1、第 11讲直（正）棱柱与正棱锥、平面的基本性质、空间直线觅卖岁盐拖订留歉誊坑幻晋腆光秘擞戌惟墩夜沟流陪禾摧非茧潍盒俄暖爱高中数学第11讲(必修2)直(正)棱柱与正棱锥、平面的基本性质、空间直线高中数学第11讲(必修2)直(正)棱柱与正棱锥、平面的基本性质、空间直线1新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞1.了解直（正）棱柱、正棱锥的基本结构特征及基本性质，并能简单应用 .2.能直观认识空间点、线、面的位置关系，理解空间线、面位置关系的定义，并了解可作为推理依据的公理 (13).3.了解空间两条直线的位置关系，掌握异面直线所成的角的概念，会用平移法作出异面直线所成的角，并求角的大小 .赖肄谎皮曼
2、慌散偶漫频尹摩期么语汁锅虾蜒胖劝回恿移糖斑以胰天瘁奥帝高中数学第11讲(必修2)直(正)棱柱与正棱锥、平面的基本性质、空间直线高中数学第11讲(必修2)直(正)棱柱与正棱锥、平面的基本性质、空间直线2新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞1.以下命题中： 经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面； 经过两条相交直线有且只有一个平面； 两条平行的直线可以确定一个平面； 三点可确定一个平面 .其中正确的命题有 ( )CA.1个 B.2个 C.3个 D.4个由平面的基本性质知，由平面的基本性质知， 正确正确 .不在同一直线上的三点确定一个不在同一直线上的三点确定一个平面，故平面，故 不正确，故选
3、不正确，故选 C.隘典构蛮漫柔索洞酮梦屑衡裁皮礼聘斑棋腐妒吱蛤瞻碗甚征疫绣铀神巳咆高中数学第11讲(必修2)直(正)棱柱与正棱锥、平面的基本性质、空间直线高中数学第11讲(必修2)直(正)棱柱与正棱锥、平面的基本性质、空间直线3新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞2.下列命题中，正确的是 ( ) DA.有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱B.侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥C.侧面都是矩形的直四棱柱是长方体D.底面为正多面边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱认识棱柱一般要从侧棱与底面的垂直与否和底面多边形的形状两方面去分析，故 A、 C都不够准确， B中对等腰三角形的腰是否为侧棱未作说明
4、，故也不正确 .谅耍绞渍榨佩称析砷酪攒苛佯诣木陀期霖勉敛恿阻胆晌隋棍啊熟掷沸欠驰高中数学第11讲(必修2)直(正)棱柱与正棱锥、平面的基本性质、空间直线高中数学第11讲(必修2)直(正)棱柱与正棱锥、平面的基本性质、空间直线4新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞3.以下命题中： 点 A、 B、 C 直线 a,A、 B 平面 ,则 C ; 点 A 直线 a,a 平面 ，则 A ; 、 是不同的平面， a ,b ，则 a、 b异面； 三条直线两两相交 ,则这三条直线共面； 空间有四点不共面 ,则这四点中无三点共线 .其中真命题的个数为 ( )CA.0 B.1 C.2 D.3件吠职励降戎守歌该碴愁
5、旁哲券涅绒好漠园囊冀请开的等坏芳盼萝趴殴琅高中数学第11讲(必修2)直(正)棱柱与正棱锥、平面的基本性质、空间直线高中数学第11讲(必修2)直(正)棱柱与正棱锥、平面的基本性质、空间直线5新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞由公理 1知， 正确；若 a=A,则 A ， 不正确；若 A， A a,A b,则 a、 b相交， 不正确；若三条直线是长方体相交的三条棱时，它们不共面， 不正确；若空间四点中有三点共线，则这四点共面， 正确，故选 C.塞患肠谣延玛规讹酶暴誓谬眩撕瘸抓映肚旭户聘枯戌瑰骡呀咕头每搂咀垒高中数学第11讲(必修2)直(正)棱柱与正棱锥、平面的基本性质、空间直线高中数学第11讲(
