1、1第十一章 初 级 色 差11-1 消像差谱线选择光学材料具有色散性质，对不同色光有不同的折射率和不同的透过率。因此光学系统对不同色光有不同的像差值。任何光学系统都不能同时对所有色光校正好像差。因此在光学设计时，必须考虑对那些谱线校正单色像差和校正色差的问题。一般来说，消像差谱线的选择主要取决于光学系统接收器的光谱特性、光学材料的光谱透过率范围、照明光源的发射光谱范围。应对最灵敏的谱线消单色像差。对接收器所能接受的波段范围两边缘附近的谱线校正色差。为使整个系统有高的效率，接受器、光学系统和光源应匹配好，即光源辐射的波段范围和峰值与光学系统透过的波段及最优谱线，以及接受器所能接收的波段范围和最灵
2、敏谱线互相一致。在实际计算中，消像差谱线原则上应选取与夫郎和费谱线相近的波长，可以直接从玻璃目录中查取相应的折射率。而现代光学设计程序直接用色散方程求解折射率，所以输入玻璃牌号即可。按接收器的不同所分的几类常用光学系统，讨论消像差谱线的选择：一、目视光学系统目视光学系统的接收器是眼睛，在可见光谱中有效波段为 F 线和 C 线之间的光谱区间。一般总是对 F 光（ = 486.13nm）和 C 光（ = 656.27nm）校正色差，对其中的 D 光（ = 589.29nm）校正单色像差。但是人眼最灵敏的波长为 555 nm， e 光（ = 546.1nm ）比 D 光更接近。过去计算中，常用 nD
3、 和阿贝常数 D 作为目视光学系统中，选用玻璃的参量指标。CFD1当国标无色光学玻璃（GB903-87） 发布后，以 nd 和 d 作为无色光学玻璃的参量指标。CFddnn1普通目视光学系统对 d 光（ = 587.56nm）校正单色像差，对 F 光和 C 光校正色差。二、普通照相机古典普通照相系统的接收器是黑白照相底片（为卤化银的光化学反应） 。考虑到照相乳剂的光谱灵敏度偏向短波波段（直到近紫外波段） 。设计时一般对 F 光校正单色像差，对 D 光和 g 光（ = 435.84nm）校正色差。自全色黑白照相底片出现后，照相底片中添加感红增强剂，尽力模拟眼睛视见函数（光谱光效率）曲线 V。所以
4、校正像差的谱线与目视光 学系统一致。2对于彩色照相底片和数码相机，镜头校正像差的谱线与目视光学系统必须一致。否则会偏离色增生指数（照相机物镜GB ）的规定，产生色彩失调，给人不自然的感觉。三、不需目视调焦的照相系统天文照相、航空照相不需目视调焦。通常对 h 光（ = 404.66nm）和 F 光校正色差，对 d 光校正单色像差。实际上，各种照相乳剂的光谱灵敏度不尽相同，并且采用目视调焦取景，也可按目视系统一样处理，对 D 光校正单色像差，对 C 光和 F 光校正色差。四、特殊光学仪器现代许多光学仪器，其应用范围已扩展到可见光谱之外，设系统工作于 1 到 2 光谱区域内。设计时，n 1，n2 可
5、用色散公式计算或实际测量求得。CCD 器件工作波段的长波波长达 1100nm，中心波长约在 630nm 处。如果用于人眼观察，需要用宽带截止片修正工作波段范围；微光像增强器的工作波段大于可见光范围，中心波长；紫外光像增强器的工作波段 230 290nm（大气黑洞） ；某平显用的 CRT（荧光粉 P43） ，中心波长 0 = 525nm，波长范围15nm；普通激光的光学系统，只需要消单色像差，完全不考虑色差；而激光压制武器，输出1064nm 和 532nm 两种波长的激光，就需要考虑色差；而显微操纵器就要考虑指示激光 632.8nm和工作激光 10640nm 的一致性。总之，消像差谱线的选择应根
6、据具体使用条件确定，各类、各种感光器件，都会提供光谱特性曲线，作为设计时谱线选择的依据。11-2 初 级 色 差色差是由于光学材料对不同色光的折射率的差异引起的。因此，在光学系统的近轴区同样有色差存在。初级色差就是指近轴区的色差。下面分别讨论初级位置色差和初级倍率色差。一、初级位置色差在9-9 中已经进行了讨论，位置色差是轴上点的色差，和球差一样可以展开成入射高度 h（或孔径角 u）的级数，如式（9-63） ，只取两项，得：（11-2)(mFCFChAlL1） 3以表 8-1 中的双胶合望远镜为例，通过光路计算求得其位置色差如表 11-1 所示。色差曲线如图 11-1a 所示；当以（h/h m
