1、 临沂一中一轮专题复习资料数 列 好 题1 （ 本 题 满 分 14 分 ）甲、乙容器中有浓度为 25%和 75%的盐酸溶液各 8 克，从甲溶器往乙容器倒入 4 克溶液，摇匀后，再从乙容器往甲容器倒入 4 克溶液为一次操作，这样的操作反复进行 求操作 次后，甲容器与乙容器中的纯盐酸分别为多少克？n 欲使甲容器中的溶液浓度大于 48%，问至少操作多少次？解：（1）设操作 次后，甲、乙两容器中的纯盐酸分别为 、 克，则nab，1 分125%4781013a，2 分(8)ba又 ，4 分11(23nnb且 ，5 分1a 6 分8n，14()3n 是首项为 ，公比为 的等比数列，8 分na213 ，
2、， ， 10 分1()n4()nna124()3nb*N（2）依题意： ，11 分8%14()3.n10.2n35log2（或 ）13 分5.3n又 为自然数， 的最小值为 3，故至少 3 次能达到要求14 分2 （本小题满分 12 分）从原点出发的某质点 M，按向量 a = (0，1) 移动的概率为 ，按向量 b = (0，2) 移动32的概率为 ，设 M 可到达点 (0,n)的概率为 Pn.31()求 P1 、 P2 和 P3 的值；()设 bn=Pn+1-Pn，求证：数列 bn是等比数列；() （理）求数列 Pn的通项公式及 Pn.lim临沂一中一轮专题复习资料解()P 1= P3= 3
3、 分97132210,7()证明：M 到达点(0，n+2)有两种情况：从点(0，n+1)按向量 a=(0，1) 移动；从点(0，n) 按向量 b=(0,2)移动.故 Pn+2= P n+2P n+1= 即 bn+1=-,n312.Pn13.31所以b n是以 P2-P1= 为首项，以 - 为公比的等比数列. 7 分91()b n=Pn+1-Pn= (- )n-1=(- )n+1,P n-Pn-1=(- )n,33P n=(Pn-Pn-1)+(Pn-1-Pn-2)+(P2-P1)+P1=(- )n+(- )n-1+(- )2+ =311.n4故P n的通项公式为 Pn= 10 分.3Pn= =
4、12 分limli14.43 （ 本 题 满 分 14 分 ） 甲、乙容器中有浓度为 25%和 75%的盐酸溶液各 8 克，从甲溶器往乙容器倒入 4 克溶液，摇匀后，再从乙容器往甲容器倒入 4 克溶液为一次操作，这样的操作反复进行 求操作 次后，甲容器与乙容器中的纯盐酸分别为多少克？n 欲使甲容器中的溶液浓度大于 48%，问至少操作多少次？解：（1）设操作 次后，甲、乙两容器中的纯盐酸分别为 、 克，则nab，1 分25%4781013a，2 分1(8)ba又 ，4 分11(23nnb且 ，5 分na 6 分18n，4()3n 是首项为 ，公比为 的等比数列，8 分na213 ， ， ， 10
5、 分1()n4()nna124()3nb*N临沂一中一轮专题复习资料（2）依题意： ，11 分48%na1()3.10.24n325log（或 ）13 分5.3n又 为自然数， 的最小值为 3，故至少 3 次能达到要求14 分4 （理）等差数列 中，首项 ，公差 ，已知数列na10d成等比数列，其中 。123,nkkka 123,5kk（1）求数列 的通项公式；（2）当 时，求证： 。,3nN3248223naakkk 解：（1） ，221514add，3 分n，2nk又等比数列中，公比 ，所以 ，213aq13nka；6 分123nnnkk（2） （理）证明： ，123ma,2Nm时， ，m
6、13时， ，9 分112,3mm记 ，则 ，234680n ns 345168023n nns相减得到： ，334122n n ns所以 ，13 分17662nn临沂一中一轮专题复习资料所以 32422naakkk 2341680n。14 分75 （本小题满分 12 分）已知 ，且1()fx*1()()1,)nnfxfxN（1）求 ， 的表达式，猜想 的表达式并用数学归纳法证明；23（2）若关于 的函数 在区间（- ，-1 上x2 *12()()nyxfxfxN的最小值为 12，求 的值。n解:（1） ， ， ,猜想 3 分1()f2()f3()f()nfx证明： 当 时， 成立；1x假设 时