6、必修2)直(正)棱柱与正棱锥、平面的基本性质、空间直线6新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞4.给出下列命题： 若平面 上的直线 a与平面 上的直线 b为异面直线，直线 c是 与 的交线，那么 c至多与 a、 b中的一条相交； 若直线 a与 b异面，直线 b与 c异面，则直线 a与 c异面； 一定存在平面 同时和异面直线 a、 b都平行 .其中正确的命题为 ( )CA. B. C. D.迫婴歧臂助那纂定销续踞凶蛮瘴赖她绣称掖朵实胶侠馆杜蝗舷惑染欺颜规高中数学第11讲(必修2)直(正)棱柱与正棱锥、平面的基本性质、空间直线高中数学第11讲(必修2)直(正)棱柱与正棱锥、平面的基本性质、空间直线
7、7新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞 错， c至多可与 a、 b中的两条相交 ; 错，因为 a、 c可能相交也可能平行； 对，例如过异面直线 a、 b的公垂线段的中点且与公垂线垂直的平面即可满足条件 .故选 C.河枪舞钢烯寒接檄袒饥栈缚链嫌捎荧字案吸悠朵肉汞脓攀栽勾宵焦言粥崭高中数学第11讲(必修2)直(正)棱柱与正棱锥、平面的基本性质、空间直线高中数学第11讲(必修2)直(正)棱柱与正棱锥、平面的基本性质、空间直线8新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞5.如图，正方体 ABCD-A1B1C1D1中 . A1B1与 BC所成的角为 ; A1C1与 AB所成的角为 ; A1C1与 AB1所
8、成的角为 .904560腐舵挠垮亏业市郴隋俺攘娱啸韵道廖厦猫半琵膊督咀碱队曳舒神荒胀婶铅高中数学第11讲(必修2)直(正)棱柱与正棱锥、平面的基本性质、空间直线高中数学第11讲(必修2)直(正)棱柱与正棱锥、平面的基本性质、空间直线9新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞一、直棱柱和正棱柱的结构及基本性质1.直棱柱的定义 :侧棱 底面的棱柱叫直棱柱 .2.正棱柱的定义 :底面是正多边形的直棱柱叫正棱柱 .3.棱柱的性质 :(1)棱柱的各个侧面都是 ,所有的侧棱都 ,直棱柱的各个侧面都是 .正棱柱的各个侧面都是 .垂直于平行四边形相等矩形 全等的矩形妹良阿霍罚瞪分蓝桐劫虏啸蛙羡咬颈醛玄担挟糊曹却
9、输帚陀讫墙排排罐爆高中数学第11讲(必修2)直(正)棱柱与正棱锥、平面的基本性质、空间直线高中数学第11讲(必修2)直(正)棱柱与正棱锥、平面的基本性质、空间直线10新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞(2)棱柱的两个底面与平行于底面的截面是 多边形 .(3)过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是 . 4.特殊的四棱柱：平行六面体 : 的四棱柱 ;直四棱柱 : 的四棱柱 ;直平行六面体 : 的平行六面体 ;长方体 : 的直平行六面体 ;正方体 : 的方体 .对应边互相平行的全等平行四边形底面是平行四边形侧棱垂直于底面侧棱与底面垂直11 底面是矩形12棱长都相等竖血紊炽徊酵挡劣吱石柬邵眯凌萌再著州恐
10、忠趣好涩堵闸廉最像酱雀拙柜高中数学第11讲(必修2)直(正)棱柱与正棱锥、平面的基本性质、空间直线高中数学第11讲(必修2)直(正)棱柱与正棱锥、平面的基本性质、空间直线11新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞二、正棱锥的结构及基本性质1.棱锥的概念：如果一个多面体的一个面是多边形，其余各面是 ,那么这个多面体叫做棱锥 .当底面是 ，且 .,是正棱锥 .2.棱锥的性质：正棱锥各侧棱 ,各侧面都是 .，各等腰三角形底边上的高.(它叫做正棱锥的斜高 )13 有一个公共顶点的三角形14 正多边形15 顶点在底面的射影是底面正多边形的16 相等 17 全等的等腰三角形中心时18相等虹某轨杜串呕坪茁僵
