1、第九章 正弦稳态电路的分析正弦稳态电路的分析应用相量法。通过引入相量法，建立了阻抗和导纳的概念，给出了 KCL，KVL 和欧姆定律的相量形式，由于它们与直流电路的分析中所用的同一公式在形式上完全相同，因此能够把分析直流电路的方法，原理，定律，例如，网孔法（回路法） ，结点法，叠加定理，戴维宁定理，等效电源原理等等直接应用于分析正弦电路的相量模型，其区别仅在于：（1）不直接引用电压电流的瞬时表达式来表征各种关系，而是用对应的向量形式来表征各种关系；（2）相应的运算不是代数运算，而是复数的运算，因而运算比直流复杂。但根据复数运算的特点，可画出向量图，利用向量图的几何关系来帮助分析和简化计算，从而扩
2、大了求解问题的思路和方法。 （3）引入了一些新的概念，如平均功率，无功功率，视在功率，复功率，最大功率传输，谐振等。认识以上区别，对正弦稳态电路的分析是有益的。9-1 试求图示各电路的输入阻抗 Z 和导纳 Y。解：（a）Z=1+12j=1+ j= j2Y= Z= j= 5= 4.0.jS(b) Z= )1(jj= jj2)(Y=SjZ.04.52（c） Y=11CRjjCjRI SZ=CRjjRY1311 题 9-1 图dSjjjjY 025.41040410 1Ze 设端口电压相量为 U，根据 KVL，得IrLjIrj所以输入阻抗为rjIZ导纳 SlrLjjZY21f设端口电压，电流相量为
3、U， I，根据 KCL，得221II且有 CjU所以输入阻抗 11CjjIUZ导纳 SjY注：本题的求解过程说明，引入阻抗和导纳的概念以后，正弦电路的输入阻抗（或导纳）的定义与计算和直流电路输入电阻（或电导）的定义与计算是相似的。即输入阻抗YIUZ1若有 n 个阻抗串联，等效阻抗nkknkjXRZ11若有 n 个导纳并联，等效导纳为 nkknkKjBGY11只不过和是复数。 已知图示电路中Vtu40sin5，Ati60cos。试求电路中合适的元件值（等效） 。解：把 u 用余弦函数表示有Vt410cos5u 和 I 的相量形式为VU4520, AI3024根据入端导纳的定义，有SjIY 73.
4、0.75842/503既图示的两并联元件为电导和电容，其参数为SG7.FC73.01.3注：以上计算表明，导纳的模等于电流 I与电压 U的模值之比，导纳角等于电流 I与电压 U的相位差，若导纳角 y，表示电流 I超前电压 U，导纳为电容性，反之为电感性。9-3 附图中 N 为不含独立源的一端口，端口电压 u，电流 I 分别如下列各式所示。试求没一种情况下的输入阻抗 Z 和导纳 Y，并给出等效电路图（包括元件的参数值） 。（1） AtiVu)314cos(02；（2） ti)9(5；（3） AtiVu)302cos(561；（4） ti)21sn(87。解：（1） u 和 i 的相量为VU02A
5、I021根据输入阻抗的定义有 IUZSY05.21即等效电路为 20的电阻，如题解图（ a）所示。（2） u 和 i 的相量为VU45210AI902则输入阻抗 536135jIZSjZY 14.0.1352.0135等效电路可视为一负电阻和电感的串联，电感 L 为HL6.10.6.负电阻可以用一受控源实验，如题解图（b）所示。受控电压源的控制系数 536.。（3） u 和 i 的相量为UV6021AI3025则输入阻抗 IUZ)(610jSjjY5.2既等效电路为一电感，如题解图（c）所示，电感值 L 为HL10（4） u 和 i 的相量为VU724AI028则输入阻抗 IZ= 46.17.
