7 静定结构的位移计算.ppt

1、第7章 静定结构的位移计算,知识点:,结构位移的概念及类型虚功原理及应用 结构位移计算的一般公式静定结构在荷载作用下的位移计算图乘法静定结构由于支座移动、温度改变引 起的位移计算线弹性结构的互等定理,教学基本要求:,掌握结构位移计算的一般公式，并能正确应用于各类静定结构受荷载作用、支座位移、温度变化等引起的位移计算。,熟练掌握图乘法的推导、应用条件、图乘技巧、梁和刚架位移计算的图乘法。,掌握线弹性结构的互等定理,掌握刚体虚功原理与变形体虚功原理内容及其应用条件，掌握刚体虚功原理的应用，掌握广义位移与广义荷载的概念。,了解曲杆和拱的位移计算。,虚功原理及应用,重点：,图乘法及应用,难点：,虚功原

2、理的理论解释,图乘法的图乘技巧,（1）某点的线位移（2）某截面的角位移（3）两点间的相对线位移（4）两截面间的相对角移,线位移：,角位移：,绝对位移,相对位移,线位移：,角位移：,一般来说，结果的位移与结构的几何尺寸相比都是极其微小的。,7.1 结构位移计算概述,1.结构的位移,荷载作用下,还有什么原 因会使结构产 生位移?,2 引起结构位移的原因：,荷载、温度改变 T、支座移动 c、制造误差 等,为什么要计算 位移?,3. 计算位移的目的,1）刚度要求。如：在工程上，吊车梁允许的挠度 1/600 跨度；高层建筑 最大位移 1/1000 高度。最大层间位移 1/800 层高。铁路 工程技术规范

3、规定:桥梁在竖向活载下，钢板桥梁和钢桁梁最 大挠度 1/700 和1/900跨度,(3) 理想联结,铰接无摩擦,4. 本章位移计算的假定,2) 超静定要求：静力条件和变形条件都满足,3）施工要求：起拱,叠加原理适用,(1) 线弹性：结构的变形或位移与作用力成正比,(2) 小变形：结构的几何尺寸，载荷的方向位置不变,线性变形体系,复习功的概念,P,A,P,常力作的功,力偶作的功,d,7.2 线性变形体的实功及变形位能,功：力力方向位移之总和,注意 （1）P由0增加至P的变力所做的功与常力所做的功不同 （2）位移为力方向位移（右图） （3）力矩的功（4）多个外力作用,A,B,力状态,P,q,M,d

4、s,二.变形位能,RA,RB,q,N,N+dN,Q,Q+dQ,M,M+dM,ds,外力：做功体系：能量（变形位能 势能 ）,内力（N Q M ）由 0增加至终值，对某截面：这些力为外力，所做的实功以变形能度量,位移状态,ds,ds,du,ds,dv,d,ds,A,B,微段ds上的变形能为,dU=dUN+dUM+dUV,1. 外力虚功、广义力及广义位移,（1）位移的双脚标符号,A,B,P1,1,2,7.3 变形体系的虚功原理,（2）外力的虚功,实功：力在本身引起的位移上作的功。实功是力（位移）的二次函数。,虚功：力在其它因素引起的位移上作的功。力与位移是彼此无关的量，分别属于同一体系的两种彼此无

5、关的状态。虚功是力（位移）的一次函数。,Tkj=Pkkj,考察力作功的过程静力加载：0P,虚功是代数量，有正有负。,（3）广义力及广义位移,作功的两因素,力： 集中力、力偶、一对集中力、一对力偶、一个力系 统称为广义力位移：线位移、角位移、相对线位移、相对角位移、一组位移统称为广义位移,（4）虚功的两种状态力状态位移状态,注意：两种状态,（3）位移状态与力状态相互独立、完全无关；但相互对应,（2）均为可能状态。即位移应满足变形协调条件（变形与位移协调:位移连续、杆件变形后不断开、不重叠。）；力状态应满足平衡条件。,（1）属同一体系；,（5）. 变形体的虚功原理： 设变形体在力系作用下处于平衡状

6、态，又设变形体由于其它原因产生符合约束条件的微小的连续变形，则外力在相应位移上所做的外力虚功T 恒等于整个变形体各个微段内力在变形上所做的内力虚功W(虚变形能)。,T=W,虚功方程,T,W,外力虚功,内力虚功,回顾：刚体（理论力学）,(7-12b),(6). 虚功原理的两种应用,平面杆件结构的虚功方程为,虚位移原理 虚力原理,小结：,.虚功方程实际上是平衡方程和协调方程的总和，反过来虚功方程既可以用来代替平衡方程也可以用来代替几何方程。,以上结论与材料物理性质及具体结构无关，因此，虚功原理虚功方程既适用于一切线性、非线性、静定、超静定结构。, 虚功原理里存在两个状态：力状态必须满足平衡条件；位

