1、直 线 平 移 小 窍 门搞好 “三生教育 ”，落实在学科教学上是让学生学会学习，下面是我坚持指导学生自主学习，学会研究性学习的成功例子，这篇学生论文发表在 中小学数学 2006 年第 12期上。 如东县实验中学初二（ 9）班 沈俊俊 指导老师：刘宝国（226400）在数学课上，我们探究了一次函数的图像的平移问题，一次函数的图像沿 y 轴进行上下平移，其解析式的变化情况很容易把握。例如：问题 1： 直线 y=2x+1 向上平移 4 个单位后得到的直线是 y=2x+5 问题 2： 直线 y=-3x-1 是直线 y=-3x+5 向上或向下怎样平移得到的， 是向下平移 6 个单位得到的 。比较难探究
2、的是一次函数的图像沿 x 轴进行左右平移。利用待定系数法，可以解决此类问题。例如：问题 3： 求直线 y=2x+1 向左平移 2 个单位后得到的直线的解析式解： 当 x=0 时，y=1 直 线 y=2x+1 过点（0，1） 点（ 0，1）向左平移后的点 为（-2，1）。设平移后的直线为 y=2x+b 1=2(-2)+b b=5 平移后的直线的解析式是 y=2x+5。问题 4： 直线 l2： y=-3x-1 是由直线 l1： y=-3x+5，向左向右怎样平移得到的。解： 点（0，5 ）在直线 l1 上， 对于直线 l2：当 y=5 时，5=-3x-1 x= -2 直 线 l2过点（ -2，5），
3、 所以直线 l1 上的点（0，5）通过左右平移后的对应点为（-2，5），由这样两点可知，直线 l2 是 l1 向左平移 2 个单位得到的。解决与平移有关的问题，就是抓特殊点，例如上面的几个问题，问题 1 是点（0，1）与点（0，5） ，问题 2 是点（0，5）与点（0，-1） ，问题 3 是点（0，1）与点（-2 ，1） ，问题 4 是点（0，5）与点（-2， 5） 。有了这样的窍门，我们又可以多角度解决下面的问题：问题 5： 求经过点（1，7）并且与直线 y=2x 平行的直线的解析式。解法 1： 设直线的解析式是 y=kx+b由题意得： k=2，k+b=7 解得： k=2， b=5 直线 的
4、解析式是 y=2x+5。解法 2： 当 x=1 时 y=21=2 直 线 y=2x 经过（1，2）由点（1，2）到点（1，7）是向上平移 5 个单位后得到的 所求的直 线的解析式是 y=2x+5。解法 3：思路：本题也可以通过特殊点，先由点（ ，2）到点（ 1，7）探究平移情况，再由点7（0，0）到点（ ，0）求出解析式。25在课上解决问题之后，我们发现左右平移与上下平移的联系，把左右平移转化成上下平移，可以简化问题的难度，因此我和同宿舍的丁春辉、翟鹏、赵宸等几个同学进行了这方面的探究。发现 1： 把直线 y=2x+1 向上平移 4 个单位与向左平移 2 个单位效果一样（如：问题1 与问题 3
5、） 。猜想 1： 直线 y=2x+1 向左（或向右）每平移 1 个单位可以转化为直线 y=2x+1 相应地向上（或向下）平移 2 个单位。猜想 2： 把直线 y=3x+b 向左（或向右）每平移 1 个单位，可转化为直线 y=3x+b 相应地向上（或向下）平移 3 个单位。猜想 3： 把直线 y=kx+b (k0)向左（或向右）每平移 1 个单位，可以转化为直线y=kx+b,则相应地向上（或向下）平移 k 个单位。证明 1 设：把直线 y=kx+b (k0)向左平移 1 个单位后得直线 y=kx+b1, 直线 y=kx+b1,过点（-1，b） b=-k+b1, b1=b+k 平移后的直线为 y=
6、kx+b+k而直线 y=kx+b 向上平移 k 个单位后也得直线 y=kx+b+k。又 把直 线 y=kx+b 向左平移 m 个单位后得直线 y=kx+ b2 过点（-m,b） b=-km+b2 b2=b+km 平移后的直线为 y=kx+b+km而直线 y=kx+b 向上平移 km 个单位后也得到直线 y=kx+b+km。 把直线 y=kx+b (k0)向左（或向右）每平移 1 个单位，可以转化为直线 y=kx+b,则相应地向上（或向下）平移 k 个单位。 猜想 3 得证。发现 2： 把直线 y=-3x+5 向下平移 6 个单位与向左平移 2 个单位效果一样（如：问题 2 与问题 4） 。猜想