6、1580jSjY058.9.2.71既等效电路为一个 4.78的电阻和一电感串联，电感值 L 为mHL6.140.46.电路如题解图（d）所示。也可以用一个 0.191S 的电导和一电感并联等效，如题解图（e）所示。电感值为L17.058.1058. 9-4 求附图（a） ， （b）中的电压.U，并画出电路的相量图。解：（a）电路的总导纳为SjY2.05151故电压 VIU.2（b）根据 KVL 可得 Vjj102)50(图（a）和（b）对应的相量图如题解 9-4 图（a）和（b）所示。9-5 已知图示电路中 ,02AI求电压 SU，并作电路的相量图。解：电路的总阻抗为24534jjZ所以电压
7、 VIUs 56.294.8)(02各元件的电压为 VR4jjL6023UC15相量图如题解 9-5 图所示。9-6 附图电路中，,20,12VAIs求电流 I和电压 SU，并画出电路的相量图。解：设 2I为参考相量，既 2I0，则 ab 两端的电压相量为VjjjUab 101电流 AI1Aj452102由 KVL，得10jjXUIjLabLs = LLX)(10)1(0因为 SU.的有效值为 2，所以有恒等式221010LLX既 42LX从中解得 211L故 SU.相量为 10450. jjUIjXabLs Vj452105相量图如题解 9-6 图所示。9-7 附图中已知 us=200 2c
8、os3/14tV ，电流表的读数为 2A，电压表 V1，V 2的读数均为 200V。求参数 R，L，C，并做出该电路的相量图（提示：可先做相量图辅助计算） 。解法一：利用相量图求解。因为电压 su， 1V， 2的有效值均为 200V，因此，构成的电压三角形为等边三角形 ABC 如题解图所示。由题意知电压 SU.相量为三角形的 AB 边，若2V相量为 CA 边，则根据电容元件的电压，电流关系得电流.I相量超前 2V90，那么.I与 SU.的相位差为 150，电源发出的功率 P= 150cos为负值。这是不合理的，由此可得 2.V相量应该是三角形的 BC 边，.相量为 CA 边，电流.I相量超前
9、3.s，如题解 9-7 图所示。各相量为SU.=2 60 1.V=200 202.V=200 .I=2 A9故根据欧姆定律的相量形式，有1020 jjIjXcFCc 85.3143019021IVjXRL即 6.83cos0HL15.4in1解法二：根据电压电流有效值关系，可得02IVCXcF85.314101021IVjXRZLZ 的阻抗角为 1.和.相量间的相位差，为简便计算，设.I=2 A0， 1.V=V20， SU.= s， 2.= Vj0由 KVL 得 s= 120j即 cosini1把以上两式平方后相加，解得2si1 301故有 56.8031 jIVZ所以 6.8R HL159.
10、0345显然本题用相量图解既直观又简便。9-8 附图中 mAtiscos214，调节电容，使电压.U= ，电流表 1A的读数为 50mA。求电流表 的读数。解法一：根据相量图计算。设 0，则各电压，电流相量为 AIs014.， VU0.1.I为电感性支路的电流， 2.为电容性支路的电流，所以， 1.I滞后.一角度 1， 2.I超前.U90。画相量图如题解 9-8 图所示。 1.I，.， sI.构成一直角三角形。故电流表 2A的读数为ms48502212 解法二：设 0，应用相量法。由 KCL，可得方程14 21jI即 cos504in21jIj解得 74.350arcs由于支路 1 为电感性支
11、路，电流滞后于电压，所以应取 74.31因此 0sin502I表 2A的读数 mAI48.i29-9 附图中 1jZ， ,1jZ如果要使 2.I和 SU.的相位差为90（正交） ， 应等于多少？如果把图中 CCCS 换成可变电容 C，求 。解：由 KCL，可得 2.21III由 KVL，可得2.12121. IZIZIZUs 即 054021.2. jIs由于 sU.和 2.I相位相差 90，因此，sIU的比值应是一纯虚数，其实部为零，即041此时 sU.与 2.I的比值为 .2.jIUs如把 CCCS 换成可变电容如题解 9-9 图所示，由 KVL，可得cICjIZ.2.1即 2C由 KCL