7、） 2 为纵坐标所绘制的色差曲线如图 11-1b 所示。由此可看出，色差和单色像差不同，在近轴区依然存在，即展开式中有常数项，也就是初级色差。由图 b 看出，以（h/ hm）为纵坐标时，色差曲线近似于一条直线，表明该系统的色差除初级量外，主要是二级量。下面就初级色差进行讨论。表 11-1h/hm 1.0 0.85 0.7071 0.5 0.3 0.0(h/hm)2 1.0 0.72 0.50 0.25 0.09 0.0 LFC 0.1568 0.0729 0.0031 -0.00724 -0.1193 -0.1451对初级置色差进行计算分析，可导出初级位置色差的表示式： kiIFCFCklun
8、l1212（11-4） dQh21CI 为初级位置色差分布系数，表征了各个折射面产生的对于该系统总的位置色差的贡献量，即初级位置色差分布。把 ni = hQ ，和 h = lu 带入 CI 中可以得到：11-5ndluiI式 11-4 还可变化为： kiIFCkFCulul 1212111-6kiiIndl11式中， 为轴向放大率，C I 为初级位置色差系数，表征了整个系统的位置色差。当物2kun体本身无色差时，有：11-6aIkFCunl21用以上公式计算位置色差，与表 8-1 的双胶合的初级位置色差相比，数值是非常接近的。二、初级倍率色差在9-7 中已叙述了倍率色差的概念和精确计算方法。倍
9、率色差是由于各种色光的折射率不4同，而使放大率不同引起的，所以初级倍率色差计算公式可由放大率公式微分得到。对于整个光学系统，可对每个折射面计算后相加求和，由于前一折射面物空间诸量和后一折射面象空间诸量相同，最后可得： kiIFCFCkkyunyn11（11-9）idlizIzI式中，C II 为初级倍率色差分布，表征各个折射面对光学系统总的初级倍率色差的贡献量。CII 为光学系统的初级倍率色差系数，表征整个光学系统的初级倍率色差。还可以将初级倍率色差表示为：（11-10） kiIFCkFCkunyny111由上式可知，物空间的初级倍率色差 yFC1 乘以垂轴放大率 后就可反映到象空间总kun1
10、的倍率色差中去。若对实物成象，物空间倍率色差为零，上式可写为：（11-10a）kiIFCkuny1用 Q 表示的 CII 为： （11-11）ndQhzI11-3 薄透镜的初级色差一、薄透镜的初级位置色差把初级位置色差展开成光学系统每个折射面分布之和，这对于已知结构的实际光学系统讨论和计算初级位置色差及其分布是较为方便的。但不宜于用它直接求得满足一定初级色差要求的光学系统的初始解。为此，需要形式较为简单的薄透镜系统的初级位置色差公式。利用式 11-5，经计算整理。对单薄透镜可得：（11-12）2122)1(hndhCI按式 11-4 可得单个透镜的位置色差：（11-13）2212 lhunun
11、lIFC 当物体位于无限远，即 l = - ，单透镜的 初级位置色差为：5（11-13a）flFC由以上二式可知。初级色差仅决定于透镜的光焦度和玻璃材料。对同一光焦度而言，阿贝数 越大，色差越小。同时还可以知道，单透镜的色差符号取决于透镜的光焦度，正透镜产生负色差；负透镜产生正色差。因此，消色差光学系统需由正和负透镜组成，使其色差互相补偿。薄透镜的色差系数 CI 只要使各单透镜的系数相加即可：（11-14）MmIhC112式中 M 为系统中透镜的个数。由上式可知，每个透镜的色差贡献，除与光焦度 和阿贝数 有关，还和透镜在光路中的位置，即入射高度 h 有关。二、由消色差的要求决定光学系统中各透镜
12、的光焦度分配光学系统校正初级色差，需使 或 为零。当各个透镜的玻璃材料选定以后（即 值kiIC1MmI1已定） ，就成为各透镜光焦度分配的问题。下面讨论两种情况下光学系统校正初级色差的问题。1密接薄透镜系统 由两块或两块以上互相接触的或以极小空气间隙分离的薄透镜组成的薄透镜系统。例如双胶合或双分离形式的透镜组。对于这类透镜系统，可认为各个透镜上的入射高度相等，由消色差条件 11-14 表示双胶合和双分离透镜，有： 021同时还应满足系统的总光焦度 的要求： = 1 + 2联立后可求得：（11-15）21212由上式可知：1）具有一定光焦度的双胶合或双分离透镜，只有采用不同玻璃材料制造正负透镜才
