1、（二十九）包含与排除（上）奥赛天天练第二十一讲包含与排除。包含与排除问题也叫重叠问题，从三年级奥数课堂开始由浅入深逐步学习，此类问题说明及容斥原理具体内容，请查阅：三年级奥数解析（三十九）重叠问题与容斥原理四年级奥数解析（二十九）容斥原理这一讲将在三、四年级学习的基础上，进一步学习运用容斥原理二解答稍复杂的包含与排除问题。【容斥原理二】如果被计数的事物有 A、B、C 三类，则：三类元素总个数= A 类元素个数+B 类元素个数+C 类元素个数既是 A 类又是 B 类的元素个数既是 A 类又是 C 类的元素个数既是 B 类又是 C 类的元素个数+既是 A 类又是B 类又是 C 类的元素个数。【原理
2、证明】如下图，三个圆片两两重叠，用红色圆片面积表示 A 类事物元素个数、黄色圆片面积表示 B 类事物元素个数、蓝色圆片面积表示 C 类事物元素个数，三个圆片覆盖的总面积就表示三类元素的总个数：A、B、C 三个圆片共同重叠的正中间的一块，覆盖了三层圆片，重叠了 2 次；剩下的重叠部分都覆盖了两层圆片，重叠了 1 次。三个圆片覆盖的总面积就等于三个圆片的面积之和减去重叠部分的面积，重叠 1 次的减去重叠面积，重叠 2 次的减去重叠面积的 2 倍。但用三个圆片的总面积依次减去 AB 的重叠部分、AC 的重叠部分和 BC 的重叠部分，重叠 1 次的面积正好减去了，可三个圆片共同重叠的部分既属于 AB
3、的重叠部分，也属于AC 的重叠部分，同时属于 BC 的重叠部分。这一块儿面积重叠 2 次，却减去了 3 次，多减了 1 次，要补上去。所以：三类元素总个数= A 类元素个数+B 类元素个数+C 类元素个数既是 A 类又是 B 类的元素个数既是 A 类又是 C 类的元素个数既是 B 类又是 C 类的元素个数+既是 A 类又是B 类又是 C 类的元素个数。奥赛天天练第 21 讲，模仿训练，练习 1【题目】：在参加数学竞赛的 46 人中，做对第二题的有 32 人，做对第 4 题的有 24 人，两道题都做对的有 20 人，两道题都没有做对的有几人？【解析】：如下图：用做对第 2 题与做对第 4 题的人
4、数和，减去两题都做对的人数（重叠部分），求出的就是这两题中至少做对了一题的人数：32+24-20=36（人）。所以这两道题都没有做对的人数为：4636=10（人）。奥赛天天练第 21 讲，模仿训练，练习 2【题目】：某校参加数学竞赛的有 120 名男生、80 名女生，参加语文竞赛的有 120 名女生、80名男生，该校总共有 260 名学生参加竞赛，其中 75 名男生两科都参加了，那么只参加数学竞赛而没有参加语文竞赛的女生有多少人？【解析】：先求出既参加了语文竞赛又参加了数学竞赛的男女生总人数：（12080）2260140（人）。所以既参加了语文竞赛又参加了数学竞赛的女生人数为：14075=65
5、（人）。即参加数学竞赛的女生中有 65 人同时参加了语文竞赛，则只参加数学竞赛而没有参加语文竞赛的女生有：806515（人）。（三十）包含与排除（下）奥赛天天练第 21 讲，巩固训练，习题 1【题目】：如图，在桌面上放置着三个两两重叠的圆纸片，它们的面积都是 50 平方厘米，三个圆片共同重叠的面积是 12 平方厘米，三个圆片盖住桌面的总面积是 92 平方厘米。问图中阴影部分面积是多少平方厘米？【解析】：三个圆片两两重叠，中间三个圆片共同重叠的部分重叠了 2 次；阴影部分只有两个圆片叠放，这部分重叠了 1 次。先求出重叠的总面积为：5039258（平方厘米）。再用重叠的总面积减去中间重叠了两次的