12、，可得 2.2.2. 1ICZjIZjIIc ，由 KVL，有2.12122121. IjICjZIUs 所以有 2121.2. ZCjZIUsjjj 403460541314若 sU.和 2.I相位相差 9，上式中实部为零，即004C从中解得 S24137.9-10 已知附图电路中 62jZ，各交流电表的读数分别为 V：100V；V17:； 240:。求阻抗 1。解法一：根据相量图求解。 1Z， 2是串联，故设电流为参考相量。即AI0.。 2Z为感抗，其电压超前电流 90.I为 V9024.。根据1V和 可知， 1应是电容性的，即 CjXRZ1， 17.，且。画相量图如题解 9-10 图所示
13、。根据余弦定理，有cos2121V解得 240712cos21=0.93658.0936.ar由相量图可知 所以有 VV41.71由于电流相量为 AjZVI0462则阻抗 2.3.15047.91.1 jIZ解法二：设电流.为参考向量。各相量为 AZVI 04622.11.7Vj2.V0.根据 KVL，可得 j2401712.1 即 sinsi0co1把以上两式等号两边平方再相加，得 122 si74017所以 936.072401sin28.691即 VV1. 02.43.50471 jIZ解法三：设电流A622. 为参考相量。阻抗 jXRZ1，由 KVL 得 VIjXRIZ11.1 7Ij
14、06.2.令等式两边模相等，有2222241067XR联立求解以上两式，解得02.6021/1723.15.442XR即 0.3.151jjZ9-11 已知附图电路中， Vtu2cos2， 10R， FC21，FC802，L=1H。求电路中各电流表的读数和电路的输入阻抗，画出电路的相量图。解：首先计算 LX和 C。201250165018250162CXL则 LC 串联支路的总阻抗 Z 为052021 jXjCL这条支路相当于短路，所以可得电流表的读数为ARUA21012各相量为VjjXIUjjIAVULLCC 105207420111 2211相量图如题解 9-11 图所示。需要注意，LC
15、串联电路的总电压为零，即发生了串联谐振，但各元件上的电压不为零，甚至可大于输入电压。9-12 已知附图电路中 U=8V， 5.01jZ， jZ1， 132jZ。求各支路电流和电路输入导纳，画出电路的相量图。解： 1Z， 2并联的等效阻抗 12为5.014321 jjj输入阻抗为 212jjZin故电路的输入导纳 SYini 5.0设电压 VU08.为参考相量，则总电流相量AZUIin0428利用分流计算 1.和 2.，即AjZIIj452313.18021.2.21相量图如题解 9-12 图所示。9-13 已知附图电路中，U=100V， VUC310， 310CX，阻抗 xZ的阻抗角 60x。
16、求 xZ和电路的输入阻抗。解：设电流.I为参考相量且有AXC01310.根据 VU10，可知 xZ应为电感性阻抗，即 60x解法一：电路的输入阻抗为 10IZin又因为 60sinco3jZjZjXxxCin令等式两边实部和虚部分别相等，有60sin310sincoxxZ两式平方相加，得 4210xxZ即 03210328030xZ所以 5612jX电路的输入阻抗为10623011jZjxcin3522 jXi解法二：根据相量图计算。因为 VZIUjAIxxC60310相量图如题解 9-13 图所示，根据余弦定理，有 3cos22XCXCU即 03030cos112xx xxU所以有 IZxx