13、可能使两个透镜产生的位置色差互相补偿，而且保证一定的光焦度。为使 1 和 2 的数值不至于太大，两种玻璃的阿贝数相差应尽可能的大。通常选取冕牌和火石玻璃中的各一种来组合。2）若光学系统的光焦度为正（ 0） ，不管冕牌玻璃在前（第一块透镜） ，还是火石玻璃在前，正透镜必然用冕牌玻璃，负透镜必然用火石玻璃；若光焦度为负（ 0） ，则正透镜用火石6玻璃，而负透镜用冕牌玻璃。例 11-1 试计算双分离望远物镜在消色差时的光焦度分配。设选用 K9（n D =1.5163， D=64.1）和 F2（n D =1.6128， D=36.9）玻璃对。先设系统总光焦度为一个单位（ = 1） ，利用式 11-15
14、，得：3562.9.641.2这就是双分离系统的消色差初始解，把这组 1 和 2 代入式 10-91 和式 10-92，可的该系统的消球差和正弦差的初始解。3）若二透镜采用同一种玻璃，欲满足消初级色差，必须 1 = -2，此时 = 0，为无光焦度消色差系统，这种系统可在不产生色差的情况下，产生一定的单色像差。因而有实际用途，例如在折反射系统中，作为校正反射镜单色像差的补偿器。4）如果设计双胶合透镜，当玻璃组合选择合适时，也能得到同时消球差、消色差、消正弦差的双胶合初始解。这些在第十七章讨论。2保留一定剩余位置色差的密接薄透镜系统。保留一定的初级位置色差的目的在于：一方面和其它光学零件产生的色差
15、相补偿；另一方面为了补偿系统本身的高级色差，以便使系统在带光处消色差。当物镜需保留一定的初级色差值 lFC 时,由式 10-4 和式 11-14 可得：（11-16）FCMmlunh212对空气中的双透镜的密接透镜组，并且物体在无限远时，l= f , 有：（11-16b）FCl21与光焦度公式联立，有： )1(221FCl（11-17）)(1212 Fl例 11-2 设计一双胶合望远物镜，焦距为 100mm，用一块反射棱镜（等效于平板玻璃）与之组合，反射棱镜产生的初级位置色差为 0.26 mm，则物镜应保留- 0.26 mm 的初级位置色差与之补偿。由式 11-7 可得：7mm-10184.1
16、)26.(302.3164mm-142可得 f1= 54.23 mm f2 = -118.43 mm如不保留色差，即：l FC = 0 时,有 1= 0.02013 f1= 49.68 mm2 = -0.01013 f2 = -98.72 mm可见，保留一部分负色差求得的光焦度 1、 2 较消色差时的值要小，这样透镜的曲率半径值可大些，有利于像差校正。3由两块具有一定空气间隔的薄透镜组成的（摄远）系统。对于这种系统，光线在两块透镜上的入射高度不同，由式 11-12 知其消色差条件为：212120hCI系统的总光焦度为： 21h当已知物距和孔径角，h 1 便可确定。当物体在无限远时，h 1 是已
17、知的，则 h2 可由下式确定：12fdu得：112dh若已知 d，解下列方程组：（11-18）11222120dh由上式消去 2、h 2，得 1 的方程式：（11-18a）0)(121 d若已知 1、 2、d、 ，即可求出消色差条件下的 1，然后可求出 h2 和 2。由式 11-18 可知，消色差的解必然一块是正8透镜，一块是负透镜。一般来说，d 值是根据结构上的要求确定的。如图 11-3 所示的系统，d 值是由后工作距离 l2 要求确定的。根据几何光学的公式推导出： )1(df得：1212lfl将此代入式 11-18a，得：（11-19）21l由上式可知，正负透镜以一定间隔所组成的系统，并不
18、是任何给定的 l2 或 d 值都能获得消色差的结果。当第一块透镜为正透镜时，必须满足以下条件：21l或： 才能有解。即使满足 ，如果 1 很大，这样的结果没有实用12fl 12fl价值。例 11-3 以 K9（n D =1.5163, D = 64）和 ZF2 (nD = 1.6725， D = 32.2) 玻璃组合，设计焦距为100mm 的消色差系统，要求后工作距离 l2 =70mm。解：利用式 11-10，求 1，mm-1356.02.07641 可得： f1= 28.125 mm由 ，l 2， 1 求 d，mm437.80356.最后： 7.056112 dhmm-15130)(212
