1、第3章 一阶动态电路分析,3.1 电容元件与电感元件,3.2 一阶电路的零输入响应,3.3 一阶电路的零状态响应,3.4 一阶电路的全响应,3.5 一阶电路的三要素分析法,3.6 一阶电路的阶跃响应和冲激响应,3-1 电容元件与电感元件,3-1-1 电容元件,一、电容的定义和符号,一个二端元件,如果在任一时刻t,它所存储的电荷 q (t) 与其端电压u (t) 之间的关系可以用u (t)- q (t) 平面上的一条曲线来确定,则称该两端元件为电容元件,线性电容 时变电容非线性电容 非时变电容,电容的分类:,电容符号,线性电容u- q 特性,线性电容存储的电荷q (t)和端电压u(t)有如下关系
2、,C为与电荷、电压无关的常量,表示元件存储电荷的能力,称为电容。,二、电容的单位,电容C的单位为法拉(F),但因法拉这个单位太大,所以通常采用微法(F)或皮法(pF),三、电容的伏安关系,设电容上流过的电流与其两端的电压为关联参考方向,则根据电流的定义有,对线性电容又有,线性电容的伏安关系为,四、电容的特点,1电容能隔直流通交流;电容的阻抗与频率有关。,由电容的伏安关系 可知电容有如下基本性质:,2在有限电容电流的前提下,电容上的电压只能连续变化,不能发生跳变。电容电压的连续性可表示为,在动态电路分析中常用这一结论,并称之为“换路定则”。,3电容是一种有记忆的元件。,根据电容的伏安关系可得:,
3、任一时刻电容上的电压不仅取决于该时刻的电流值,而是取决于从 到所有时刻的电流值,即与电流的全部历史有关,所以电容是一种“有记忆”元件。 称为电容的初始电压,反映 时刻之前电流的全部作用。,五、电容的储能,在电容的电压和电流为关联参考方向下,其吸收的瞬时功率为,由功率的定义,可得在t时刻电容吸收的电能为,因为 ,故有,上式表明,任一时刻电容的储能只与该时刻电容的电压有关,例4-1 图(a)所示电容中电流i的波形如图(b)所示,已知 ,试分别求 时电容上的电压。,解: 由 的波形可写出其数学表达式为,因为,所以,解:因为在 时,电路已达到稳态,所以电容可看作开路。这时其等效电路如图(b)所示。,又
4、根据换路定则,可得,根据图(b)可算出,3-1-2 电感元件,一、电感的定义,一个二端元件,如果在任一时刻穿过电感线圈的磁链 与其流过的电流 的关系可以用 平面上的一条曲线来确定,则称此二端元件为电感 。,电感的符号,非时变线性电感,二、电感的符号和单位,电感的单位:亨利(H),三、电感的伏安关系,对非时变线性电感有,非时变线性电感,L是与 无关的常量,表示元件产生磁链的能力,称为该元件的电感量。,在电感上电压、电流为关联参考方向时,由电磁感应定律可得,四、电感的特点,1.电感具有通直流隔交流的作用,其阻抗也随信号的频率而变化.,2在有限电感电压的前提下,电感上的电流只能连续变化,不能发生跳变
5、。电感电流的连续性可表示为,上式也称为换路定则,在动态电路初始值确定时,该式也是非常重要的依据,3电感也是一种有记忆的元件。,根据电感的伏安关系有,任一时刻电感上的电留不仅取决于该时刻的电压值,而是取决于从 到所有时刻的电压值,即与电压的全部历史有关,所以电感是一种“有记忆”元件。 称为电感的初始电流,反映 时刻之前电压的全部作用。,五、电感的储能,由功率的定义,可得在t时刻电干吸收的电能为,上式表明,任一时刻电感的储能只与该时刻电感的电流有关,例4-3 图(a)所示电路,电感上的电流波形如图(b)所示,求电压 ,电感吸收的功率 ,电感上的储能 ,并绘出它们的波形。,解:根据图(b),写出 的
6、数学表达式:,由电感的伏安关系可得,电感上吸收的功率为,电感上的储能为,例4-4 图(a)所示电路, 时开关K闭合,电路已达到稳态。在 时刻,打开开关K,求初始值 。,解: 时K闭合,电路已达到稳态,此时电容相当于开路,电感相当于短路,故可求得,t=0时,K打开,根据换路定则有,t=0+时的等效电路见图(b),3-2 一阶电路的零输入响应,一阶电路就是包含一个动态元件的电路。分为一阶RC电路和一阶RL电路。所谓零输入响应即是由动态元件的初始态在电路中产生的响应。,3-2-1 一阶RC电路的零输入响应,因为在换路前,电路已达到稳态,所以,换路后,根据KVL可得,因为,所以可得,初始条件为,其特征