17、2V即 35061012jZX9-14 附图电路中，当 S 闭合时，各表的读数如下：V 为 220V，A 为 10A，W 为1000W；当 S 打开时，各表读数依次为 220V，12A 和 1600W。求阻抗 Z1和 Z 2，设 Z1为感性。解法一：由题意知，当开关闭合时电路的有功功率P=1000W视在功率 AVUIS201无功功率 var6.19522 PQ根据功率和阻抗的关系可知596.10.22IXR故阻抗 2Z为 .jZ当开关 S 打开，根据WP160 AVUIS26401var95.602422 SQ可得电路的总电阻为1.91260IR总电抗为 58.4.X根据总阻抗 96.1012
18、1jZjZ可得 321j由于 1Z为感性，其 0X，则 只能取 5，因此有96.1058.4.1 jj即 2736或 4.8.1jZ解法二：开关闭合时，由 cosUIP得 1502964.15arcos为 U 和 I 的相位差，也是阻抗 2Z的阻抗角，故 596.10964.1022 jZ当开关 S 打开后，有 695.20.arcos1UIp即总阻抗为 58.1412jIZ则 1 结果同上。解法三：开关闭合时。由 1022IPRUZ可得 596.10222RX即 596.102jZ开关打开后，电流增大，说明 1Z和 2性质相反，即 2Z为容性阻抗，有596.102jZ。由于总阻抗 3.820
19、IUZ总电阻1.62IPR所以总电抗为58.14.3.18222RZX即 215.4.j本题给出了交流参数测定的实验方法。注：本题的求解说明，交流电路中的平均功率 P，无功功率 Q，视在功率 S 和电路的电压 U，电流 I，阻抗 Z 是相互联系的，满足关系式22sincoXRIZQPSIIQPz熟练掌握这些关系式，对同一道题，可以有多种解答途径。9-15 已知附图电路中，5.0,1,0,/50,121 FCRsradAIs。求各支路电流并做出电路的相量图。解法一：设各支路电流如图所示。令 AIs01.为参考相量，容抗为25016CX根据 KCL，有 AIIs2.1由 KVL，得 0.2.1.
20、CUIR即 0215.0j联立求解以上两方程，得AjI45252.1.相量图如题解 9-15 图所示。解法二：应用结点法计算，对结点列方程 scsc IjXRIUR1.1.1.21 解得 VjjRIXjUsc 452052.05.121.所以电流为AjjjIC 51025.11 AjRUI529-16 已知附图电路中， ,1,20,1,021 HLRHL电压,/,102IsradVs求其它各支路电流。解：首先计算感抗，有 10,10221 LXLX令 ,02AUs由 2I，知 a，b 两点等电位，故有 VjIjXUARLLs 451010112AjXUIL4519023根据 043I，得 I4
21、513注：本题中 2L和 C的并联支路实际发生了并联谐振，即 CjLj12，入端阻抗jjZbo12 ，因此， 02I，可以看作断路。但 3I和 4不为零，他们的模值相同，相位相差 8。 L和 C构成的回路中呈现电磁振荡。9-17 如果图示电路中 R 改变时电流 I 保持不变，L，C 应满足什么条件？解法一：列方程求解。输入导纳为 jCjY1电流 I为 LjRU的有效值为 YI，即要使 I不随 变，则 Y不随 R变，而LjRCjLjRCjY11显然当L1时，即 21时，有 Y与 无关。解法二：通过取 R的两个特殊值求解。取 R（开路）由图知，此时CUI取 0R（短路） ，由图可得 LCUI1因为
22、 I不变。则有等式LC1得 2解法三：根据相量图计算。选电压 U做参考相量，则电流 CI超前 90， LI滞后U，当 R从 0变化， LI的末端沿半圆弧 AmB移动，根据 ，且I不变，可知 I的末端轨迹为 CnD半圆弧。相量图如题解 9-17 图所示，由线段CBDA可得 02RIL即 21LCjUj9-18 求附图电路电阻 2R的端电压 U。解： U为开路电压， 中无电流流过，由 KVL 知sg1所以 R1根据欧姆定律，可得 UgRUgs1229-19 图示电路中，已知 FCkRmAIs 1,60。如果电流源的角频率可变，那么在什么频率时，流经最右端电容 的电流 I为最大？求此电流。解： RC