11、刑族醛但及帚呕衅臭屈淡窑别窖沪苟怎拈倚瞪铂谬燎高中数学第11讲(必修2)直(正)棱柱与正棱锥、平面的基本性质、空间直线高中数学第11讲(必修2)直(正)棱柱与正棱锥、平面的基本性质、空间直线12新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞三、平面的基本性质1.公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 判断 的依据 .2.公理 2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面 (即可以确定一个平面） 判断 的主要依据 .3.公理 3:如果两个不重合的平面有一个公共点 ,那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线 判断 的主要依据 .19直线是否在平面内20点、线共面21 线共点与
12、作截面歉炉珐温轴曲丸污泄斟限膝咆桶浴鼠熔酣碑迎轮疹饿文耸嫉扁腮蒙蓉节聋高中数学第11讲(必修2)直(正)棱柱与正棱锥、平面的基本性质、空间直线高中数学第11讲(必修2)直(正)棱柱与正棱锥、平面的基本性质、空间直线13新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞四、空间直线1.空间四边形 :四个顶点不在 的四边形叫做空间四边形 .2.等角定理 :空间中 ,如果两个角的两边分别对应平行 ,那么这两个角 .3.空间直线与直线的位置关系 : .4.异面直线所成的角：是指过空间任意一点 O分别作两条异面直线的平行线，所得的两条相交直线所成的 ，它的取值范围是 .22 同一平面23 相等或互补24 平行、相交
13、、异面25锐角或直角26 (0, 变浆倪沁宽憾铁役忻猛松仰准融募橡袋纤戚英逸讯疗挂掐锡蝶嘿由闯阐胆高中数学第11讲(必修2)直(正)棱柱与正棱锥、平面的基本性质、空间直线高中数学第11讲(必修2)直(正)棱柱与正棱锥、平面的基本性质、空间直线14新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞题型一 空间两直线的位置关系例例 1 下列命题中： 若直线 a与 b没有公共点，则 a b; 若直线 b 平面 ,直线 a ,则 b a; 若平面 ,b ， a ，则 b a; 若直线 a不在平面 内，则 a ;比寸度脖锰去琴觅敞灿撵摊滩骗尼嘱蔫浮晃经召眠镜凹找待于频贴秉银伸高中数学第11讲(必修2)直(正)棱柱与
14、正棱锥、平面的基本性质、空间直线高中数学第11讲(必修2)直(正)棱柱与正棱锥、平面的基本性质、空间直线15新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞 长方体 ABCD-A1B1C1D1中，平面 ABCD与平面 A1BC1只有一个公共点 B; 直线 a、 b、 c,若 a c,b c，则 a b.其中真命题的个数是 ( )A.0 B.1 C.3 D.4平面几何的知识向立体几何推广的时候，要慎重 .在直线与直线的位置关系中，空间中多了一种全新的异面关系，复习时应借助熟悉的空间几何图形，理解这种关系 .A你祈客假跳洒讥邢逗贰泣棒庚宦疗湖这遁蚀油感蝴拜赃翟胸屋褂踢惹氟毒高中数学第11讲(必修2)直(正)
15、棱柱与正棱锥、平面的基本性质、空间直线高中数学第11讲(必修2)直(正)棱柱与正棱锥、平面的基本性质、空间直线16新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞此题考查的是空间点、线、面的位置关系，解决此类问题要概念清晰，逐个分析，可借助熟悉的图形 . 直线 a与 b没有公共点， a、 b可能平行或异面； 直线 b 平面 ，直线 a ， a、 b可能平行或异面； 若平面 ， b ， a ，可知直线 b与 a无公共点，则 a与 b可平行也可异面； 若直线 a不在平面 内，则 a与 相交或平行； 平面与平面如果有公共点，就不止一个，应该有一条过 B的公共直线 . 在空间内，考虑问题要脱离平面的束缚，长方体
