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1、第二部分 矩阵 【字体：大 中 小】 【打印】 本章概述矩阵是线性代数的重要内容，也是研究线性方程组和其它各章的主要工具。主要讨论矩阵的各种运算的概念和性质。在自学考试中，所占比例是各章之最。按考试大纲的规定，第二章占 26 分左右。而由于第三，四，五，六各章的讨论中都必须以矩阵作为主要工具，故加上试题中必须应用矩阵运算解决的题目的比例就要占到 50 分以上了。以改版后的三次考试为例，看下表按考试大纲所占分数 07.4 07.7 07.10 直接考矩阵这一章的 26 分左右 31 分 34 分 38 分 加上其它章中必须用矩阵运算的所占分数 51 分 53 分 67 分 由此矩阵这一章的重要性

2、可见一般。2.1 线性方程组和矩阵的定义2.1.1 线性方程组n 元线性方程组的一般形式为特别若，称这样的方程组为齐次方程组。称数表为该线性方程组的系数矩阵；称数表为该线性方程组的增广矩阵。事实上，给定了线性方程组，就惟一地确定了它的增广矩阵；反过来，只要给定一个m(n+1)阶矩阵，就能惟一地确定一个以它为增广矩阵的 n 个未知数，m 个方程的线性方程组。例 1 写出下面线性方程组的系数矩阵和增广矩阵【答疑编号 12020101：针对该题提问】例 2 写出以下面矩阵为增广矩阵的线性方程组【答疑编号 12020102：针对该题提问】2.1.2 矩阵的概念一、矩阵的定义定义 2.1.1 我们称由

3、mn 个数排成的 m 行 n 列的数表为 mn 阶矩阵，也可记为为矩阵 A 第 i 行，第 j 列的元素。 注意:矩阵和行列式的区别。二、几类特殊的矩阵1.所有元素都为零的矩阵称为零矩阵，记为 O。例如都是零矩阵。2.若 A 的行数 m=1，则称 为行矩阵，也称为 n 维行向量。若 A 的列数 n=1，则称为列矩阵，也称为 m 维列向量。3.若矩阵 A 的行数=列数=n，则称矩阵 A 为 n 阶方阵，或简称 A 为 n 阶阵。如 n 个未知数，n 个方程的线性方程组的系数矩阵。4.称 n 阶方阵为 n 阶对角阵。特别若上述对角阵中， ，称矩阵为数量矩阵，如果其中 =1，上述数量阵为，称为 n

4、阶单位阵。5.上(下) 三角阵称形如的矩阵为上(下)三角矩阵。2.2 矩阵的运算 这节介绍（1）矩阵运算的定义，特别要注意，矩阵运算有意义的充分必要条件；（2）矩阵运算的性质，要注意矩阵运算与数的运算性质的异同，重点是矩阵运算性质与数的运算性质的差别。2.2.1 矩阵的相等为建立矩阵运算的概念，先说明什么叫两个矩阵相等。定义 2.2.1 如果矩阵 A，的阶数相同，即行数、列数都相同，则称矩阵与 B 同型；若 A 与 B 同型，且对应元素都相等，则称矩阵 A 与 B 相等，记为 A=B。请注意区别两个矩阵相等和两个行列式相等例如 虽然行列式有但矩阵；。2.2.2 矩阵的加减法 定义 2.2.2

5、设 A 与 B 都是 mn 阶矩阵( 即 A 与 B 同型)， ，则矩阵 A 与 B 可以相加( 相减)，其和( 差)定义为 mn 阶矩阵 例 1 设求 A+B、A-B。【答疑编号 12020103：针对该题提问】例 2 则 A 与 B 不能相加(减) ，或说 AB 无意义。 加法运算的性质设 A，B，C 都是 mn 阶矩阵，O 是 mn 阶零矩阵，则1.交换律 A+B=B+A。2.结合律 (A+B)+C=A+(B+C)。3.负矩阵 对于任意的 mn 阶矩阵定义，显然 A+(-A)=O；A-B=A+(-B)。2.2.3 数乘运算定义 2.2.3 数 与矩阵 A 的乘积记作 A 或 A，定义为例