19、h可得：f2 = -27.390 mm9此例和上例的总焦距一样，但所求得的 1， 2 要大得多。摄远物镜消色差的结果，导致每块透镜的光焦度增大，不利于像差校正。并且二级光谱相对大。当薄透镜具有一定厚度，色差也会变化，需要改变（r、d、n）校正实际色差。三、薄透镜系统的初级倍率色差和初级位置色差一样，也可把初级倍率色差表示成以单透镜为单元的形式。把式 11-9 对单透镜展开，有： 2121iCzII运算化简，得：（11-20）21zIh对于 M 个薄透镜组成的光学系统的初级倍率色差系数可写为：（11-21）mzIhC11设对实际物体成象，把上式代入 11-10a，得系统的初级倍率色差为：（11-
20、22）MmzFCkhy1四、对几种薄透镜系统的初级倍率色差的讨论1密相接薄透镜系统：由于系统各透镜的厚度和空气间隔均近似于零，有：h1 = h2 = = hk = h ， hz1 = hz2 = = hzk = hz 此时薄透镜系统的初级倍率色差系数可写为：（11-23）MmmzIC11由上式可知，对于相接触薄透镜系统，当初级位置色差消除（ ）以后，初级倍率色0差也自动消除了。此外，当光阑和薄透镜系统相重合时（ ） ，倍率色差也得到校正。zh2具有一定空气间隔的双透镜系统如图 11-5 所示。该系统为一种简单目镜。因目镜视场角较大，须校正倍率色差。图中画出两条近轴光路，令式 11-22 为零：
21、10021zzh设入瞳在系统的前焦点处，有：121dh221dhz代入上式，消倍率色差条件为：（11-24）0)1()1(22dd还应满足总光焦度要求，即： 2121除此之外，d 也是自变量，可使其满足以下两个条件之一： )(12fdl21z在设计时给定 ，l 2 或 lz1，根据选定的玻璃，联立上式，即可求得满足倍率色差要求的1， 2 和 d。如两块透镜用同一种玻璃（ 1= 2） ，由式 11-24 可得：21或： 21fd此时 d 值由消倍率色差要求限定，不能任选。系统的总光焦度：（11-25）21在生物显微镜中普遍采用的惠更斯目镜就是这种原理，两透镜采用同种玻璃材料。f1：d：f 2=1
22、：1.5：2 符合式 11-25，满足消倍率色差条件。3同时校正位置色差和倍率色差的分离薄透镜系统 相接触的薄透镜系统校正了位置色差，倍率色差同时也得到校正。但是具有一定间隔的两个或多个薄透镜组组成的系统，如图 11-117 所示，校正位置色差的条件由式 11-12 决定，校正倍率色差的条件由式 11-21 决定，二式可写成：0)()(43211 hCI )()(43221zI由上二式可知，h 1 / h2 与 hz1 / hz2 不相等，同时满足两个消色差条件的解为：02143由此可知，由几个密接薄透镜组组成的光学系统，只有对各个薄透镜组分别校正了位置色差，才能同时校正系统的位置色差和倍率色
23、差。4放大率为-1 的对称式系统整个系统的倍率色差如同其它垂轴像差一样，自动得到校正。11-4 二 级 光 谱在9-6 中已提及二级光谱的几何概念。一般消色差系统只能对两种色光校正位置色差。如果光学系统已对 2 和 3 两种色光校正了位置色差，它们的公共点对中心波长的色光 1 的位置仍有差异，就是二级光谱，以 L231表示，目视光学系统的二级光谱为 LFCD。一般光学系统对二级光谱并不严格要求，12但对于某些对白光或象质要求很高的光学系统，如长焦距平行光管物镜，长焦距制版物镜，高倍显微物镜等则应考虑。消除二级光谱的称为复消色差光学系统。消除二级光谱比较困难，需要使用特种光学材料。一、密接双透镜
24、系统密接双薄透镜系统对两种色光（F、C 光）校正色差的条件为：021221hiI两种色光的公共像点与中心波长（D 光）像点的偏离为二级光谱 LFCD，如看成是 F 光与D 光的色差，色差系数可以写成： 22112 22112212 CFDCFDFFDFDI nnhhC式中：阿贝常数 ，相对色散 。dP上式可以写成：11-26FDFFDIPhC212若同时校正位置色差和二级光谱，应满足 CI = 0 CI FD = 0 。要同时满足两个条件，必须有：P1FD = P2FD也就是两块玻璃的相对色散必须相同。按消色差要求，希望两块玻璃的阿贝常数相差要大。现有的光学玻璃库中还没有相对色散相同，而阿贝常
25、数相差较大的玻璃对。所以普通光学材料无法消二级光谱。把满足消色差条件的 1 和 2 代入（11-26） ，得：21FDFDI PfhC就可以得到二级光谱的初级量：11-27212 FDFDIFCDfubL13表明，对于一定焦距的密接薄透镜系统，二级光谱初级量与系统结构无关，完全由两块玻璃的相对色散与阿贝常数之比决定。一般光学玻璃的相对色散和阿贝常数有一定的关系。以相对色散 P 为纵坐标，以阿贝常数 为横坐标，如图 11-9。可见几乎都位于一条直线上或在附近，这条直线称为正常玻璃直线。任意一对色光的 P- 图，均近似于一条直线，只不过有不同的斜率和常数项 K。g、F 色光的正常玻璃直线为： Pg
26、F = Kgf - 0.00185 F、D 色光的正常玻璃直线为：P FD = KFD - 0.00052 对于密接双薄透镜，F、C 光消色差后，相对于 D 光的二级光谱为： LFCD = 0.00052 f 几乎是个常量，这是由普通玻璃特性所决定。但从图中可看出，有少数玻璃离开直线较远，如 TF3 等，如和 K9 组成双胶合，二级光谱可以减少三分之一。特别是萤石（CaF 2）作为透镜材料，可以很好的校正二级光谱。萤石的光学常数为：nD =1.43385 nF =1.43705 nC =1.43251 ng = 1.43960nF -nC = 0.00454 = 95.56如果选用 P 值相近
27、的玻璃，效果会更好。但不容易得到具有良好均匀性的大块萤石，一般只能用于显微物镜。14二、复消色差的密接三薄透镜密接三透镜系统的复消色差与密接双薄透镜系统类似。复消色差应满足： 03212hCI 0321 FDFPDFDI P满足以上两个条件，需使 P1FD = P2FD = P3FD，并且 1、 2、 3 之间有尽可能的差值。一般来说在正常玻璃直线上很难满足，也是比较困难的。以前证明双胶合透镜在玻璃对选择合适时，可以达到良好的复消色差效果。同样，密接三透镜如果玻璃选择合适，也可以做到复消色差。在 P- 图上，可以找到 P 值相同，而 值不同的玻璃。但由于两种玻璃的 值相差很小，可以得到复消色差
28、解，可是每个透镜的 过大，导致曲率半径很小而无实用价值。使用三块透镜时，使其中两块尽量位于正常玻璃直线的右上方，如图 11-10 中的 A（P 1， 1）和 C（P 2， 2）两种玻璃，与尽量位于正常玻璃直线左下方的另一块玻璃 B（P 3， 3）组合，使三块玻璃在 P- 图上所包围的面积越大越好。可以认为，第一、第三两种玻璃组成新的玻璃 的连线应在 A 和 C 连线上。,P有： 133P得：11-281313为使 = P2 时， 与 有较大的差值，在选择玻璃时，应尽可能使 A 和 C 的连线要和 C 远。若 - 2 = 510，就可能校正二级光谱。用密接双透镜的公式 11-14a 和 11-2
29、6 与光焦度公式连立，有复消色差解：11-29022P15例 11-4 用国产玻璃设计一复消色差制版物镜，对 D 光消单色像差，对 F、C 和 g 光复消色差。系统选取如图 11-11 的结构形式，先确定半组的光焦度分配。在 P- 图上多次试验，选定以下三种玻璃：ZF3 n1 =1.7172 PgF1= 0.59963 1= 29.502TF3 n2 = 1.6123 PgF2 = 0.55911 2 = 44.082ZK6 n3 = 1.6126 PgF3 = 0.54614 3 = 58.343消二级光谱的条件是使 = P2 = 0.55911，由 11-28 求得 =51.3。设总光焦度 =1，由 11-29，可求得： =7.04855 = -6.048552因为是密接薄透镜组， 是 和 组合光焦度，有：1221把求取的数据代入，得：1 = 0.678782 = -6.048553 = 6.06985两个半组合成后，缩放焦距，光路计算，进行像差校正。三透镜可以得到复消色差解，但难于得到大相对孔径的复消色差的解。还可以设计一组无焦系统，与定焦距系统组合，使二者的二级光谱互补，也可以达到复消色差的目的。