23、并联支路的导纳为 CjY1串联支路的阻抗为jRZ应用分流公式流经最右端电容 C的电流为YZIISSC1要使 cI有效值最大，需使 的模值最小，而 CRjCjRj 111显然当 0C即 sradR/11363Hzf15.9203时， YZ1最小，此时有mAIIsC063max9-20 已知附图电路中的电压源为正弦量， 53,1,0jZkRHL。试求：（1）当 0I时， C 值为多少？（2）当条件（1）满足时，试证明输入阻抗为 R。解（1）：图为电桥电路，当 0I时电桥处于平衡状态。满足 CLjR12所以电容 C值为pFL10109232（2）当 0I时，把 Z断开，输入阻抗为 CLjRLjRCj
24、Zin 12/10200把20RCL代入上式中有0012RCLjZin 9-21 在附图电路中，已知 ,20,5.6,102VU当调节触点 c使4acR时，电压表的读数最小，其值为 30V。求阻抗 Z。解法一：列方程求解。由 KVL 得 URZUacacdc 2设 01，则上式改变 ac时，只改变 cd的实部，虚部不变，因此，当 cdU的实部为零时， cd为最小，即205.601245.630 ZZj从中解得15.3.30jjj 解法二：应用相量图来分析。设 VU1。 ac和 bU与 同相位（电阻支路） 。设 ZjXR当 Z 为感性，其上电流落后 一角度，电压三角形为ABO；当 Z 为容性，其
25、上电流超前 一角度，电压三角形为 ADO 如题解图所示。根据给定的条件（设 Z 为容性） ，可以推断 d 位于 AD 线段上某一点，而 c 点可在 AO 线段上滑动。要求 cdU最小，即要求 c线段最短，故 cd应垂直于 AO。根据题解 9-21 图示几何关系，可得 Z 上的电压VUZ10738302Z 中流过的电流 ARUIZ 5.6103.222 所以403.15.637.1037ZIU阻抗角86.72arctn8rtZI考虑到感性容性两种情况，有15.36.7403.15j9-22 附图电路是阻容移相装置。（1） 如果要求图（a）中 CU滞后电压 S的角度为 3/，参数 R，C 应如何选
26、择？（2） 如果要求（b）图中的 C滞后 S的角度为 ，即反相，R，C 应如何选择？（3）如果图（b）中 R 和 C 的位置互换，又如何选择 R，C？解（1）：方法一：应用分压关系有RCjUjCjRUSSC1由题意知 3tan即 3方法二：应用相量图分析。设 I为参考相量，画相量图如题解 9-22 图所示。由图可得 CRIUCR13tan所以参数 R，C 满足关系 解（2）：设各支路电流参考方向如图（b）所示，应用倒退法求解。设 VUC01，则 CCYjI5 152RRnZUICCI24RYI53 13122231 CRCRCnn YZYZZRCYUI32 CI4221 16531 RCRnR
27、S YZZ把 CjYRZ,代入上式，有3223 65165 CRjCRjjUS 若上式中的虚部为零，实部为负值，则 SU超前 80，故03CR解得 60RC当 0RC，有 1SU不合题意，舍去；当 ,6有 29满足题中要求。所以参数 R，C 应满足 解（3）采用上述方法，此时把 RYCjZR1,代入 SU表示式中，有61512223RCjCRjjUS令虚部为零，解得 舍去，当 61时， 29SU，满足题中要求。9-23 列出下列电路的回路电流方程和结点电压方程。已知 AtiVtuSS 30cos41.,2cos14.。解：首先计算感抗和电容，画出电路的相量模型如题解 9-23 图（a） ， （b）和（c）所示。在图中设定回路电流绕行方向和结点编号。列方程如下：（a）回路电流方程
