1、形式语义学,Formal Semantics of Programming Languages2011.09,内容回顾,关于论域 完全半序集 半序集 = 集合 + 半序关系 最小元 任何一个递增链都有最小上届 一个集合可以扩展为平坦集(最小元+平坦关系)； 平坦集一定是完全半序集； 任何一个集合一定可以扩展成完全半序集； 论域是完全半序集 论域构造：论域表达式 原始论域 论域构造符：，+，*，,2019/5/26,2,第二章 函数式抽象描述方法,2.1 论域理论基础(Domain Theory) 2.1.0 集合的基本概念 2.1.1 完全半序集(complete partial order
2、set, CPO) 2.1.2 连续函数(continuous functions) 2.1.3 最小不动点(least fixed point),2019/5/26,3,2.1.2 连续函数,主要内容 相关概念 部分函数(partial function) 全函数(total function) 自然开拓函数 单调函数(monotonic function) 严格函数(strict function) 连续函数(continuous function) 相关性质,2019/5/26,4,相关概念,部分函数：设f是D1到D2的函数，如果存在dD1使得f(d)没有定义，则称f为部分函数；全函数：
3、设f是D1到D2的函数，如果对于任意dD1都存在dD2使得f (d)=d，则称f为全函数；,2019/5/26,5,相关概念,自然开拓函数：设fD1 Dn D, 且当(d1,dn)中有一个di是i时，f (d1,dn) = ，则称f为自然开拓函数。 部分函数开拓成全函数的方法： 设有部分函数f D1D2 ； 分别扩充D1 和D2为D1和 D2； 扩充函数f为f ，使得2 ，当d 1 = 1 f (d1) = 2 ，当f(d1)无定义f(d1) ，其他,2019/5/26,6,相关概念,单调函数：设全函数f D1 D2 ，且D1 和D2是半序集。对于任意x, yD1，如果x 1 y 则有f(x)
4、 2 f(y)，那么称f是单调函数.严格函数：设全函数f D1 D2 ，D1 和D2是半序集，且分别有最小元1和2 。如果f满足条件f(1)= 2 ，则称f为严格函数。,2019/5/26,7,相关概念,连续函数：设全函数f D1 D2 ，且D1 和D2是完全半序集 。如果f满足如下条件则称f为连续函数：i f (Xi) = f ( i Xi ),2019/5/26,8,连续函数的应用,描述程序语义时，要求 连续函数(部分函数全函数 连续函数) 域都是完全半序集 解决递归的问题： 最小不动点 连续函数必有最小不动点，而且唯一； 对连续函数有求最小不动点的方法；,2019/5/26,9,2019
5、/5/26,10,一些经常用到的函数,常函数：f D1 D2 满足xD1 都有f (x)=c，其中c是D2中的一个固定常数。恒等函数：f D D 满足xD都有f (x)=x。复合函数：设f D1 D2 ，g D2 D3，则称h是f和g的复合函数，记作gf，其中h D1 D3 ，而且xD1都有h (x)=g (f(x)。,2019/5/26,11,一些经常用到的函数,条件函数(算子)：设bD BOOL，f1, f2DM， 则条件函数cond定义如下：condDM，而且xD都有f1(x) ，如果b(x) = tt；cond (x)= f2(x) ，如果b(x) = ff； ，如果b(x) = ；,
6、2019/5/26,12,一些经常用到的函数,联合函数：设fi DDi(1im)，则联合函数f(简记为f1, fm)定义如下：fDD1 Dm，而且xD都有f(x)=(f1(x), fm(x)。更新函数：设f D1D2，且aD1, bD2, 则更新函数f定义如下：fD1D2, 而且对于任意xD1如果x=a则f(x)=b,否则f(x)=f(x)，更新函数简记为fb/a。,2019/5/26,13,一些经常用到的函数,Curry函数(算子)： 设fD1D2 D， xD1 ， yD2 curryD1D2DD1D2 D curry f x y = f (x, y)， curry f x 是一个D2 D上
7、的函数， xD1 curry f 是一个D1D2 D上的函数,2019/5/26,14,Curry算子的解释,Curry算子，分解定义域，使其升级为高阶函数； 例子 函数f的定义: f(x,y)= x+y 函数f的函数空间:(INTINT INT) Curry : (INTINT INT) (INT INTINT) Curry f x y : f(x,y),Curry f 1 2 = f(1,2) = 1+2 = 3 Curry f x : INT INT, Curry f 1 = f(1,y) = 1+y Curry f : INT INTINT, Curry f = f(x,y) =x+y
8、令 g = Curry f，对于任意xINT, g(x) 的函数空间为 INT INT，g = 1 12, 23, ,2 13, 24, , 即 g(1) = 12, 23, ,.,2019/5/26,15,相关性质,连续函数必是单调函数(反之未必)； 平坦集上的严格函数是单调函数； 常函数是单调函数； 恒等函数是单调函数； 自然开拓函数是单调函数； 单调函数的复合函数还是单调函数； 证明略。,2019/5/26,16,相关性质,平坦集上的严格函数是连续函数； 常函数是连续函数； 恒等函数是连续函数； 自然开拓函数是连续函数； 连续函数的复合函数还是连续函数； 连续函数的联合函数还是连续函数；
9、 连续函数的更新函数还是连续函数； 连续函数的条件函数还是连续函数； Curry算子相关函数还是连续函数；,2019/5/26,17,重要结论,任何集合可以扩展成平坦集； 任何集合可以扩展成完全半序集； 任何集合可以扩展成论域； 定义在平坦集上的严格函数是连续函数； 常用的函数都可以开拓成连续函数； 用连续函数定义的程序语义是有解的（最小不动点；,第二章 函数式抽象描述方法,2.1 论域理论基础(Domain Theory) 2.1.0 集合的基本概念 2.1.1 完全半序集(complete partial order set, CPO) 2.1.2 连续函数(continuous func