6、面积，剩下的就是阴影部分面积：5812234（平方厘米）。奥赛天天练第 21 讲，巩固训练，习题 2【题目】： 如图，小飞骑自行车去游玩 A，B，C 三个景点，他如果从 A 地出发，经过 B 地到 C 地，共行 10 千米；如果从 B 地出发，经 C 地到达 A 地，共行 13 千米；如果从 C 地出发，经A 地到达 B 地，共行 11 千米，问哪两个景点之间的距离最短？最短的距离是多少千米？【解析】：由题意可知：ABBC10 千米；BCAC13 千米；ACAB11 千米；这三条路线的长度之和就等于图中三角形三边和的 2 倍。所以：ABBCAC（101311）217（千米）根据三边总和和两边之
7、和，可以求出第三边，三边总和是一定的，根据题目给出的条件，可知 A、B 两个景点之间的距离最短，最短距离是：17134（厘米）。奥赛天天练第 21 讲，拓展提高，习题 1【题目】：某单位有 64 人订 A,B,C 三种杂志，订 A 种杂志的有 28 人，订 B 种杂志的有 41 人，订 C 种杂志的有 20 人，订 A,B 两种杂志的有 10 人，订 B,C 两种杂志的有 12 人，订 A,C两种杂志的有 12 人，问三种杂志都订的有多少人？【解析】：假设三种杂志都订的有 x 人，根据容斥原理二，可得：6428+41+20-10-12-12+x解得：x9所以，三种杂志都订的有 9 人。奥赛天天
8、练第 21 讲，拓展提高，习题 2【题目】：体育课上，50 名学生面向老师站成一行，按老师的口令从左到右报数 1，2，3，50，报完后老师让所有报数是 4 的倍数的同学向后转，接着又让报数是 6 的倍数的同学向后转，问现在仍然面向老师的有多少同学？【解析】：报数是 4 的倍数的同学有：50412（人）2报数是 6 的倍数的同学有：5068（人）212 既是 4 的倍数，也是 6 的倍数，所有 12 的倍数都是 4 的倍数，也是 6 的倍数。所以这 50 名同学中报数即使 4 的倍数，又是 6 的倍数的同学有：50124（人）2向后转的同学总人数就是报数是 4 的同学人数与报数是 6 的同学人数
9、之和减去重复计算的既是 4 的倍数又是 6 的倍数的同学人数：128416（人）。所以，现在仍然面向老师的同学有：5016=34（人）。四年级奥数解析（二十九）容斥原理奥赛天天练第 26 讲容斥原理。日常生活或数学问题中，在把一些数据按照某个标准分类时，常常出现其中的一部分数据同时属于两种或两种以上不同的类别，这样在计算总数时就会出现重复计算的情况，这类问题就叫做重叠问题，容斥原理就是重叠问题的解题原理，也叫包含与排除原理。在三年级奥数课堂已经初步学习了运用容斥原理（一）解决简单的重叠问题，相关知识点请查阅：user3/4092/archives/2009/65608.shtml本讲在三年级学
10、习的重叠问题的基础上，进一步学习运用容斥原理（一）解决稍复杂一点的重叠问题。解答问题的关键是，画出示意图，认真分析已知条件，找出哪些是重复的，重复了几次？题目要求的又是哪一部分？借助示意图进行思考，找到正确的解答方法。奥赛天天练第 26 讲，模仿训练，练习 1【题目】：两个边长分别为 5 厘米，3 厘米的正方形重叠在一起，重叠部分的面积为 1 平方厘米。求这个图所能覆盖的面积。【解析】：先求出两个正方形的面积，分别是：55=25（平方厘米）；33=9（平方厘米）。根据容斥原理一，可得所求覆盖面积为：25+9-1=33（平方厘米）。奥赛天天练第 26 讲，巩固训练，习题 1【题目】：在一次校运动
