 对 应 角的 正 弦 值 之 间 的 一 个 关 系 式 。也 就 是 任 意 三 角 形 的边 角 关 系 。 编 辑 本 段 扩 展测 量 学 学者：陈伟创建时间：2012-6-18 11:09:00 第 13 页 共 17 页 余 弦 定 理余 弦 定 理 是 揭 示 三 角 形 边 角 关 系 的 重 要 定 理 ，直 接 运 用 它 可 解 决 一 类 已 知 三 角 形 两 边 及 夹 角 求 第三 边 或 者 是 已 知 三 个 边 求
13、角 的 问 题 ，若 对 余 弦 定 理加 以 变 形 并 适 当 移 于 其 它 知 识 ，则 使 用 起 来 更 为 方便 、灵 活 。 余 弦 定 理 性 质 对 于 任 意 三 角 形 ，任 何 一 边 的 平 方 等 于 其 他 两边 平 方 的 和 减 去 这 两 边 与 它 们 夹 角 的 余 弦 的 两 倍 积 ，若 三 边 为 a,b,c 三 角 为 A,B,C ，则 满 足 性 质 a2 = b2 + c2 - 2bccosA b2 = a2 + c2 - 2accosB c2 = a2 + b2 - 2abcosC cosC = (a2 + b2 - c2) / (2ab
14、) cosB = (a2 + c2 - b2) / (2ac) cosA = (c2 + b2 - a2) / (2bc) （物 理 力 学 方 面 的 平 行 四 边 形 定 则 中 也 会 用 到 ） 第 一 余 弦 定 理 （任 意 三 角 形 射 影 定 理 ） 设 ABC 的 三 边 是 a、b、c，它 们 所 对 的 角 分 别是 A、B、C，则 有 a=bcos C+ccos B， b=ccos A+acos C， c=acos B+bcos A。 测 量 学 学者：陈伟创建时间：2012-6-18 11:09:00 第 14 页 共 17 页 余 弦 定 理 的 证 明1 平
15、面 向 量 证 法 如 图 ，有 a+b=c (平 行 四 边 形 定 则 ：两 个 邻 边 之间 的 对 角 线 代 表 两 个 邻 边 大 小 ） cc=(a+b)(a+b) c2=aa+2ab+bbc2=a2+b2+2|a|b|Cos(-) （以 上 粗 体 字 符 表 示 向 量 ） 又 Cos(-)=-CosC c2=a2+b2-2|a|b|cos（注 意 ：这 里 用 到 了 三 角函 数 的 公 式 ） 再 拆 开 ，得 c2=a2+b2-2*a*b*cosC 即 cosC=(a2+b2-c2)/2*a*b 同 理 可 证 其 他 ，而 下 面 的 CosC=(c2-b2-a2)
16、/2ab 就 是 将 CosC 移 到 左 边 表 示 一 下 。 2 平 面 几 何 证 法 在 任 意 ABC 中 做 ADBC. 测 量 学 学者：陈伟创建时间：2012-6-18 11:09:00 第 15 页 共 17 页 C 所 对 的 边 为 c，B 所 对 的 边 为 b，A 所 对 的边 为 a 则 有 BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c 根 据 勾 股 定 理 可 得 ： AC2=AD2+DC2 b2=(sinB*c)2+(a-cosB*c)2 b2=(sinB*c)2+a2-2ac*cosB+(cosB)2*c2 b2=(sinB2
17、+cosB2)*c2-2ac*cosB+a2 b2=c2+a2-2ac*cosB cosB=(c2+a2-b2)/2ac 三 角 形 面 积 公 式1.海 伦 -秦 九 韶 公 式 : 设 P=(a+b+c)/2 SABC=P(P-a)(P-b)(P-c) 解 释 ：假 设 有 一 个 三 角 形 ，边 长 分 别 为 a、b、c，三 角 形 的 面 积 S 可 由 以 下 公 式 求 得 ： S=p(p-a)(p-b)(p-c) 而 公 式 里 的 p 为 半 周 长 ： p=(a+b+c)/2 测 量 学 学者：陈伟创建时间：2012-6-18 11:09:00 第 16 页 共 17 页
18、 2.SABC=(ab/2)sinC=(bc/2)sinA=(ac/2)sinB=abc/(4R)R 为 外 接 圆 半 径 3.SABC=ah/2 正 弦 定 理 的 变 形 公 式(1) a=2RsinA, b=2RsinB, c=2RsinC; (2) sinA : sinB : sinC = a : b : c; （条 件 同 上 ） 在 一 个 三 角 形 中 ，各 边 与 其 所 对 角 的 正 弦 的 比相 等 ，且 该 比 值 都 等 于 该 三 角 形 外 接 圆 的 直 径 已 知三 角 形 是 确 定 的 ，利 用 正 弦 定 理 解 三 角 形 时 ，其 解是 唯 一
19、的 ；已 知 三 角 形 的 两 边 和 其 中 一 边 的 对 角 ，由 于 该 三 角 形 具 有 不 稳 定 性 ，所 以 其 解 不 确 定 ，可结 合 平 面 几 何 作 图 的 方 法 及 “大 边 对 大 角 ，大 角 对大 边 ”定 理 和 三 角 形 内 角 和 定 理 去 考 虑 解 决 问 题 (3)相 关 结 论 ： a/sinA=b/sinB=c/sinC=(a+b)/(sinA+sinB)=(a+b+c)/(sinA+sinB+sinC) c/sinC=c/sinD=BD=2R（R 为 外 接 圆 半 径 ） 测 量 学 学者：陈伟创建时间：2012-6-18 11
20、:09:00 第 17 页 共 17 页 （4）设 R 为 三 角 外 接 圆 半 径 ，公 式 可 扩 展 为 ：a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R,即 当 一 内 角 为 90时 ，所对 的 边 为 外 接 圆 的 直 径 。灵 活 运 用 正 弦 定 理 ，还 需要 知 道 它 的 几 个 变 形 sinA=a/2R,sinB=b/2R,sinC=c/2R asinB=bsinA,bsinC=csinB,asinC=csinA （5）a=bsinA/sinB sinB=bsinA/a 三 角 高 程三 角 高 程 测 量 的 基 本 原 理 如 图 ，A、B 为 地 面 上
21、两 点 ，自 A 点 观 测 B 点 的 竖 直 角 为 1.2，S0 为 两 点 间 水平 距 离 ，i1 为 A 点 仪 器 高 ，i2 为 B 点 觇 标 高 ，则A、B 两 点 间 高 差 为 h1.2=S0tga1.2+i1 i2 上 式 是 假 设 地 球 表 面 为 一 平 面 ，观 测 视 线 为 直线 条 件 推 导 出 来 的 。在 大 地 测 量 中 ，因 边 长 较 长 ，必须 顾 及 地 球 弯 曲 差 和 大 气 垂 直 折 光 的 影 响 。 为 了 提 高 三 角 高 程 测 量 的 精 度 ，通 常 采 取 对 向观 测 竖 直 角 ，推 求 两 点 间 高 差 ，以 减 弱 大 气 垂 直 折光 的 影 响 。