10、tions) 2.1.3 最小不动点(least fixed point),2019/5/26,18,2.1.3 最小不动点,相关概念 不动点 最小不动点 最小不动点的性质 最小不动点的例子,2019/5/26,19,2.1.3 最小不动点,问题的提出 递归定义 X= F(X)，包括函数、类型和程序 确定解的方法： 计算规则 过程式程序设计语言采用这种方式； 不同的计算规则得到的未必相同； 最小不动点 确定而且唯一； 存在一个简明的最小不动点计算规则； 存在证明最小不动点性质的强有力的方法；,2019/5/26,20,相关概念,不动点：设fDD，且dD， 如果有f(d) =d，则称d为f的不动
11、点。 最小不动点：设fDD，且 f 有不动点，则称 f 的所有不动点中的最小者为最小不动点，记作f。 说明： 要求函数的定义域和值域相同； 一个函数不一定都有不动点； 一个函数可能有多个不动点，但是不一定有最小不动点；,2019/5/26,21,2019/5/26,22,不动点和最小不动点例子,没有不动点情形： 函数f INT INT, f(x) = x+1； 多个不动点，但没有最小不动点 D = , a, b, 函数g D D, g(x) = (x= a, x)； 不动点：a, b 没有最小不动点：因为a和b之间没有关系；,2019/5/26,23,不动点和最小不动点例子,多个不动点，最小不
12、动点 D = , a, b, 函数g D D, g(x) = x； 不动点：, a, b 最小不动点：,2019/5/26,24,最小不动点的性质,最小不动点的唯一性：设fDD，如果f 有最小不动点，则必唯一。 如果a和b都是最小不动点 a b, b a a=b 最小不动点的存在性：若fDD是连续函数，则f有最小不动点，且有f = fi()，其中fi+1()= f ( fi() ), f0() = 。 连续函数必有最小不动点； 最小不动点的计算方法；,-25-,证明f = fi()的存在性,证明序列fi()是D上的链：函数f的单调性有 f()f() f2()fi() fi+1() 证明 fi(
13、)是f的不动点：函数f的连续性有 f( fi()= f(fi()= fi+1()= fi() 证明 fi()是f的最小不动点:假设d是函数f的任一不动点即f(d)=d函数f的单调性和d不动点性有 f0 () f0 (d)=df1() f1(d)=dfi+1()= f(fi() f(d)=d,2019/5/26,26,最小不动点的计算方法,对于一个连续函数f DD; 是D的最小元； x1= f ( ), x2= f (x1), 直到存在n, xn= f (xn), 最后确定f = xn ，即xn就是最小不动点,2019/5/26,27,最小不动点例子,最小不动点的简单例子 函数 F：DD，D =
14、 pow a，b，c， Fx = x a，b 函数F有两个不动点：a，b和a，b，c Fa，b = a，b a，b = a，b Fa，b，c = a，b a，b，c = a，b，c 最小不动点：a，b D的最小元 D=; F D = a，b = a，b Fa，b = a，b a，b = a，b，收敛 a,b就是最小不动点；,-28-,最小不动点-复杂例子1,设有如下的类型声明：typedef x = INT;typedef y = x;typedef z = y;,该类型声明建立了如下的类型环境： (TEnv : ID TYPE) : x |- INT, y |- (x), z|- (y) 形
15、成一个递归函数： : TEnv TEnv 即有递归方程 () = ,下面求解该函数的最小不动点：() 1.首先求出函数定义域的最小元，即类型环境TEnv的最小元 ， = x T, y T, z T , T是TYPE上的最小元 ； 2. 然后开始迭代： 0 () = = x T, y T, z T = 0 1 ()= ( 0 () ) = (0) = xINT, y T, z T = 1 2 ()= ( 1 () ) = (1) = xINT, yINT, z T = 2 3 ()= ( 2() ) = (2) = xINT, yINT, zINT = 3 4 ()= ( 3() ) = (3)
16、 = 3 3是最小不动点,-29-,最小不动点-复杂例子2,设有如下的类型声明：typedef x = y;typedef y = z;typedef z = INT;,该类型声明建立了如下的类型环境： (TEnv : ID TYPE) : x |- (y), y |- (z), z|- INT 形成一个递归函数： : TEnv TEnv 即有递归方程 () = ,下面求解该函数的最小不动点：() 1.首先求出函数定义域的最小元，即类型环境TEnv的最小元 ， = x T, y T, z T , T是TYPE上的最小元 ； 2. 然后开始迭代： 0 () = = x T, y T, z T =
17、 0 1 ()= ( 0 () ) = (0) = x T, y T, zINT = 1 2 ()= ( 1 () ) = (1) = x T, yINT, zINT = 2 3 ()= ( 2() ) = (2) = xINT, yINT, zINT = 3 4 ()= ( 3() ) = (3) = 3 3是最小不动点,2019/5/26,30,2.1 小结,目的：为语义形式化提供一个理论基础平台； 任何一个集合可以扩展为平坦集； 平坦集一定是完全半序集； 论域表达式定义的是完全半序集； 定义在论域上的常用的函数及其复合都是连续函数； 连续函数必有最小不动点； 后面用到的数据类型都是论域； 后面用到的函数都是连续函数，都有解，即它的最小不动点； 要求： 理解和掌握基本概念及其相关的性质 理解相关概念和性质的应用,知识点链接,2019/5/26,31,完全半序集,形式语义,Scott论域 （类型）,连续函数,最小不动点 （函数的解）,