7、，表达式成立，即 ，nk()kfx则当 时，11()1kfxk当 时，表达式成立由得对任意 , 5 分*nN()nf（2） ， ，()nfx12 (1)()2nnxfx 。 7 分2()4y当 即 时，函数 在区间（- ,-1上是减函数1n2()nyx当 时， 即 ，x2min1y20又 ,该方程没有整数解； 9 分2(1)4()89当 ，即 时，n2min1y临沂一中一轮专题复习资料 ，解得 或 （舍去）2480n6n8综上所述， 为所求的值 12 分6 （本小题满分 14 分）设数列 是首项为 6，公差为 1 的等差数列； 为数列 的前 项和，且nanSnb2nS（1）求 及 的通项公式
8、和 ；nbnab（2）若 ，问是否存在 使 成立？若存,()naf为 奇 数为 偶 数 *kN(27)4(fkfk在，求出 的值；若不存在，说明理由；k（3）若对任意的正整数 ，不等式 恒成12102()()nnaabb立，求正数 的取值范围。a解:（1） 1 分1()65ndn又当 时， 13bS当 时,2221(1)()nnnn上式对 也成立， ，*()nbN总之， 4 分5,21nab（2）由已知 当 为奇数时， 为偶数,(),f为 奇 数 ,为 偶 数 k27k由 ，得 ,74fkfk2(7)14(5) （舍去） 6 分352,当 为偶数时， 为奇数，kk由 ，得 ，(7)4(ff27
9、)54(1)k即 ， 适合题意。28,k临沂一中一轮专题复习资料总之，存在整数 ，使结论成立 8 分4k（3）将不等式变形并把 代入得：5na1231()()()23nabbn设 12()()()ng 121(1)()()25nnbb 133424()() 553ng n A又 2()25n ，即(1)g(1)(gn 随 的增大而增大， ，()nmin145()()35g .4501a8 （本题满分 14 分）设不等式组 所表示的平面区域为 ，记03(*)xynN nD内的整点个数为 ,（整点即横坐标和纵坐标均为整数的点）nDna 求数列 的通项公式； 设数列 的前 项和为 ， ， ，若对于一
10、nanS),321(nkaCbnknkbT1切正整数 ， 恒成立，求实数 的起值范围。mTnm解：（1） 由 ，得 , 当 时， ， 时，0x3y,0x3x1n2y1xny2 即 n2an3an )N(临沂一中一轮专题复习资料6 分. （2） 易求 ,由（1）知 2)n(3SknkC3b)n,.21(， ).C(T2nn 1n1n1n0 23C.9 分 恒成立 (也可以用倒序相加法求和)m2)1(Snn记 ，则R1nn12)(R 123时， ，而n0n .543 为最大， 故 的取值范围是 。 2R3 m,2314 分9 （理）等差数列 中，首项 ，公差 ，已知数列na10d成等比数列，其中
11、。123,nkkka 123,5kk（1）求数列 的通项公式；（2）当 时，求证： 。,3nN3248223naakkk 解：（1） ，221514add，3 分n，2nk又等比数列中，公比 ，所以 ，213aq13nka；6 分123nnnkk（2） （理）证明： ，123ma,2Nm时， ，m13临沂一中一轮专题复习资料时， ，9 分3m1112,3mm记 ，则 ，234680n ns 345168023n nns相减得到： ，334122n n ns所以 ，13 分17662nn所以 32422naakkk 234180n。14 分7610 （本小题满分 12 分）已知 ).(,tan,
12、t,sin3)2si( xfyx记设 （）求 的表达式；)(xf（）定义正数数列 ，数列 是等比数)(2,1, Nnafannn 21na列；（）令 成立的最小 n 值.831,21nnn SbSab求 使项 和的 前为解：（） si3)si(1 分in2co2)s(sinsin3 分1co23icota4 分tanssin425 分1)(2xf（） 12)( nnnn afa临沂一中一轮专题复习资料7 分221nna)(221nn数列 是以 2 为首项， 8 分2na .1为 公 比 的 等 比 数 列（） 112bn10 分22)(41)(nS又 831)2(83nn即 51)2(满足 1
