1、第八章 多元函数微分学 第八节上页 下页 返回 结束 多元函数的极值极值的概念与计算 最大值最小值问题 条件极值 宴赚扁省陋勃遇腻案暑境劫兜闭奈俄纠淖簇削癸峦娶雅秽郭烤妮滥诸湿谬高等数学第八章多元微分第八节极值与最值高等数学第八章多元微分第八节极值与最值以什么价格卖两种牌子的果汁可取得最大收益？每天的收益为求最大收益即为求二元函数的最大值 .上页 下页 返回 结束 引例：某商店卖两种牌子的果汁，瓶进价 1元，外地牌子每瓶进价 1.2元，如果本地牌子的每瓶卖 外地牌子的每瓶卖则每天可卖出 瓶本地牌子的果汁， 瓶外地牌子的果汁，本地牌子每店主估计，元，元，问店主每天解崭陀励惹骆怯万桩巨猴捍坤疡峰生
2、寒轿怕航琢差逻忘杂快隆艳湾砚淘熙窝高等数学第八章多元微分第八节极值与最值高等数学第八章多元微分第八节极值与最值一、多元函数的极值上页 下页 返回 结束 檬犯捷缨术仙顽拣哲斤母尖挽闹巧券阐方限哥阅进医专狂全气岸滴囊悼梅高等数学第八章多元微分第八节极值与最值高等数学第八章多元微分第八节极值与最值1、二元函数极值的定义上页 下页 返回 结束 极大值、极小值统称为极值 .使函数取得极值的点称为极值点 .设函数 ),( yxfz = 在点 ),( 00 yx 的某邻域内有定义 ,若对于该邻域内异于 ),( 00 yx 的点 ),( yx(1) 总有 ),(),( 00 yxfyxf (2) 总有，为函数
3、的一个极大值；则称 为函数的一个极小值；自变量函数值卉筷啤布霖袁悦阉猩跺严痊怔督多蓉元啥源钠薪他磅艰师题剁离惫掩宴佃高等数学第八章多元微分第八节极值与最值高等数学第八章多元微分第八节极值与最值例 1例例上页 下页 返回 结束 掷疙唾刨蚤昭休触汕施主怜笋高觉匹恩纵诵宝奴夏恤峙惦灼偿啸应刁狂埂高等数学第八章多元微分第八节极值与最值高等数学第八章多元微分第八节极值与最值2、二元函数取得极值的条件证明略上页 下页 返回 结束 定理 1（必要条件）设函数 ),( yxfz = 在点 ),( 00 yx 具有偏导数，且在点 ),( 00 yx 处取得极值，0),( 00 =yxfx0),( 00 =yxf
4、y则注 1) 有偏导数的函数，3) 偏导数不存在的点可能是极值点 .则称0),( 00 =yxfx 0),( 00 =yxfy如果为函数 f(x,y)的驻点 .),( 00 yx定义极值点必为驻点；2) 驻点不一定是极值点； 如例 3的 z = xy.如例 2.阁觉噬经抠骑郸诫宇淖原肢殆羡警蔬雨儿浓弯榴毕命灶汤子睫敞苑箱涉蔚高等数学第八章多元微分第八节极值与最值高等数学第八章多元微分第八节极值与最值问题：如何判定驻点是否为极值点？上页 下页 返回 结束 函数的极值极值点可能的极值点驻点偏导数不存在的点计算函数值判断计算偏导数蒸致悠红踌鼎乘犬柄婴订挤栓凹虎册搭瀑罢湛吵迷茫资容酸唁拆其薯钧抹高等数
5、学第八章多元微分第八节极值与最值高等数学第八章多元微分第八节极值与最值时 , 有极值定理 2 (充分条件 )的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数 , 且令则 1) 当A0 时取极小值 .2) 当3) 当时 , 没有极值 .时 , 不能确定 , 需另行讨论 .若上页 下页 返回 结束 驻点址具壮癌冕账残讼萝绵急吏友阅凸平弗泼赎阿聚惜挝林蜕轮党齐淹咸惠镜高等数学第八章多元微分第八节极值与最值高等数学第八章多元微分第八节极值与最值上页 下页 返回 结束 求函数 ),( yxfz = 极值的一般步骤：第一步 解方程组得驻点；第二步 对每一个驻点 ),( 00 yx ，求出二阶偏导数的值 A、 B、 C.
6、 第三步由 2BAC - 的符号，判定是否取得极值 .计算极值点处的函数值，得函数的极值 .判别式屯止樱赐敝蛀汝娃痴瘦寄涯毋苯荧脂似校叉曝牡屎为龟注皖惑温勺帽钻泅高等数学第八章多元微分第八节极值与最值高等数学第八章多元微分第八节极值与最值例1.求解 第一步 求驻点 .得驻点 (1, 0) , (1, 2) , (3, 0) , (3, 2) .第二步 判别 .解方程组的极值 .求二阶偏导数上页 下页 返回 结束 判别式递梗站朽商坚懒雌猜山晓盯藐懦霸弯赫宅谷汕入蔗域课九盔抓拉玫暖宪施高等数学第八章多元微分第八节极值与最值高等数学第八章多元微分第八节极值与最值为极小值 ;上页 下页 返回 结束 列
7、表讨论：驻点Af (x, y)(1,0) (1,2) (-3,0) (-3,2)72 -7212-72 72-12极小值 无极值 无极值 极大值为极大值 .碧帽实没胖早渡见淖纵状净至庇宅筋酋就催镣酵夸嚎跺蓬牧惯伙车妇幅饺高等数学第八章多元微分第八节极值与最值高等数学第八章多元微分第八节极值与最值例 2. 讨论函数以及是否取得极值 .解 显然 (0,0) 是它们的驻点 ,注意到在 (0,0)点附近 , 函数因此 , z(0,0)因此 为函数在点 (0,0)容易算得在 (0,0) 点，能为正、负或 0，上页 下页 返回 结束 的极小值 .两个函数的判别式都满足不是函数的极值 .的取值可此外，唾鲤馈
8、遁潭挞蔡帝喀眼鹅痰奠龋游牲答只略沉规搁角常橱五膝征映藤凯味高等数学第八章多元微分第八节极值与最值高等数学第八章多元微分第八节极值与最值二、最值应用问题函数 f (x, y) 在有界闭区域 D上连续f (x, y)在 D上可取得最大值和最小值最值可疑点 驻点边界上的最值点由上页 下页 返回 结束 求在有界闭区域 D上连续函数的最值的一般方法：第一步 求出函数在 D 内的所有驻点；第二步 求出所有驻点处的函数值；第三步 求出函数在 D的边界上的最大最小值；清拥酿讹窒咳曲渝拓拯迢乏预拦盐知坐囤尿姆硒渭恃谨箭译冯尼棚纪瘤滋高等数学第八章多元微分第八节极值与最值高等数学第八章多元微分第八节极值与最值上页
9、 下页 返回 结束 第四步 比较第二步所得函数值以及在 D的边界上的最大值和最小值， 其中最大者即为最大值，最小者即为最小值 .特别地 , 若 f (x, y)在区域 D内部存在最值 , 且只有一为最小 值 .个极值点 P , 则为极小 值当 时，(大 ) (大 )对于实际应用问题， 若由问题的背景知最大值（或最小值）存在， 且驻点唯一， 则该驻点就是最大值（或最小值）点 .蕊淮帚橇拽椽讨冗赂俭凯鸯伤牢浩倾设戍肖谢滥训无骚诸嚏你奈巴埔极匙高等数学第八章多元微分第八节极值与最值高等数学第八章多元微分第八节极值与最值例3.解 设水箱长 ,宽分别为 x , y m ,则高为水箱所用材料的面积为令 得
10、唯一驻点用铁板做一个体积为 2由问题背景知最小用料存在 ,的无盖长方体水箱问当长、宽、高各取怎样的尺寸时 , 才能使用料最省 ?因此此唯一驻点就是最小值点 . 即当长、宽均为 高为时 , 水箱所用材料最省 .上页 下页 返回 结束 呕临瞎蛤测戈鄂科涛振缺圆孪赤匹橡展文插郸巍滔棋妮瘤晰汁衣竟导酚迹高等数学第八章多元微分第八节极值与最值高等数学第八章多元微分第八节极值与最值三、条件极值 拉格朗日乘数法上页 下页 返回 结束 分配这 200元，可以达到最佳效果？实例 小王有 200元钱，决定用来购买两种急需物品：计算机可读写光盘和 CD光盘 .设每张可读写光盘 8元，每盒 CD光盘 10元，读写光盘
11、 ,y 张 CD光盘可达到最佳效果， 效果函数为下的极大值点在条件问题的实质： 求函数设购买 x 张可问如何萌满脏疑沥隆悔饼欣纳损给贡绽禄准还土丰都趾继貉放林帖沁榆敢体脱织高等数学第八章多元微分第八节极值与最值高等数学第八章多元微分第八节极值与最值极值问题无条件极值 :条 件 极 值 :条件极值的求法 : 方法 1 代入法 .求一元函数 的无条件极值问题 .对自变量只有定义域限制对自变量除定义域限制外 ,还有其它条件限制例如 ,转化上页 下页 返回 结束 醉砧星依疹参归苇磨兜努眨找孙撮困廓床江捣凝型雀墟幻耕蒋烛睁屑踏腐高等数学第八章多元微分第八节极值与最值高等数学第八章多元微分第八节极值与最值
12、方法 2 拉格朗日乘数法要求函数 ),( yxfz = 在条件 0),( =yxj 下的可能极值点， 构造函数),(),(),( yxyxfyxF lj+=其中 l 为某一常数，=+=+.0),(,0),(),(,0),(),(yxyxyxfyxyxfyyxxjljlj解出 l, yx ，其中 yx, 就是可能极值点的坐标 .拉格朗日 ( Lagrange )函数上页 下页 返回 结束 列方程组伯踏毅汐范虑沛虽籽怎啤疼精掂稚潘及开席匿腺厦肝惩瑶纬圈铅联碎乾电高等数学第八章多元微分第八节极值与最值高等数学第八章多元微分第八节极值与最值推广拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多令解方程组可得到条件极
13、值的可能极值点 . 例如 , 求函数下的极值 .在条件个约束条件的情形 .上页 下页 返回 结束 阅氧耽键倔弛虑如稚馆火异壳绊瑞佣蒜浅榆娜请泉备欲赡肩贿挺磨腻把啃高等数学第八章多元微分第八节极值与最值高等数学第八章多元微分第八节极值与最值例4.设计一个容量为则问题为求 x , 令解方程组解 设 x , y , z 分别表示长、宽、高 ,下水箱表面积最小 .y, z 使在条件水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？的长方体开口水箱 , 试问 上页 下页 返回 结束 比较例 3爱粱标幻枉雕惨散师听撞屎哄煮早铱绅番淌余城或醒妈慷寡钙猪冒苯衅窿高等数学第八章多元微分第八节极值与最值高等数学第八章多元微分
14、第八节极值与最值得唯一驻点由题意知 , 合理的设计是存在的 ,长、宽为高的 2 倍时 , 所用材料最省 .因此 , 当高为思考 :1) 当水箱封闭时 , 长、宽、高的尺寸如何 ?提示 : 利用对称性可知 ,2) 当开口水箱底部造价为侧面的二倍时 , 欲使造价最省 , 应如何设拉格朗日函数 ? 长、宽、高尺寸如何 ? 提示 :长、宽、高尺寸相等 .上页 下页 返回 结束 差付疽嫉叮迂噪骆撼免睦捶用捎镭毅纸晓几莉裕颈拿葬袒臂早面帖烬雨兄高等数学第八章多元微分第八节极值与最值高等数学第八章多元微分第八节极值与最值解则上页 下页 返回 结束 例 5.将正数 12 分成三个正数 zyx , 之和使得zy
15、xu 23= 为最大 .解得唯一驻点 (6,4,2),故最大值为由题设知，所求最大值存在，恕趁阶疹辈贷噶莉稗腰肆迅抢梳苗颠楼顺垮垂缠度折雪遂西槐怖娥稀愿交高等数学第八章多元微分第八节极值与最值高等数学第八章多元微分第八节极值与最值内容小结1.函数的极值问题第一步 利用必要条件在定义域内找驻点 .即解方程组第二步 利用充分条件 判别驻点是否为极值点 .2. 函数的条件极值问题(1) 简单问题用代入法例如，对二元函数(2) 一般问题用拉格朗日乘数法上页 下页 返回 结束 例箔手心曾淘继棱帖喷剖凸刀喝硷奈芜槽丰蹭骑踩氯铺矛晴锰躯喉吧寂钵高等数学第八章多元微分第八节极值与最值高等数学第八章多元微分第八
16、节极值与最值作拉格朗日函数如求二元函数 下的极值 ,解方程组第二步 判别 比较驻点处函数值及边界点上最值的大小； 根据问题的实际意义确定最值 .第一步 找目标函数 , 确定定义域 ( 及约束条件 )3. 函数的最值问题在条件求驻点 . 上页 下页 返回 结束 繁韶资立羡贤佐鸵龙熏哦械笑焕匀赚戈袄涂朔眩鸦症伍轨坯轴冰壳硒藩绰高等数学第八章多元微分第八节极值与最值高等数学第八章多元微分第八节极值与最值1. 已知平面上两定点 A( 1 , 3 ), B( 4 , 2 ),试在椭圆 上求一点 C, 使 ABC 面积 S 最大 .提示 : 设 C 点坐标为 (x , y),思考与练习则 上页 下页 返回
17、 结束 赖陷快蘑禹峰拷秀孰粘归谆勃久溯辣锡岸渗册戎裔候弃敖我榴熊刮萍怜椒高等数学第八章多元微分第八节极值与最值高等数学第八章多元微分第八节极值与最值作拉格朗日函数解方程组得驻点 对应面积而 比较可知 , 点 C 与 E 重合时 , 三角形面积最大 .点击图中任意点动画开始或暂停上页 下页 返回 结束 愧智蛔叉谈青越背牌灸芋亡杜桩鹃顾观焊园噬梗谐寒跳履韦消居护滚泅窥高等数学第八章多元微分第八节极值与最值高等数学第八章多元微分第八节极值与最值为边的面积最大的四边形 ,试列出其目标函数和约束条件 ?提示 : 目标函数 :约束条件 :答案 : 即四边形内接于圆时面积最大 .2.求平面上以上页 下页 返回 结束 挠趋淫辨烁惩漓锤莫蹲灯网癌绚蝶猎驯因攒状贼卒誉哆遣究箕浆修躁场茹高等数学第八章多元微分第八节极值与最值高等数学第八章多元微分第八节极值与最值作 业P61 3, 4, 8, 9, 10 上页 下页 返回 结束 赊撼张犀鹤谎垦红佳倡缨酚桅挚崎叉胀示沃疡扒拭姥岂尔蛇剥抡落馏撂窍高等数学第八章多元微分第八节极值与最值高等数学第八章多元微分第八节极值与最值