7、 4： 直线 y=-3x+5 向左（或向右）每平移 1 个单位可以转化为直线 y=-3x+5 相应地向下（或向上）平移 3 个单位。猜想 5： 把直线 y=-4x+b 向左（或向右）每平移 1 个单位，可转化为直线 y=-4x+b,相应地向下（或向上）平移 4 个单位。猜想 6： 把直线 y=kx+b （k0）向左( 或向右)每平移 1 个单位，可以转化为直线y=kx+b,则相应地向下（或向上）平移k个单位。证明 2 设：把直线 y=kx+b (k0) 向左平移 1 个单位后得直线 y=kx+b1, 直线 y=kx+b1,过点（-1，b） b=-k+b1, b1=b+k 平移后的直线为 y=k
8、x+b+k而直线 y=kx+b 向下平移k 个单位后也得直线 y=kx+b+k又 把直 线 y=kx+b 向左平移 m 个单位后得直线 y=kx+ b2 过点（-m,b） b=-km+b2 b2=b+km 平移后的直线为 y=kx+b+km而直线 y=kx+b 向下平移km个单位后也得到直线 y=kx+b+km 把直线 y=kx+b （k0向左或向右每平移 1 个单位，可以转化为直线 y=kx+b,则相应地向下（或向上）平移k 个 单位。 猜想 6 得证。有了以上规律，解决平移问题就有了方便的方法了。例如：1 直线 y=5x-3 向左平移 2 个单位得到直线 y=5x+7 (相当于向上平移 2
9、5 个单位)。2 直线 y=-x-2 向右平移 2 个单位得到直线 y=-x (相当于向上平移 21 个单位)。3 直线 y= x 向右平移 2 个单位得到直线 (相当于向下平移 2 个单位) 。1 12xy14 直线 y= 向左平移 2 个单位得到直线 (相当于向下平移 233个单位) 。23在研究了上面的方法后，我们很是高兴。直线平移窍门在班上一下子传开，刘老师看到了，对我们的研究作出了肯定，并指出了直线平移还可以继续研究下去，指导我们看问题 5 的结果。刘老师把问题 5 的结果 y=2x+5 改写为 y-7=2(x-1)，让我们观察、研究。因此我们有几个小组进行了探究，得出了以下平移小窍
10、门：直线 l1：y=kx+b 与 l2：y-m=k(x-n)+b 的位置关系是直线 l1：y=kx+b 向上平移了 m个单位，向右平移了 n个单位得到直线 l2：y-m=k(x-n)+b。 （m 为正，代表直线向上平移 m个单位，m 为负，代表直线向上平移负m个单位，也就是直线向下平移m个单位；n 为正，代表直线向右平移 n个单位，n 为负，代表直线向右平移负n个单位，也就是直线向左平移n个单位） 。（读者可以自己研究，验证） 。有了以上规律，解决平移问题就有了更方便的方法了。例如：1. 直线 y=5x-3 向左平移 2 个单位得到直线 y=5(x+2)-3 即 y=5x+7。2. 直线 y=
11、-x-2 向右平移 2 个单位得到直线 y=-（x-2 ）-2 即 y=-x。3. 直线 y= x 向右平移 2 个单位得到直线 即 。1 )2(1xy1xy4. 直线 y= 向左平移 2 个单位得到直线 即 。33235. 直线 y=2x+1 向上平移 4 个单位得到直线 y-4=2x+1 即 y=2x+5。6. 直线 y=-3x+5 向下平移 6 个单位得到直线 y+6=-3x+5 即 y=-3x-1。7. 直线 向上平移 1 个单位，再向右平移 1 个单位得到直线 即xy3 )1(3xy。21xy8. 直线 向下平移 2 个单位，再向左平移 1 个单位得到直线43xy即 。1)(432xy19. 过点（2，-3）且平行于直线 y=2x 的直线是 y+3=2(x-2)即 y=2x-7。10. 过点（2，-3）且平行于直线 y=-3x+1 的直线是 y+3=-3(x-2)+1 即 y=-3x+4。