7、移状态必须满足协调 条件。因此原理仅是必要性命题。,.刚体的虚功原理是变形体虚功方程的特殊形式,1. 位移计算的一般公式,设平面杆系结构由于荷载、温度变化及支座移动等因素引起位移如图。,P2,P1,K,k,k,K,Kp,利用虚功原理,c1,c2,c3,k,k,PK=1,实际状态位移状态,ds,虚拟状态力状态,ds,K,求任一指定截面K沿任一指定方向 kk上的位移Kp 。,t1,t2,7.4静定结构在荷载作用下的位移计算,这便是平面杆系结构位移计算的一般公式，若计算结果为正，所求位移Kj与假设的 PK=1同向，反之反向。这种方法又称为单位荷载法。,2 一般公式的普遍性表现,2. 结构类型：梁、刚

8、架、桁架、拱、组合结构；静定和超静定结构；,1. 位移原因：荷载、温度改变、支座移动等；,3. 材料性质：线性、非线性；,4. 变形类型：弯曲变形、拉(压)变形、剪切变形；,5. 位移种类：线位移、角位移；相对线位移和相对角位移。,3. 虚拟状态的设置,在应用单位荷载法计算时，应据所求位移不同，设置相应的虚拟力状态。,例如:,A,求AH,实际状态,虚拟状态,A,1,A,求A,1,虚拟状态,A,A,虚拟状态,虚拟状态,B,求AB,1,1,B,求AB,1,1,广义力与 广义位移,试确定指定广义位移对应的单位广义力。,4、静定结构在荷载作用下的位移计算,当结构只受到荷载作用时，求K点沿指定方向的位移

9、KP，此时没有支座位移，表达为,式中：,为虚拟状态中微段上的内力；dP、duP、dvP为实际状态中微段上的变形。由材料力学知,（a）,dP=,duP=,dvP =,将以上诸式代入式（a）得,（714）,这就是平面杆件结构在荷载作用下的位移计算公式。,平面杆件结构在荷载作用下的位移计算公式,注：（1）符号说明（2）正负号,k-为截面形状系数,（714）,内力的正负号规定如下：,讨 论,1. 梁和刚架,2.桁架,3. 组合结构,KP=,在实际计算时，根据结构的具体情况,式（714）可以简化：,4. 拱结构,KP=,已知：EI为常数。求：,解：,虚设力状态,例 1,例 2 求图示刚架A点 的 竖 向

10、位移Ay。 E A、 E I为常数。,A,B,C,q,L,L,A,实际状态,虚拟状态,A,B,C,1,解：,1. 选择虚拟状态,x,x,选取坐标如图。,则各杆弯矩方程为:,AB段：,BC段：,2. 实际状态中各杆弯矩方程为,AB段：,BC段：,MP=,MP=,x,x,3. 代入公式得,Ay=,，,(),=,(-x)(-,2,qx,2,),EI,dx,+,(-L),(-,2,qL,2,),EI,dx,已知：各杆EA相同， 求：,例 3,求DV,5FP,8FP,1,3FP,例 4,例 5 求图示桁架C点的竖向位移CP。图中杆旁数值为杆件的截面积，并设各杆E=2.1104kN/cm2。,例6 ：求曲

11、梁B点的竖向位移 和水平位移 。(EI、EA、GA已知),解：构造虚设的力状态如图示,同理有：,将内力方程代入位移计算公式,可得：,三铰拱的分析同此类似，但一般要考虑轴力对位移的贡献，也即,这一节主要内容：,2. 几种常见图形的面积和形心位置；,3. 图乘法注意事项；,4. 应用举例。,1. 图乘法；,7.5 图乘法及其应用,图乘法是Vereshagin于 1925年提出的，他当时 为莫斯科铁路运输学院 的学生。,当结构符合下述条件时：,（1）杆轴为直线； （2）EI=常数； （3）两个弯矩图中至少有一个是直线图形。,上述 积分可以得到简化。,MP图,x,y,面积 ,设两个弯矩图中，,图为一段