13、2 分.683为的 最 小 nSn11 （本题满分 14 分）已知正项数列 an 满足 a1 = 1，当 n2 时，都有121nan（）试求数列 an 的通项公式；（）设 ， ，试比较 与 的大小1nb12Bbn13nB解:()当 n 2 时，由已知式子，得 an an（2n 1） = a n1 （a n1 + 2n1） ，整理，得 an 2a n1 2 =（2n1） （a n + a n1 ） 因为 an 是正项数列，所以 an + a n1 0，故只有 an = an1 + 2n1 2 分于是，当 n2 时， a2 = a1 + 21，a3 = a2 + 21，an = an1 + 2n1
14、，上面 n1 个式子相加得 ana 1 = 2（2 + 3 + + n）（n1） ，解得 an = n2又当 n = 1 时， a1 = 1 满足上式，故 an = n2 5 分（）临沂一中一轮专题复习资料， ，221nnb 22213451n nBn 7 分当 n = 1 时， ；当 n = 2 时， ；当 n = 3 时，134n13nB； 猜想当 n3 时， 9 分1538B1B以下用数学归纳法证明： 当 n = 3 时，左边 右边，命题成立158nn 假设当 n = k（k3）时， ，即 231k123k当 n = k + 1 时， （因为1)( kkk B)2(31k（k + 2）
15、2 3 k（k + 3） 2k24k + 50 2（k1） 2 + 30） ，命题成立故当 n3 时， 1nB综上所述，当 n = 1 时， ，n = 2 时， ，当 n3 时，1313nB 13nB14 分12 （本题满分 13 分）函数 的最小值为 且)1,(12yNnxy ,nnba最 大 值 为数列 的前 项和为 14(),2nncabnCnS（）求数列 的通项公式；c（）若数列 是等差数列，且 ，求非零常数 ；ndndcc（）若 ，求数列 的最大项1()()36)nf N()f解：（）由2 2,(*,)(1)0xyyxyn为， ，R1240,4()410ny为临沂一中一轮专题复习资料
16、由题意知： 的两根，2,4(1)410nabyny为143,(*)nCN（） ，cndSn22,123615,ddcc为等差数列， ， ，nd21300()为经检验 时， 是等差数列，12cnd2nd（） 1()3636)(249736f “1().49nf当 且 仅 当 即 时 取的 最 大 值 为13 （本题满分 14 分）已知数列 、 、 的通项公式满足 ， （nanbcnnab1nbc1） ，若数列 是一个非零常数列，则称数列 是一阶等差数列；若数列Nn 是一个非零常数列，则称数列 是二阶等差数列.cna() 试写出满足条件 、 、 的二阶等差数列 的前五项；1b1cna（）求满足条件
17、（1）的二阶等差数列 的通项公式 ；n（）若数列 首项 ，且满足 ， 求数列na21 )(2311Nbcn的通项公式.na解：() ， ， ， ， 4 分12437a5（） 依题意 ,21,1ncbn所以 123)()()()( bbbnn 6 分.又 ,321,1ann所以 12321 )()()()( aaann 临沂一中一轮专题复习资料12)()1n 212)(nn8 分（）由已知 ，可得113nnabc，2n即 ，12n 10 分14na解法一：整理得: , 12 分)2(41nna因而数列 是首项为 ,公比为 4 的等比数列, n21 , na1即 14 分nn4解法二： 在等式 两