11、会上，甲班参加田赛的有 15 人，参加径赛的有 12 人，既参加田赛又参加径赛的 7 人，没有参加比赛的有 21 人，那么这个班有多少人？【解析】：先画出参赛情况示意图，如下图：用长方形的面积表示全班人数；字母 A 所在的椭圆表示参加田赛的人数 15 人；字母 B 所在的椭圆表示参加径赛的人数 12 人；字母 C 所在区域即两个椭圆的重叠部分表示既参加田赛又参加径赛的人数 7 人；字母 D 所在的空白部分表示没有参加比赛的人数 21 人。根据容斥原理一，可求出参赛总人数为：15+12-7=20（人）。全班人数即参赛人数与没有参加比赛的人数之和：20+21=41（人）。奥赛天天练第 26 讲，巩
12、固训练，习题 2【题目】：有 50 个学生，他们穿的裤子是白色的或黑色的，上衣是蓝色的或红色的。若有 14 人穿的是蓝色上衣白裤子，31 人穿黑裤子，18 人穿红上衣，那么穿红上衣黑裤子的学生有多少人？【解析】：根据题意，如果有人既没穿红上衣，又没穿黑裤子，就一定是穿了蓝上衣白裤子，即穿蓝上衣白裤子的人数就是既没穿红上衣又没穿黑裤子的学生总数。所以穿黑裤子或红上衣或两样都穿的学生总数为：50-14=36（人）。其中有 31 人穿了黑裤子，有 18 人穿了红上衣，那么穿红上衣黑裤子的学生就是前面两类学生的重叠部分，人数为：31+18-36=13（人）。奥赛天天练26 讲，拓展提高，习题 1【题目
13、】：在 1 到 100 的全部自然数中，既不是 6 的倍数又不是 5 的倍数的数有多少个？【解析】：1005=20；1006=164；100（56）=10030=3101 到 100 的全部自然数中，5 的倍数有 20 个，6 的倍数有 16 个，有 3 个数既是 5 的倍数又是 6 的倍数（既是 5 的倍数又是 6 的倍数的数最小是 30，则所有 30 的倍数也就是既是 5 的倍数又是 6 的倍数的数）。则 1 到 100 的全部自然数中，是 6 的倍数和 5 的倍数的数总共有：20+16-3=33（个）。所以既不是 6 的倍数又不是 5 的倍数的数有：100-33=67（个）。奥赛天天练第
14、 26 讲，拓展提高，习题 2【题目】：一批外国旅游者，会说英语的有 88 人，会说法语的有 60 人，其中两种语言都能说的有 40 人，还有 16 人这两种语言都听不懂。这批旅游者一共有多少人？【解析】：这道题与前面的“巩固训练，习题 1”相似，可以画出与上题相似的示意图，先求出会说英语、法语的这两类人的总数：88+60-40=108（人）。把前两类人的总数加上两种语言都不会说的人数，求出这批旅游者的总人数为：108+16=124（人）。三年级奥数解析（三十九）重叠问题与容斥原理奥赛天天练第 45 讲重叠问题。日常生活或数学问题中，在把一些数据按照某个标准分类时，常常出现其中的一部分数据同时
15、属于两种或两种以上不同的类别，这样在计算总数时就会出现重复计算的情况，这类问题就叫做重叠问题，解答重叠问题常用方法是：先不考虑重叠的情况，把有重复包含的几个计数部分加起来，再从它们的和中排除重复部分元素的个数，使得计算的结果既无遗漏又不重复。这个原理叫做包含与排除原理，也叫容斥原理。容斥原理包含以下两条基本计算公式：容斥原理一，如果被计数的对象，被分为 A、B 两大类，则：被计数对象的总个数=A 类元素个数+B 类元素个数同时属于 A 类和 B 类的元素个数。容斥原理二，如果被计数的对象，被分为 A、B、C 三大类，则：被计数对象的总个数=A 类元素+B 类元素个数+C 类元素个数同时属于 A
16、 类和 B 类的元素个数同时属于 A 类和 C 类的元素个数同时属于 B 类和 C 类的元素个数+同时属于A、B、C 三类的元素个数。这条原理比较复杂，等到高年级再向孩子介绍。本讲学习简单的重叠问题，只需孩子理解容斥原理一就可以了。运用容斥原理解答重叠问题应用题的关键是，画出示意图，认真分析已知条件，找出哪些是重复的，重复了几次？题目要求的又是哪一部分？借助示意图进行思考，找到正确的解答方法。奥赛天天练第 45 讲，巩固训练，习题 1【题目】：三（1）班有 48 人，其中订少年报的有 32 人，订数学报的有 38 人，有 25人两份报都订，那么：（1）只订少年报而没有订数学报的有多少人？（2）