12、直线，MP图为任意形状：,A,B,O,A,B,MP,dx,d=MPdx,x,1. 图乘公式: 计算梁和刚架在荷载作用下的位移时，要计算积分,形心,C,xC,yC,yC=xCtg,如果结构上各杆段均可图乘，则：,图乘法的注意事项,（1）必须符合上述三个前提条件；（2）竖标yC只能取自直线图形；（3）与yC在杆件同侧乘积取正号，异侧取负号。,2. 简单图形的面积公式和形心位置,L,h,2L/3,L/3,L,h,a,b,（L+a)/3,(L+b)/3,形心,形心,L,h,二次抛物线,顶点,L/2,二次抛物线,L,h,3L/4,L/4,3L/8,5L/8,1,2,1=2/3(hL),2=1/3(hL)

13、,顶点,3 . 图形的技巧,使用乘法时应注意的问题小结：1、yC必须取自直线图形；2、当MK为折线图形时，必须分段计算；3、当杆件为变截面时亦应分段计算；4、图乘有正负之分；5、若两个图形均为直线图形时，则面积、纵标可任意分别取自两图形；6、图乘时，可将弯矩图分解为简单图形，按叠加法分别图乘；7、三角形、标准二次抛物线的面积、形心公式必须牢记。,ql2/2,例：求梁B点转角位移。,例：求梁B点竖向线位移。,求B点竖向位移。,例 7-6,例 1 求下图所示刚架C、D两点间距离的改变。设EI=常数。,A,B,C,D,L,h,q,解：,1. 作实际状态的MP图。,MP图,2. 设置虚拟状态并作,。,

14、1,1,h,h,yC=h,3. 图乘计算,（）,CD=,EI,yC,=,EI,1,(,3,2,8,qL,2,L),h,=,12EI,qhL,2,形心,例 2 求图示刚架A点的竖向位移Ay 。,A,B,C,D,EI,EI,2EI,P,L,L,L/2,解： 1. 作MP图、,P,PL,MP图,1,L,；,2. 图乘计算。,Ay=,（）,EI,yC,=,EI,1,(,2,LL,2,PL,(L,4,=,16EI,PL,2,),-,2EI,1,2,3L,),PL,例 3 求图示外伸梁C点的竖向位移Cy。EI=常数。,q,A,B,C,L,图,1,1,y2,y3,解：,1. 作MP图,2. 作,图,3. 图

15、乘计算,y1=,y2=,y3=,Cy=,y1,MP图,2,3,例4 求图示刚架C截面的角位移c ；点B的水平线位移BH; 点D的竖向线位移DV 。,30,解：1、作MP图,2、求c ;,30,3、求BH;,30,4、求DV;,例：求图示梁中点的挠度。,3a/4,？,例：求图示梁C点的挠度。,？,取面积的范围内，另外一个图形必须是直线。,例: 设 EI 为常数，求,解：作荷载内力图和单位荷载内力图,应分段！,求B点的竖向位移。,？,ql2/8,l/2,？,例7-6: 图示变截面杆AB 段的弯曲刚度为4EI，BC段的弯曲刚度为EI，试求C点的竖向位移 。,解 绘出实际状态及虚拟状态的 、 图。,y

16、1,y2,y3,y4,y5,72,20,MP图,例: 已知 EI 为常数，求 。,解：作荷载内力图和单位荷载内力图,解法一、,解法二、,解：,已知：各杆EI=常数，求A、B两点之间的相对转角。,图示结构 EI 为常数，求AB两点(1)相对竖向位 移,(2)相对水平位移,(3)相对转角 。,MP,对称弯矩图,反对称弯矩图,对称结构的对称弯矩图与 其反对称弯矩图图乘,结果 为零.,例: 已知： E、I、A为常数，求 。,讨论:如果B支座处为刚度k的弹簧，该如何计算？,显然，按弹簧刚度定义，荷载下弹簧变形为:,因此，弹簧对位移的贡献为: 。,由此可得有弹簧支座的一般情况位移公式为:,两个悬臂刚架，在

17、悬臂端插入一个长度为e的垫块，问需要多大的两个力。,解：,已知位移求荷载,其它,已知：各杆EI相同。由于D点下垂过大，要加固一段长为a的区段。问加固哪一段效果显著。,解：,加固第二跨,76 静定结构温度变化时的位移计算,1、静定结构发生温度变化时的反应特点静定结构没有多余约束，在温度变化时不产生反力和内力；由于材料热胀冷缩，结构将产生变形和位移。,2、温度变化作用下静定结构位移计算公式,设图示结构外侧温度升高 t1，内侧温度升高 t2 ,求K点的竖向位移Kt 。,t1,t2,K,K,Kt,K,PK=1,实,虚,（1）温度变化规律的假定 沿截面高度线性变化 温度沿杆长不变 温度变化的前、后杆截面