6、 3 设，求 3A。 【答疑编号 12020104：针对该题提问】解 例 4 设，求 3A-2B。 【答疑编号 12020105：针对该题提问】例 5 已知，求 2A-3B。 【答疑编号 12020106：针对该题提问】数乘运算满足：1.1A=A2.设 k,l 是数，A 是矩阵，则 k(lA)=(kl)A3.分配律 k(A+B)=Ka+kB；(k+l)A=kA+lA例 6 已知，且 A+2X=B，求 X。2.2.4 矩阵的乘法先介绍矩阵乘法的定义，后面再介绍为什么这样定义乘法。一、定义定义 2.2.4 设矩阵，(注意:A 的列数=B 的行数)。定义 A 与 B 的乘积为一个 mn 阶矩阵，其中

7、(i=1,2,m,j=1,2, n)可见，矩阵 A,B 可以相乘的充分必要条件是 A 的列数B 的行数，乘积矩阵 C=AB 的行数=A 的行数；其列数=B 的列数。例如则 A,B 可以相乘，其乘积其中例 7 设矩阵【答疑编号 12020201：针对该题提问】问 BA 有意义吗？无意义。因为第一个矩阵的列数不等于第二矩阵的行数，所以 BA 无意义。例 8(1)设矩阵(2)求 AB；BA【答疑编号 12020202：针对该题提问】此例说明 AB,BA 虽然都有意义，但两矩阵不同型，当然不相等。例 9 设矩阵，求 AB,BA。【答疑编号 12020203：针对该题提问】为什么这样定义乘法？考虑线性方

8、程组设，则，于是线性方程组(1)就可以写成矩阵形式 AX=b。这表明，应用这种方法定义矩阵乘法，可以把任意线性方程组写成与一元一次方程ax=b 完全相同的形式，使整个的讨论变得简单了。二、性质（1）乘法没有交换律，AB 不一定等于 BA。（2）结合律 (AB)C=A(BC) （3）分配律 (A+B)C=AC+BC；A(B+C)=AB+AC （4）数乘与乘法的结合律 k(AB)=(kA)B=A(kB)（5）单位矩阵的作用。另一部分的证明请同学们自己作。但对于某些特殊的矩阵（方阵）满足 AB=BA，我们称它们是乘法可交换的，例如 n阶方阵 A 与 n 阶单位阵就可交换。例 10 设矩阵，求出所有与

9、 A 乘积可交换的矩阵。【答疑编号 12020204：针对该题提问】2.2.5 方阵的幂设 A 是一个矩阵，何时有意义 ?当且只当 A 为 n 阶方阵时，有意义。这时，对 k2 定义称为 A 的 k 次幂。例 11 数学归纳法证明【答疑编号 12020301：针对该题提问】（2）【答疑编号 12020302：针对该题提问】对于数，幂的运算有下列性质：（1）同底幂相乘，指数相加。即；（2） ；（3）对于方阵的幂有下列性质：（1） 。对于数，为什么所以对于 n 阶方阵不一定等于。根据矩阵乘法和方阵幂的性质，数的乘法公式有下面的变化：一般不等于。一般不等于。这些变化的原因就在于矩阵乘法没有交换律。但

10、对于某些特殊的矩阵满足 AB=BA，例如n 阶方阵 A 与 n 阶单位阵就可交换，所以请思考例 12 设求。【答疑编号 12020303：针对该题提问】例 13 设，求。【答疑编号 12020304：针对该题提问】例 14 设。【答疑编号 12020305：针对该题提问】小结 矩阵乘法和数的乘法性质的区别：(1)矩阵乘法没有交换律，由此引出乘法公式:如，不一定等于等公式的变化；(2)对于矩阵：两个非零矩阵的乘积可能为零矩阵；(3)对于方阵，可能可能，(4)不一定等于。2.2.6 矩阵的转置一、定义定义 2.2.5 设。将其行列互换，所得的矩阵记为称它为 A 的转置，即显然，mn 阶矩阵 A 的