17、只订数学报而没有订少年报的有多少人？（3）有多少人两种报都没订？【解析】：先画出订报情况示意图，如下图：用长方形的面积表示全班人数；字母 A 所在的椭圆表示订少年报的人数 32 人；字母 B 所在的椭圆表示订数学报的人数 38 人；字母C 所在区域即两个椭圆的重叠部分表示同时订了两份报的人数 25 人；字母 D 所在的空白部分表示两种报都没有的订的人数。（1）用订少年报的总人数 A，减去重叠部分 C,剩下来的就是只订少年报而没有订数学报的人数：32-25=7（人）；（2）同理,(B-C)就是只订数学报而没有订少年报的人数：38-25=13（人）；（3）先求出订报的总人数，即图中所有阴影部分表示
18、的人数，再用班级总人数减去订报总人数，即是两种报都没订的人数 D。这题有两种解法。解法一：在（1）、（2）两小题中已求出只订少年报的人数 7 人、只订数学报的人数 13 人，即图中纯黑色阴影部分和纯红色阴影表示的人数，中间重叠部分为 25 人，所以订报总人数为：7+25+13=45（人）。所以，两种报都没有订的人数为：48-45=3（人）。解法二：不考虑重叠部分，订数学报和少年报的总人数为：32+38=70（人）。有 25 人两份报都订了，这些人既包含在 32 人之中，又包含在 38 人之中，我们在求和时，这 25 人就加了两遍，重复计算了一遍，要去掉多算的一遍。因此，订报总人数为：70-25
19、=45（人）。两种报都没有订的人数就是：48-45=3（人）。奥赛天天练第 45 讲，巩固训练，习题 2【题目】：一次老师给全班同学做两道智力趣题，结果全班 10 人两题都对，8 人两题都错，第二道题有 15 人错，问第一道对而第二道错的同学有多少人？【解析】：解答这题要抓住题中的有效条件，避免受无效条件的干扰。因为第二道题有 15 人错，全班只有 8 人两题都错，而两题都错的人第二道题肯定错了，所以两题都错的 8 个人包含在前面 15 人之中，从 15 人里去掉这 8 个人还剩：15-8=7（人）。去掉两题都错的 8 人，剩下的 7 人肯定只错了一道题，他们第二道题错了，第一道题肯定是对的，
20、所以第一道对而第二道错的同学有 7 人。奥赛天天练第 45 讲，拓展提高，习题 2【题目】：100 位旅游者中，70 人懂中文，52 人懂英语，还有 10 人两种语言都不懂。（1）懂中文和英语的一共有多少人？（2）既懂英语又懂中文的有多少人？（3）只懂中文不懂英语的有多少人？（4）只懂英文不懂中文的有多少人？ 【解析】：（1）100 名旅游者中，有 10 人两种语言都不懂，所以懂中文和英语的人一共有：100-10=90（人）。（2）70 人懂中文，52 人懂英语，不考虑重叠情况（即既懂英语又懂中文人数），懂两种语言的共有：70+52=122（人）。在第（1）小题已经求出懂两种语言的总人数为 90人，所以被重复计算的既懂英语又懂中文的人数为：122-90=32（人）。（3）在第（2）小题已经求出既懂英语又懂中文的人数为 32 人，而懂中文的总人数为 70 人，这 32 人是包含在这 70 人当中的。从懂中文的总人数中排除既懂英语又懂中文的人数，剩下的就是只懂中文不懂英语的人数：70-32=38（人）。（4）与第（3）小题同理，从懂英文的 52 人中排除既懂英语又懂中文的 32 人，剩下的就是只懂英文不懂中文的人数：52-32=20（人）。