18、仍保持平面 以杆轴线处的变形代表整个杆件的变形 材料的线胀系数为单位长度在温度改变1时伸长（或缩短）值。,dx,t1,t2,t2dx,t1dx,dt,（2）微段的变形,温度改变只引起材料纤维的伸长或者缩短，因此：,微段杆轴线处的伸长，,杆件截面无剪应变,微段两端截面的相对角位移，,t0,Kt,此时由上式可得：,Kt,（3）位移计算公式,当t0、t和截面高度h沿杆长方向为常量：,上式中的正、负号：原则：变形一致为正，反之为负。,由温度引起的弯曲变形与由单位力引起的弯曲变形一 致，取“正”号。即 和 使杆件的同一边产生拉伸变 形，其乘积为正。 由温度引起的轴向变形与由单位力引起的轴变变形一致，取“

19、正”号。即 温度以升高为正，则轴力以拉为正。 3 其余符号均取绝对值。,Kt,Kt,计算温度改变引起的结构位移时，不能忽略轴向变形对结构位移的影响！,桁架在温度变化时的位移计算公式为,Kt=,桁架因制造误差引起的位移计算与上式类似,式中l为制造误差。,Ke=,例： 图示刚架施工时温度为20，求冬季外侧温度 为10，内侧温度为0时A点的竖向位移 Ay。已知L=4m，=105，各杆均为矩形截面，高度h=0.4m。,L,L,t1,t2,实,解：,外侧温度变化,绘,图，,A,A,1,虚,1,代入式（312），并注意正负号(判断)，,L,Ay,可得,t1=,1020=30,内侧温度变 化,t2=020=

20、20 。,t0=(t1+t2)/2=25 ,t=t2t1=10,例：图示结构温度变化如图。各杆截面相同为h，且对称于形心。求：E点的水平位移。,解：,附属部分：,基本部分：,附属部分：,基本部分：,解：构造虚拟状态,例： 求图示桁架温度改变引起的AB杆转角.上弦杆杆轴 温度升高,静定结构支座移动时的位移计算,77 静定结构支座移动时的位移计算,静定结构由于支座移动并不产生内力，故杆件不产生变形，只发生刚体位移。（该位移也可由几何关系求得）。有,.ci表示实际状态的支座位移。表示虚设广义力状态下与ci对应的的支座反力。 两者方向相同为正，反之为负。 .注意公式的负号。,例1：求,解：构造虚设力状

21、态,例2：图示三铰刚架右边支座的竖向位移By=0.06m水平位移Bx=0.04m,已知 L=12m，h=8m。求A 。,h,L/2,L/2,Bx,By,实,A,B,C,解： 虚拟状态如图。,A,B,C,1,由式得,A,=0.0075rad ,虚,线弹性结构的互等定理有四个：,7.9 线弹性结构的互等定理,（1）功的互等定理,第一状态 N1、Q1、 M1、 P1、21,1,2,P1,21,1,2,P2,12,第二状态 N2、Q2、 M2、 P2、12,据虚功原理有,T21=W21 :,或,T12=T21,故,第一状态的外力在第二状态的位移上所作的虚功，等于第二状态的外力在第一状态的位移上所作的虚

22、功。,T12=W12 :,证明如下：,（2）位移互等定理,1,2,P1=1,21,1,2,P2=1,12,据功的互等定理,P112=P221（影响系数）,即,12= 21,P1=1,A,A,B,B,C,C,A,M=1,fC,A= fc,又如：,第二个单位力所引起的第一个单位力作用点沿其方向的位移，等于第一个单位力所引起的第二个单位力作用点沿其方向的位移。,有,（3）反力互等定理,1=1,2=1,据功的互等定理,r121= r212,即,r12= r21,（4）反力位移互等定理,支座1发生单位位移所引起的支座2的反力，等于支座2发生单位位移所引起的支座1的反力。,1,2,r21,1,2,r12,单位力所引起的某支座反力，等于该支座发生单位位移时所引起的单位力作用点沿其方向的位移。（略）,问题：如何建立方程，如何叙述定理？,单位广义力引起的结构中某支座的反力，恒等于该支座发生单位广义位移时引起的单位广义力作用点沿其方向的位移，但符号相反。,小结,虚力原理（求未知位移） 虚功方程等价于位移条件,三、=,刚架、梁,桁架,支座移动,各项含义 正负号的确定 虚设广义单位荷载的方法,一、位移,标准图形的面积和形心位置 非标准图形乘直线形的处理方法,五、互等定理 适用条件 内容,W12= W21,r12=r21,四、图乘法求位移,图乘法求位移的适用条件 y0的取法,