18、边同时除以 得：112na12n11 分1nn令 ，则 ,即 . nak221nk)1(21nnk故数列 是首项为 ,公比为 的等比数列. 12 分所以 ，即nnk2111nk 14 分a4)(2解法三： ，1 ， ， )(22)12(5633a )12(44a猜想： 12 分nnna4)1(下面用数学归纳法证明如下：（）当 时， ，猜想成立；21临沂一中一轮专题复习资料（）假设 时，猜想成立，即 knkka24那么当 时，1，结论也成立111 )24(24 kkkkka 由()、( ）可知， 14 分nna14 （本小题满分 14 分）假设某地区 2007 年教育投入 400 万元，其中有
19、240 万元用于义务教育，预计在今后的若干年内，该地区每年教育投入平均比上一年增长 10%另外，每年教育投入中，义务教育的投入资金均比上一年增加 60 万元，那么，到哪一年底，（）该地区历年义务教育投入的累计资金（以 2007 年为累计的第一年）将首次不少于 3600 万元？（）当年用于义务教育的资金占该年教育投入资金的比例首次大于 80%？（参考数据： ）451.6,.1解：（）设该地区义务教育的投入资金形成数列 ，na由题意可知 是等差数列，其中 ，na1240,6d则 ， 4 分(1)240603nSn令 ，即 ，而 n 是正整数， 6 分3278n（）设每年教育投入资金形成数列 ，由题
20、意可知 是等比数列，nbb其中 ，则 ， 10 分140,.1bq140(.)nb由题意可知 ，有 ， 11 分.8na12640(.).80n满足上述不等式的最小正整数 5到 2011 年底，当年用于义务教育的投入资金占该年教育投入资金的比例首次大于80% 14 分14某县位于沙漠地带，人与自然长期进行着顽强的斗争，到 2001 年底全县的绿化率已达30%。从 2002 年开始，每年将出现这样的局面，即原有沙漠面积的 16%将被绿化，与此同时，由于各种原因，原有绿化面积的 4%又被沙化。（1）设全县面积为 1，2001 年底绿化面积为 经过 年绿化总面积为,103an.1na求证 .542n
21、naa临沂一中一轮专题复习资料nn1n0Pn*n/424*nTnP 2005？打印 n结束是否（2）至少需要多少年（年取整数， ）的努力，才能使全县的绿化率达到301.2lg60%？（1）证明：由已知可得 确定后， 表示如下： =na1nna%16)()41(na即 =80% +16%= +nan542（2）解：由 = + 可得： = （ ）= （ ） 2（ ）=1 1n54n51n54)()541n故有 = ，若 则有 即na54(2n1na.34)(2n.31)(2n两边同时取对数可得 lg(15lg)(lg故 ，故使得上式成立的最小 为 5，1l3 *N故最少需要经过 5 年的努力，才能
22、使全县的绿化率达到 60%.15 （本题满分 14 分）数列a n的前 n 项和为 Sn，已知 。23nn（1）求数列a n的通项公式；（2）若 ，数列b n的前 n 项和为 Tn，求 Tn；)(为b（3）张三同学利用第(2)题中的 Tn 设计了一个程序如图，但李四同学认为这个程序如果被执行会是一个“死循环”（即程序会永远循环下去，而无法结束） 。你是否同意李四同学的观点？请说明理由。解：（1）当 n = 1 时，a 1 = S1 = 2当 n2 时， 12)(31nnn3 分)(*N（2）当 n 为偶数时Tn = (b1 + b3 + + bn1 ) + (b2 + b4 + + bn) =
23、 (a1 + a3 + + an1 ) + (22 + 24 + + 2n)4n7 分)(2当 n 为奇数时，则 n + 1 为偶数 )12(34)2(34)( 221 nnT而 Tn + 1 = Tn + bn+1 = Tn + 2n+112临沂一中一轮专题复习资料10 分)(342142为 奇 数为 偶 数nnTnn（3） P设 当 n 为奇数时，)(*Ndn1273ndn506212 则从第 5 项开始d n的奇数项递增而 d1,d3, d11 均小于 2005 且 d13 2005d n2005当 n 为偶数时， 42731 404722 nnn 则从第 4 项开始d n的偶数项递增而 d2，d 4，d 10 均小于 2005 且 d12 2005d2005因此 d n2005(n N*)即 TnP2005 (n N*)因此李四同学的观点正确14 分