11、转置是 nm 阶。二、性质1.；2.；3.；现看下面的例例 15 设，求；问哪个有意义，若有意义，求它的乘积矩阵。【答疑编号 12020306：针对该题提问】解 没有意义。有意义，且所以一般， ，则 AB 是 mn 阶的。是 km 阶，为 nk 阶，故不一定有意义。但 有意义。可以证明4.(反序律)。三、对称阵和反对称阵定义 设 A 为 n 阶实方阵。如果满足，则称 A 为实对称 (反对称)阵。例 16 为实对称阵；为反对称阵。例 17 证明:任意 n 阶方阵 A 都可以惟一地分解为一个对称阵和一个反对称阵的和。【答疑编号 12020307：针对该题提问】例 18 证明:设 A,B 都是 n

12、阶对称阵，证明 AB 为对称阵的充分必要条件是 AB=BA。 【答疑编号 12020308：针对该题提问】扩展 改为 设 A,B 都是 n 阶反对称阵， 证明 AB 为对称阵的充分必要条件是AB=BA。 2.2.7 方阵的行列式一阶方阵和一阶行列式都是数，但当 n2 以后，矩阵和行列式是两个不同的概念，矩阵是一个数表，可以是方的也可以是长方的。对于 n 阶方阵，可以对它取行列式，但行列式已不仅是数表，而它的值是一个数。性质:1.；2.；3.。于是容易看出，虽然 AB 不一定等于 BA，但。例 19 证明奇数阶的反对称阵的行列式等于零。【答疑编号 12020309：针对该题提问】2.2.8 方阵

13、多项式任意给定多项式和一个 n 阶方阵 A。定义称 f(A)为 A 的方阵多项式。例 20 设求 f(A)。【答疑编号 12020310：针对该题提问】小结1.矩阵各种运算的定义(包括运算有意义的充分必要条件) ；2.各种运算的性质(特别是与数的运算性质的相同点和不同点，尤其是不同点)作业 p47 习题 2.2 1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，122.3 方阵的逆矩阵2.3.1 逆矩阵的定义定义 2.3.1 设 A 是一个 n 阶方阵。若存在一个 n 阶方阵 B 使得。则称 A 是可逆矩阵，也称非奇异阵。并称。若这样的 B 不存在，则称 A 不可逆。定理 2.3.1 可逆矩阵

14、A 的逆矩阵是惟一的。证 设都是 A 的逆矩阵。则。例 1 ，验证 A 可逆，且。【答疑编号 12020401：针对该题提问】只要看容易看出，这时 B 也可逆，且。例 2 不可逆。【答疑编号 12020402：针对该题提问】解 设，则。故不可逆。2.3.2 n 阶方阵可逆的充分必要条件为讨论 n 阶方阵可逆的充分必要条件，现引入方阵的伴随矩阵的概念定义 设，为的代数余子式，则称 为 A 的伴随矩阵，记为。下面计算类似地，有。若，有。于是有下面的定理。定理 2.3.2 n 阶方阵 A 可逆的充分必要条件是，且当时， 。证 充分性已经得证。只要证必要性。设 n 阶方阵 A 可逆，据定义知，存在 n

15、 阶方阵 B 使得 AB=BA=E取行列式得，故，必要性得证。推论 设 A，B 均为 n 阶方阵，并且满足 AB=E，则 A,B 都可逆，且。推论的意义是，不必验证两个乘积 AB，BA，而只要验证一个即可。证 因为 AB=E，故，所以。故 A，B 都可逆。由 AB=E 两边左(右)乘，得，于是有。2.3.3 可逆矩阵的基本性质设 A，B 为同阶可逆矩阵。常数 k0。则1.可逆，且。2.AB 可逆， 。3. 也可逆，且。4.kA 也可逆，且。5.消去律 设 P 是与 A，B 同阶的可逆矩阵，若 PA=PB，则 A=B。若 a0，ab=ac 则 b=c。但而6.设 A 是 n 阶可逆方阵。定义 ，

16、并定义。则有，其中 k，l 是任意整数。7.设 是 阶可逆方阵，则。例 3 设，问 a，b，c ，d 满足什么条件 A 可逆？这时求【答疑编号 12020403：针对该题提问】例 4 判断矩阵是否可逆？若可逆，求出它的逆矩阵。【答疑编号 12020501：针对该题提问】例 5 设 A 是 n 阶方阵，则。【答疑编号 12020502：针对该题提问】例 6 设 A 为 n 阶方阵，则当 P 为可逆矩阵时，A 为对称矩阵为对称矩阵。【答疑编号 12020503：针对该题提问】例 7 设 n 阶方阵 A 满足，求和的逆矩阵。【答疑编号 12020504：针对该题提问】例 8 设 A 是三阶 矩阵，其