7、方程为,特征根为,故得该微分方程的通解为:,系数K可由初始条件确定,电容电压的零输入响应为,称为电路的时间常数,单位为秒(S),由电容的伏安关系可求得电路中流过的电流为,的波形图,从以上的分析,可以得到如下结论:,1一阶RC电路的 和 均是随时间呈指数衰减的。,2 与 随时间衰减的快慢由 决定,与 的关系,0.006US,从上表中可以看出, 时, 已下降为初始值的1.8%,在工程中一般认为此时零输入响应已基本结束。,3-2-2 一阶RL电路的零输入响应,在换路前电路已达到稳态,根据换路定则知:,换路后,根据KVL可得,将电阻、电感的伏安关系代入上式,得,初始条件为,其特征方程为,特征根为,故得
8、该微分方程的通解为:,系数K可由初始条件确定,所以,是一阶RL电路的时间常数,由电感伏安关系可以得到电感上的电压为,一阶电路零输入响应的一般公式,对任何一阶电路,求其零输入响应,关健就是求解其时间常数和初始值,这两个参数一旦被确定,其响应就确定了。,例4-5 如图所示电路,开关K在位置“1”时,电路已达到稳态。当t=0时K由位置“1”切换到位置“2”,试求i(t)和 u(t)。,解:因为K在位置“1”时,电路已达到稳态,所以电感相当于短路,由此可求得电感电流的初始值为,时间常数为,3-3 一阶电路的零状态响应,电路的初始状态为零,仅由外加激励产生响应称为零状态响应。,由KVL可得,将电阻、电容
9、的伏安关系代入上式,得,上式为非齐次微分方程,根据高等数学知识知,其通解由齐次解和特解两部分组成,即,由前面的分析可知,该微分方程对应的齐次解为,其对应的特解是由外激励强制建立的,应与外激励具有相同的函数形式,当激励为直流时,其特解为一常量。,设该特解为 ,代入微分方程中可得,故得,代入初始值,确定系数K,由上式知,电容两端的电压随时间按始指数的规律增长,增长的快慢由时间常数决定,所以,的波形图,电容上的电流可根据电容的伏安关系求得,其波形如图(b)所示,是随时间逐渐衰减的。,对于如图所示的RL电路,同样可求得其零状态响应,根据KCL可得,电感两端的电压为,一阶RL电路与一阶RC电路的零状态响
10、应具有相同的形式,iL(t)与uC(t) 的一般式为,例4-6 在图(a)所示电路中,设开关闭合前电容无初始储能。t=0时,开关K闭合,求 时的 。,解:因为电容无初始储能,所求为零状态响应,有,(1)求稳态值,由换路后的稳态电路(电容相当于开路)知,(2)求时间常数,,R为从电容两端看进去的戴维南等效电阻,于是所求响应为,3-4 一阶电路的全响应,当电路的初始状态与外加激励均不为零时,电路产生的响应称为全响应,根据叠加定理,可将初始状态和外加激励作为两个独立源,则全响应为零输入响应和零状态响应之和,即,全响应=零输入响应+零状态响应,对一阶电路, 全响应的一般公式可表示为,例4-7 如图所示
11、一阶电路,t = 0时开关闭合,已知 ,试求t0时的,解:设零输入响应为uC1,零状态响应为uC2 ,则,3-5 一阶电路的三要素分析法,如前所述,在恒定激励下,一阶电路中的电压和电流都是按指数规律变化的。,并且在同一电路中,各支路电压、电流具有相同的时间常数。,由图(a)可写出f(t)的表达式为,图(a)按指数规律增加,将后一项相乘展开并整理得,所以无论f(t)是按指数规律增加还是减小均可统一用上式表示。,,称为一阶电路的三要素。在分析电路时,只要求出这三个要素,就能直接写出响应的表达式,将这种求解一阶电路响应的方法称为三要素法。,三要素法将一阶RC电路、RL电路、零输入响应、零状态响应,全