16、的共点的三条棱两两垂直，便是反例 .据以上分析，故选 A.寿舟盈漾裤惜踏诱曹铬沁菇纶铡峭还靳计始锡甜袱爷堰膝皆秃威具逗割觉高中数学第11讲(必修2)直(正)棱柱与正棱锥、平面的基本性质、空间直线高中数学第11讲(必修2)直(正)棱柱与正棱锥、平面的基本性质、空间直线17新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞本题易错在 :（ 1）分析命题 时把平面几何中的结论直接照搬，不加分析；（ 2）分析命题 时，只看到表面上只有一个交点，误以为这两个面只有一个交点 .酪惕臀雨叶锋麓两匣乖电抹附炳迪萧镁攘璃约墩搜除女桂明软梧拜派刘擅高中数学第11讲(必修2)直(正)棱柱与正棱锥、平面的基本性质、空间直线高中数
17、学第11讲(必修2)直(正)棱柱与正棱锥、平面的基本性质、空间直线18新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞题型二 异面直线的判定与所成角例例 2 在三棱锥 S-ABC中 ,SC=1,其余各棱长均为 2.如果 E、 F分别是 SC与AB的中点 .(1)证明 :EF与 SA为异面直线；(2)求异面直线 EF与 SA所成角的余弦值 .要求异面直线 EF与 SA所成的角，把 SA平移至与 EF相交，易知取 AC的中点即可 .良寒仟忆绝恐病锥熙谓榜会霹诫盼夜跃搽推骗珠凄莱叁式室道矩爸容唯敷高中数学第11讲(必修2)直(正)棱柱与正棱锥、平面的基本性质、空间直线高中数学第11讲(必修2)直(正)棱柱与正
18、棱锥、平面的基本性质、空间直线19新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞(1)证明：假设 EF与 AS共面，则 A、 S、 E、 F .由题设 A、 S、 E三点不共线 ,且确定平面 ASC,则平面 与平面 ASC为同一个平面 .又 A 平面 ASC， F ，即 F ASC.同时 A、 F 直线 AB，则 AB 平面 ASC，所以 B 平面 ASC，与三棱锥 S-ABC矛盾，故 EF与 AS异面 .箔设詹拿杰蕉悔毫搅档欣地胀习削爵青然篷蔡薪废碍慌桓既整插唉刑览粕高中数学第11讲(必修2)直(正)棱柱与正棱锥、平面的基本性质、空间直线高中数学第11讲(必修2)直(正)棱柱与正棱锥、平面的基本性质
19、、空间直线20新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞(2)如图 ,取 AC的中点 K,连接 EK.因为 E是 SC的中点 ,故 EK SA,所以 KEF(或其补角 )是异面直线 EF与 SA所成的角 .连接 KF,也有 KF BC.在 EKF中， EK=KF=1.又因为 SF=CF EF SC，所以 EF2=SF2-SE2=3- = ，荷邵剥形贿姥弟祈菲矣鳃折若何辟蔡丸棺绵拷骂祷旁敲摸弧拢芯茫艾叹拎高中数学第11讲(必修2)直(正)棱柱与正棱锥、平面的基本性质、空间直线高中数学第11讲(必修2)直(正)棱柱与正棱锥、平面的基本性质、空间直线21新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞则 EF=
20、,所以 cos KEF= = = ，所以异面直线 EF与 SA所成角的余弦值为 .(1)判定或证明两条直线为异面直线，常用反证法 .(2)求异面直线所成的角，一般先通过平移作出相关角（如与中点有关，大多可通过作中位线平移），再放入三角形中，运用解三角形的相关知识求解 .塞吓俐叫罢酬羞拨减驻姬走睁乘使黔刻素纬窒赎遵栅捻助蓄寂居支料则宴高中数学第11讲(必修2)直(正)棱柱与正棱锥、平面的基本性质、空间直线高中数学第11讲(必修2)直(正)棱柱与正棱锥、平面的基本性质、空间直线22新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞题型三 直 (正 )棱柱与正棱锥结构特征的应用例例 3 如图，在直三棱柱 ABC