17、行列式，求行列式的值。【答疑编号 12020505：针对该题提问】例 9 设 n 阶方阵 A 满足，证明。【答疑编号 12020506：针对该题提问】例 10 设 n 阶方阵 A 满足，其中 m 为正整数，求出的逆矩阵。【答疑编号 12020507：针对该题提问】例 11 设 A 为 n 阶可逆阵，证明：（1） （2）【答疑编号 12020508：针对该题提问】小结1.n 阶方阵 A 可逆的充分必要条件是。2.A 的伴随矩阵的定义及重要公式 (1)，(2)当时。3.重要结果 若 n 阶方阵 A，B 满足 AB=E，则 A，B 都可逆，且。4.逆矩阵的性质(主要是说明求逆运算与矩阵其他运算的关系

18、)2.4 分块矩阵2.4.1 分块矩阵的概念对于行数列数较高的矩阵 A，为运算方便，经常采用分块法处理。 即可以用若干条横线和竖线将其分成若干个小矩阵。每个小矩阵称为 A 的子块，以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵。例 1 对 34 阶矩阵，可以采用很多方法分块。【答疑编号 12020601：针对该题提问】如:分成 ，这时可记为，其中也可以分成；称为列分块矩阵。例 2 对于，可按下面方法分块【答疑编号 12020602：针对该题提问】，记成其中，2.4.2 分块矩阵的运算1.加减法 同型矩阵 A， B 采用相同的分块法，有 则2.分块矩阵的数乘设，则。3.分块矩阵的转置例 3 一般，如果4

19、.分块矩阵的乘法设矩阵 A 的列数=B 的行数，如果对 A，B 适当分块，使。则其中。所谓适当分块是指保证上述出现的所有乘法都有意义。例 4 设 A 为 mk 阶矩阵，B 为 kn 阶矩阵，则 AB 为 mn 阶矩阵。若把矩阵 B 分成2.4.3 几个特殊的分快矩阵的运算（1）准对角矩阵方阵的特殊分块矩阵形如的分块矩阵称为分块对角阵或准对角阵，其中，均为方阵。（2）两个准对角（分块对角）矩阵的乘积则（3）准对角矩阵的逆矩阵 若均为可逆阵。可逆，且。例 5 求的逆矩阵。【答疑编号 12020603：针对该题提问】（4）准上（下）三角矩阵的行列式。可以证明例 6 设 A，D 是任意可逆矩阵，验证【

20、答疑编号 12020604：针对该题提问】例 7 求矩阵的逆矩阵。【答疑编号 12020605：针对该题提问】小结 分块的原则，保证运算有意义。2.5 矩阵的初等变换和初等矩阵2.5.1 矩阵的初等变换 一、背景例 1 解线性方程组解(2)+(1)(1)；(3)+(1)(1)；(4)+(2)(1)得(3)+(-1)(2) ；(4)+(-1)(2) 得(2)+(-2)(3) 得(1)+(-1)(2)+(-3)(3)得上述解方程的过程可改为只对方程的增广，以为增广矩阵的方程组的解即为矩阵做相应的行变换来实现。定义 2.5.1（线性方程组的初等变换）称下列三种变换为线性方程组的初等变换。（1）两个方

21、程互换位置；（2）用一个非零的数乘某一个方程；（3）把一个方程的倍数加到另一个方程上。显然，线性方程组经初等变换后所得的新方程组与原方程组同解。事实上，上述解线性方程组的过程，只要对该方程组的增广矩阵做相应的行变换即可。二、矩阵初等变换的定义定义 2.5.2 分别称下列三种变换为矩阵的第一、第二、第三种行（列）初等变（1）对调矩阵中任意两行（列）的位置；（2）用一非零常数乘矩阵的某一行（列） ；（3）将矩阵的某一行（列）乘以数 k 后加到另一行（列）上去。把行初等变换和列初等变换统称为初等变换。定义 2.5.3 如果一个矩阵 A 经过有限次的初等变换变成矩阵 B，则称 A 与 B 等价，记为

22、AB。等价具有反身性 即对任意矩阵 A，有 A 与 A 等价；对称性 若 A 与 B 等价，则 B 与 A 等价传递性 若 A 与 B 等价，B 与 C 等价，则 A 与 C 等价。定理 2.5.1 设线性方程组的增广矩阵经有限次的初等行变换化为，则以与为增广矩阵的方程组同解。三、矩阵的行最简形式和等价标准形简单地说，就是经过行初等变换可以把矩阵化成阶梯型，进而化成行最简形，而经过初等变换（包括行和列的）可以把矩阵化成等价标准形。例 2 对矩阵 A 作初等行变换，其中。【答疑编号 12020801：针对该题提问】阶梯形矩阵的定义：满足（1）全零行（若有）都在矩阵非零行的下方；（2）各非零行中从

23、左边数起的第一个非零元（称为主元）的列指标 j 随着行指标的增加而单调地严格增加的矩阵称为阶梯形矩阵。 （每个阶梯只有一行）行最简形式以称满足（1）它是阶梯形；（2）各行的第一个非零元都是 1；（3）第一个非零元所在列的其它元素均为零的矩阵为行最简形式。例 3（1）是阶梯形；（2）这不是阶梯形。如上例中最后所得的矩阵。若允许再作初等列变换可继续得这最后的式子就是 A 的等价标准形。一般，任何一个矩阵的等价标准形都是分块对角阵，也可能为或。定理 2.5.2 任何矩阵都可以经有限次初等行变换化成行最简形式，经有限次初等变换（包括行及列）化成等价标准形。且其标准形由原矩阵惟一确定，而与所做的初等变换

24、无关。例 4 将矩阵化成行最简形式和标准形。【答疑编号 12020802：针对该题提问】2.5.2 初等方阵定义 2.5.4 对单位阵施行一次初等变换所得到的矩阵称为初等方阵。以三阶方阵为例第一种：第二种：第三种: 显然，初等阵都是非奇异阵。注意所以初等阵的逆矩阵为同类的初等阵。初等矩阵与初等变换之间有密切的联系。例 5 对于 【答疑编号 12020901：针对该题提问】 定理 2.5.3 设 A 是一个 mn 阶的矩阵，则（1） 对 A 做一次初等行变换，就相当于用一个与这个初等变换相应的 m 阶初等矩阵左乘 A；（2） 对 A 做一次初等列变换，就相当于用一个与这个初等变换相应的 n 阶初

25、等矩阵右乘 A；推论 1 方阵经初等变换其奇异性不变。定理 2.5.4 对于任意的 mn 阶矩阵 A，总存在 m 阶可逆矩阵 P 和 n 阶可逆矩阵 Q，使得 证 因为 mn 阶矩阵 A，总可以经过有限限次的初等行变换和初等列变换化成标准型，又因为初等变换和矩阵乘法的关系，容易证明此定理。推论 2 n 阶可逆阵（非奇异阵）必等价于单位阵。因为否则，其等价标准形不可逆。定理 2.5.5 n 阶方阵 A 可逆的充分必要条件是 A 能表示成若干个初等阵的乘积。证 充分性是显然的。下面证必要性。“”已知 A 为 n 阶可逆阵，则 A 与等价，故存在有限个 n 阶初等阵，即 ，亦即 A 能表示成有限个初

26、等矩阵的乘积。必要性得证。推论 3 任意可逆阵 A（非奇异阵）只经过有限次的初等行（列）变换就能化成单位阵。证 因为 A 可逆，故存在可逆阵使得，从而存在有限个初等阵使得，故。所以 A 只经过有限次的初等行变换就能化成单位阵。2.5.3 用初等变换法求逆矩阵因为任意非奇异阵只经行初等变换就可化成单位阵，即则 这表明，当对 A 作初等行变换将 A 变成单位矩阵 E 时，若对单位矩阵做完全相同的初等变换则单位矩阵 E 将变成。于是有求逆矩阵的初等变换法:写出分块矩阵作初等行变换，当 A 化成单位阵时，E 就化成为。例 6 求方阵的逆矩阵。【答疑编号 12020902：针对该题提问】 2.5.4 用

27、初等变换法求解矩阵方程 一元一次方程的标准形 ax=b（a0） 矩阵方程的三种标准形（1）AX=B（2）XA=B（3）AXB=C 则解法：对第一类作分块矩阵对 A 作初等行变换，当 A 变成单位阵时，由于 B 做的是同样的初等行变换，则得到的是。例 7 求解矩阵方程【答疑编号 12021001：针对该题提问】 解 ：所以。 对于第二类的可先转化为第一类的 ，即由两边转置得按上例的方法求出进而求出 X例 8 求解矩阵方程【答疑编号 12021002：针对该题提问】 思考 如何解方程 AXB=C 设 Y=XB，得方程 AY=C，解出 Y，进一步解方程 XB=Y （这时 Y 为已知。 ）小结 本节主

28、要内容:1.矩阵初等变换的定义；2.初等矩阵的定义和性质:（1）初等矩阵必可逆；（2）初等矩阵之积为可逆阵；（3）n 阶方阵 A 可逆的充分必要条件是 A 能表示成有限个初等矩阵之积。3.初等变换的性质（1）定理 2.5.1 设线性方程组的增广矩阵经有限次的初等行变换化为，则以与为增广矩阵的方程组同解。（2）定理 2.5.2 任何矩阵都可以经有限次初等行变换化成行最简形式，经有限次初等变换（包括行及列）化成等价标准形。且其标准形由原矩阵惟一确定，而与所做的初等变换无关。（3） 定理 2.5.3 设 A 是一个 mn 阶的矩阵，则对 A 做一次初等行（列）变换，就相当于用一个 m（n）阶的与这个

29、初等变换相对应的初等矩阵左乘（右乘）A；（4）定理 2.5.4 对于任意的 mn 阶矩阵 A，总存在 m 阶可逆矩阵 P 和 n 阶可逆矩阵Q，使得。（5）对 n 阶方阵 A，初等变换不改变其奇异性。习题类型:1.熟练掌握用行变换将矩阵化为阶梯形，行最简形和用初等变换化成标准形的方法；2.熟练掌握用初等变换法求逆矩阵和求解矩阵方程作业 p69 1,2（1） （3） （5）,3（2） （3） （4）,42.6 矩阵的秩先介绍矩阵的 k 阶子式的概念给定矩阵 A 的每个元素都是它的一阶子式，定义 2.6.1 矩阵 A 的最高阶非零子式的阶数称为该矩阵的秩。记为 r（A ） ，有时也记为 秩（A）

30、。事实上，如果 A 有一个 r 阶子式不等于零，而所有 r+1 阶子式都等于零，则 r（A）例 1 求矩阵的秩。【答疑编号 12021101：针对该题提问】 上述求秩的方法很繁，是否有更简便的方法求矩阵的秩。例 2 显然的秩等于 r。例 3，则 r（A）=2。定理 2.6.1 初等变换不改变矩阵的秩。推论 设 A 为 mn 阶矩阵，P，Q 分别为 m，n 阶可逆矩阵，则r（PA ）=r（A） ，r（AQ ）=r （A ） ，r（PAQ）=r（A） 。例 4 求矩阵的秩。【答疑编号 12021102：针对该题提问】 此例说明可以用初等变换法求矩阵的秩（只要经初等变换化成阶梯形，其秩就等于非零行的

31、个数） 。例 5 求矩阵的秩。【答疑编号 12021103：针对该题提问】 一般，如果 n 阶方阵 A 的秩等于它的阶数，则称该矩阵是满秩的，否则称它为降秩的。显然，n 阶方阵 A 满秩的充分必要条件是 A 可逆。 （可逆阵的各种说法：可逆，非异，满秩） 。小结这一节主要是掌握矩阵秩的概念和用初等变换法求矩阵的秩。说明 2.7 的内容放到第四章讲。作业 p75 习题 2.6 1（2） （3） （4）,3第二章 总 结1.矩阵运算有意义的充分必要条件；矩阵运算的定义；2.矩阵运算的性质，特别是比较矩阵运算性质与数的运算性质的相同点和不同点，特别是不同点；3.方阵可逆的充分必要条件以及判断方阵可逆的方法；4.矩阵的初等变换和初等矩阵的概念，用初等变换法求逆矩阵和矩阵方程的解；5.矩阵的秩的概念和求矩阵秩的方法。