12、响应的表达式统一起来,这样就使得一阶电路的分析大为简化,例4-9 电路如图(a)所示,当 时开关K是断开的,电路已处于稳态。当 时开关K闭合,求 时的电流,解:此电路因包含两个动态元件,并非一阶电路,但当开关K闭合后,电路可分解为两个一阶电路,如图(b)、(c)所示。先利用三要素法分别求出两个一阶电路的电流 ,然后用KCL可得 。,在 t 0 时,K是断开的,电路已达到稳态,所以电容相当于开路,电感相当于短路。,由换路定则有,换路后的(0+)等效电路如图(d) 所示。由图可求得,(2) 求时间常数,由图(b)可知,利用三要素公式可得,例4-10 电路如图 (a)所示,N为线性电阻网络,其零状态
13、 响应为 ,如果用L=2H的电感代替电容,如图 (b)所示。试求该情况下的零状态响应。,解:图(a)为一阶RC电路,由其响应可求出电路的三要素为,因为除L、C外,两电路的结构参数完全相同 ,所以,故有:,对RC电路 ,可得,对RL电路,根据三要素法可得RL电路的响应为:,3-6 一阶电路的阶跃与冲激响应,3-6-1 单位阶跃信号,一、单位阶跃信号的定义,二、单位阶跃信号的电路实现,三、单位延迟阶跃信号,四、用单位阶跃信号表示各种脉冲信号,单位阶跃信号(电压或电流)在零状态电路中产生的响应,称为单位阶跃响应。,3-6-2 阶跃响应,阶跃响应实际上是恒定激励下的零状态响应,一般常采用三要素法求解。
14、,例 4-11 电路如图(a)所示,已知 ,求阶跃响应 。,解:(1)求初始值 因为阶跃响应是零状态响应,所以,当电路达到稳态时,L可视为短路,等效电路如图(b),所以,(2)求稳态值,(3)求时间常数,等效电阻R为,时间常数为,故阶跃响应为,或表示为,例4-12 电路如图(a)所示,激励如图(b)所示。已知uC(0-)=2V,求t0时,电路的响应u(t)。,解:该电路的响应为全响应,可将其分为零输入响应和零状态响应,分别进行求解。,1求解零输入响应uZi,因为,时间常数,零输入响应,2求零状态响应uZS,(1)求单位阶跃响应,对应的单位阶跃响应为u0(t),根据三要素法可得,(2)将给定uS
15、 (t)的用阶跃函数表示,(3)根据线性定常电路的性质和叠加定理求uZS,所以根据叠加定理可得:,3求电路的全响应u(t),3-6-3 单位冲激信号,一、单位冲激信号的定义,且,所以冲激强度实际表示的是(t)的图形面积为1。,冲激信号还可以推广为,对于任意一个在 处连续的函数,将有,因此有,有把一个函数在某一瞬间的值抽取出来的特性,这一特性称为单位冲激函数的采样。,单位阶跃函数和单位冲激函数有如下关系:,的上述关系可证明如下:,实际上波形是不能跃变的,所以是上升速率很高的一种波形抽 象化的结果。,同样 也是矩形脉冲在 时的近似,对 求导,结果恰好为是 即,当 时,上式即可表示为,3-6-4 冲
16、激响应,将单位冲激信号在零状态电路中产生的响应称为单位冲激响应。,若将一个单位冲激电流加在初始状态为零的电容C上,则电容电压为:,同理,若将一个单位冲激电压加在初始状态为零的电感L上,则电感电流:,因此,在冲激激励作用下,零状态电路中的电感电流或电容电压均可发生跃变,而使储能元件瞬间获得能量。,在 时, ,电路中的响应相当于由初始值引起的零输入响应。,求一阶电路冲激响应的方法一:,将冲激响应转化为零输入响应求解,例4-13 图(a)所示零状态电路,求其单位冲激响应 。,解:因为 ,所以在冲激电流源作用期间,电容元件可视为短路,所以 ,则有,当 时, ,可视为开路,此时电路的响应可按零输入响应求得,即,电路的时间常数,例4-14如图所示电路,已知 试求冲激响应。,则所求冲激响应为,求一阶电路冲激响应的方法二:,利用阶跃响应和冲激响应的关系来求解,在线性电路中,若,若电路的阶跃响应为 ,冲激响应为 ,则因为,故必有,所以可以先求出电路的阶跃响应,再对其求导即可得其冲激响应。,例4-15 图(a)所示电路,求零状态响应 。,解:(1)首先利用图(b)求得单位阶跃响应,根据三要素法得,根据冲激响应与阶跃响应的关系有,最后利用线性电路的齐次性可求得,