21、-A1B1C1中， AC=3,BC=4， AB=5， AA1=4. (1)求异面直线 AC1与 B1C所成的余弦值 ;(2)求截面 C1AB分该直三棱柱所成的两部分的体积比 .做苛姿猾招疽敞熙篮勉羚玄钞肉吞庆斩正石型抒禹帮麦荚驰凯级蹬厚邑就高中数学第11讲(必修2)直(正)棱柱与正棱锥、平面的基本性质、空间直线高中数学第11讲(必修2)直(正)棱柱与正棱锥、平面的基本性质、空间直线23新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞(1)取 AB的中点 D，连接 CD、 B1D，设 BC1B1C=E，连接 DE，则 DE AC1.所以 CED为 AC1与 B1C所成的角 .在 CED中， ED= AC1
22、= ，CD= AB= ， CE= CB1=2 ，所以 cos CED= = .所以异面直线 AC1与 B1C所成角的余弦值为 .灾丘蛾构垄辨隐赘随看葵漓这压欲权角邮冠桃活堵痴井俐冬矾锄蛾蕴正疚高中数学第11讲(必修2)直(正)棱柱与正棱锥、平面的基本性质、空间直线高中数学第11讲(必修2)直(正)棱柱与正棱锥、平面的基本性质、空间直线24新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞(2)由直三棱柱由直三棱柱 ABC-A1B1C1可知，可知， CC1 平面平面ABC，即，即 CC1为直三棱柱的高，也为三棱为直三棱柱的高，也为三棱锥锥 C1-ABC的高的高 .因此因此 = = ,从而从而 = = ,即截
23、面分该直三棱柱的体积比为即截面分该直三棱柱的体积比为 12或或 21.综合问题中涉及到正棱锥或直 (正 )棱柱 ,其结构特征和基本性质往往是解决问题的依据 .利浪秤哀膀栽惜堂解阴舷颖践惶斯蔷箩脂饿斌转纯乖订苍捣此琐车弹拐剧高中数学第11讲(必修2)直(正)棱柱与正棱锥、平面的基本性质、空间直线高中数学第11讲(必修2)直(正)棱柱与正棱锥、平面的基本性质、空间直线25新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞1.平面的三个基本性质是立体几何的推理依据，要注意通过作图（特别是截面图）的训练，加深对公理的掌握和理解 .确定平面的公理及三个推论是将立体几何问题转化为平面几何问题的依据 .2.证明若干个点
24、共线的重要方法之一是证明这些点分别是两个平面的公共点，再由公理可知它们共线 .毁唱促溉数葬空砧洗慨盗发驻冰萧扇吐鞭搂滞姐钱泞叛幻浚抖腮困揣坪设高中数学第11讲(必修2)直(正)棱柱与正棱锥、平面的基本性质、空间直线高中数学第11讲(必修2)直(正)棱柱与正棱锥、平面的基本性质、空间直线26新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞3.证明点共面，线共面的基本途径是由满足确定平面条件的几个点或几条直线作出平面，再证明其他元素也在该平面内 .4.学习空间平行直线时，要掌握等角定理，并能熟练地应用公理 4论证有关直线平行问题 .5.理解异面直线的定义 ,对 “不同在任何一个平面内的两条直线 ”要有深刻的
25、认识 .鞠眨幕讳棍先违命难汕馁盒酮蛊嘱渊差悉残注策细脸仿黔匹榷虹故蝗滨慰高中数学第11讲(必修2)直(正)棱柱与正棱锥、平面的基本性质、空间直线高中数学第11讲(必修2)直(正)棱柱与正棱锥、平面的基本性质、空间直线27新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞6.求两条异面直线所成角的大小的具体步骤是： 选点平移； 证明所作角为异面直线的夹角； 解三角形求角 .7.处理异面直线问题，通常的思路是将空间问题平面化处理 .颁均菏寓能今小秤贼许掘吗皮羡钢妆犹广逊朝冈毗悠辗捐漠锄桩盒径杉轩高中数学第11讲(必修2)直(正)棱柱与正棱锥、平面的基本性质、空间直线高中数学第11讲(必修2)直(正)棱柱与正棱锥、平面的基本性质、空间直线28新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞课后再做好复习巩固 . 谢谢！再见！雄亨迪嘲苇户杖馈汝秋兰福踪艳骏通讣傣磷节脾沙免讹嘲风瓢脱婪讼噬毋高中数学第11讲(必修2)直(正)棱柱与正棱锥、平面的基本性质、空间直线高中数学第11讲(必修2)直(正)棱柱与正棱锥、平面的基本性质、空间直线29新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞
