1、第八章 离散模型,8.1 层次分析模型8.2 循环比赛的名次8.3 社会经济系统的冲量过程8.4 效益的合理分配,y,离散模型,离散模型：差分方程（第7章）、整数规划（第4章）、图论、对策论、网络流、 ,分析社会经济系统的有力工具,只用到代数、集合及图论（少许）的知识,8.1 层次分析模型,背景,日常工作、生活中的决策问题,涉及经济、社会等方面的因素,作比较判断时人的主观选择起相当大的作用，各因素的重要性难以量化,层次分析法,层次分析法是对一些较为复杂、较为模糊的问题作出决策的简易方法，它特别适用于那些难于完全定量分析的问题。当我们面对决策问题时，容易发现，影响我们作决策的因素很多，其中某些因
2、素存在定量指标，可以给以度量，但也有些因素不存在定量指标，只能定性地比较它们的强弱。,Saaty于1970年代提出层次分析法 AHP (Analytic Hierarchy Process),AHP一种定性与定量相结合的、系统化、层次化的分析方法,1）建立层次分析结构模型,深入分析实际问题，将有关因素自上而下分层（目标准则或指标方案或对象），上层受下层影响，而层内各因素基本上相对独立。,2）构造成对比较阵,用成对比较法和19尺度，构造各层对上一层每一因素的成对比较阵。,3）计算权向量并作一致性检验,对每一成对比较阵计算最大特征根和特征向量，作一致性检验，若通过，则特征向量为权向量。,4）计算组
3、合权向量（作组合一致性检验*）,组合权向量可作为决策的定量依据。,一. 层次分析法的基本步骤,1 建立层次结构模型,在用层次分析法研究问题时，首先要根据问题的因果关系并将这些关系分解成若干个层次。同一层次的诸因素从属于上一层的因素或对上层因素有影响,同时又支配下一层的因素或受下层因素的作用。较简单的问题通常可分解为目标层（最高层）、准则层（中间层）和方案措施层（最低层）。中间可有1个或几个层次。与其他决策问题一样，研究分析者不一定是决策者，不应自作主张地作出决策。,目标层,O(选择旅游地),准则层,方案层,例. 选择旅游地,如何在3个目的地中按照景色、费用、居住条件等因素选择.,“选择旅游地”
4、思维过程的归纳,将决策问题分为3个层次：目标层O，准则层C，方案层P；每层有若干元素， 各层元素间的关系用相连的直线表示。,通过相互比较确定各准则对目标的权重，及各方案对每一准则的权重。,将上述两组权重进行综合，确定各方案对目标的权重。,层次分析法将定性分析与定量分析结合起来完成以上步骤，给出决策问题的定量结果。,2 构造成对比较阵和权向量,元素之间两两对比，对比采用相对尺度,设要比较各准则C1,C2, , Cn对目标O的重要性,A成对比较阵,A是正互反阵,要由A确定C1, , Cn对O的权向量,选择旅游地,成对比较的不一致情况,正互反阵A称一致阵,允许不一致，但要确定不一致的允许范围,定理2
5、 若A为一致矩阵，则,（1）A必为正互反矩阵。,（2）A的转置矩阵AT也是一致矩阵。,（3）A的任意两行成比例，比例因子（即wi /wj）大于零，从而rank（A）=1（同样，A的任意两列也成比例）。,（4）A的最大特征根max=n，其中n为矩阵A的阶。A的其余特征根均为零。,（5）若A的最大特征根max对应的特征向量为W=（w1, wn）I，则aij=wi /wj， i,j = 1,2,n。,定理1 正互反矩阵A的最大特征根max必为正实数，其对应特征向量的所有分量均为正实数。A的其余特征根的模均严格小于max。（证明从略）,对于不一致(但在允许范围内)的成对比较阵A，建议用对应于最大特征根
6、的特征向量作为权向量w ，即,根据定理1,2，我们可以由max是否等于n来检验判断矩阵A是否为一致矩阵。由于特征根连续地依赖于aij，故max比n大得越多，A的非一致性程度也就越为严重，max对应的标准化特征向量也就越不能真实地反映出X=x1,xn在对因素Z的影响中所占的比重。因此，对决策者提供的判断矩阵有必要作一次一致性检验，以决定是否能接受它。,2 4 6 8,比较尺度aij,Saaty等人提出19尺度aij 取值1,2, , 9及其互反数1,1/2, , 1/9,心理学家认为成对比较的因素不宜超过9个,用13,15,117,1p9p (p=2,3,4,5), d+0.1d+0.9 (d=
7、1,2,3,4)等27种比较尺度对若干实例构造成对比较阵，算出权向量，与实际对比发现， 19尺度较优。,便于定性到定量的转化：,3 一致性检验,对A确定不一致的允许范围,已知：n 阶一致阵的唯一非零特征根为n,可证：n 阶正互反阵最大特征根 n, 且 =n时为一致阵,定义一致性指标:,CI 越大，不一致越严重,为衡量CI 的大小，引入随机一致性指标 RI随机模拟得到aij , 形成A，计算CI 即得RI。,定义一致性比率 CR = CI/RI,当CR0.1时，通过一致性检验,Saaty的结果如下,“选择旅游地”中准则层对目标的权向量及一致性检验,准则层对目标的成对比较阵,最大特征根=5.073
8、,权向量(特征向量)w =(0.263,0.475,0.055,0.090,0.110)T,一致性指标,随机一致性指标 RI=1.12 (查表),一致性比率CR=0.018/1.12=0.0163)个顶点的双向连通竞赛图，存在正整数r，使邻接矩阵A 满足Ar 0，A称素阵,素阵A的最大特征根为正单根，对应正特征向量s，且,排名为1，2，4，3,1, 2, 3, 4?,6支球队比赛结果,排名次序为1，3， 2，5，4，6,v1能源利用量； v2能源价格；v3能源生产率； v4环境质量；v5工业产值； v6就业机会；v7人口总数。,8.3 社会经济系统的冲量过程,系统的元素图的顶点,元素间的影响带
9、方向的弧,影响的正反面弧旁的+、 号,带符号的有向图,影响直接影响,符号客观规律；方针政策,例 能源利用系统的预测,带符号有向图G1=(V,E)的邻接矩阵A,V顶点集 E弧集,定性模型,带符号的有向图G1,加权有向图G2及其邻接矩阵W,定量模型,某时段vi 增加1单位导致下时段vj 增加wij单位,v7,冲量过程（Pulse Process),研究由某元素vi变化引起的系统的演变过程,vi(t) vi在时段t 的值； pi(t) vi在时段t 的改变量(冲量),冲量过程模型,或,能源利用系统的预测,简单冲量过程初始冲量p(0)中某个分量为1，其余为0的冲量过程,若开始时能源利用量有突然增加，预
10、测系统的演变,设,能源利用系统的 p(t)和v(t),简单冲量过程S的稳定性,任意时段S的各元素的值和冲量是否为有限(稳定),S不稳定时如何改变可以控制的关系使之变为稳定,S冲量稳定对任意 i,t, | pi(t) |有界,S值稳定对任意 i,t, | vi(t) |有界,记W的非零特征根为,S冲量稳定 | | 1,S冲量稳定 | | 1且均为单根,S值稳定 S冲量稳定且不等于1,对于能源利用系统的邻接矩阵A,特征多项式,能源利用系统存在冲量不稳定的简单冲量过程,简单冲量过程S的稳定性,简单冲量过程的稳定性,改进的玫瑰形图S* 带符号的有向图双向连通，且存在一个位于所有回路上的中心顶点。,回路
11、长度 构成回路的边数,回路符号 构成回路的各有向边符号+1或-1之乘积,ak长度为k的回路符号和,r使ak不等于0的最大整数,S*冲量稳定 ,若S*冲量稳定，则S*值稳定 ,简单冲量过程S*的稳定性,a1=0, a2= (-1)v1v2 (-1)v2v1 =1,a3=(+1)v1v3v5v1+(-1)v1v4v7v1+(+1)v1v3v2v1=1, a4=0, a5=1, r=5,S*冲量稳定 ,(-1)v1v2(+1)v1v2(由鼓励利用变为限制利用) a2 =-1,+,S*冲量稳定 | | 1且均为单根,v1利用量, v2价格,v7,若S*冲量稳定，则S*值稳定 ,S*冲量稳定 ,v3能源
12、生产率 v5工业产值,S*值稳定,能源利用系统的值不应稳定？,-,8.4 效益的合理分配,例,甲乙丙三人合作经商，若甲乙合作获利7元，甲丙合作获利5元，乙丙合作获利4元，三人合作获利11元。又知每人单干获利1元。问三人合作时如何分配获利？,记甲乙丙三人分配为,解不唯一,(5，3，3)(4，4，3)(5，4，2),(1) Shapley合作对策, I,v n人合作对策，v特征函数,n人从v(I)得到的分配，满足,v(s) 子集s的获利,特征函数实质上描述了各种合作产生的效益，也意味着全部合作对象参加合作是最好的。,核心(Core):对任意的子集 ,记 ,都有,用向量 表示合作后效益的分配，其中
13、是分配给第个合作人的部分。,Shapley提出了以下公理： 设V是I上的特征函数， 是合作对策，则有,公理1,合作获利对每人的分配与此人的标号无关。,公理2,，即每人分配数的总和等于总获利数。,公理3,若对所有包含的i的子集S有： V(S-i)=V(S)， =0。,即若第i人在他参加的任一合作中均不作出任何贡献，则他不应从合作中获利,公理4,若此n个人同时进行两项互不影响的合作，则两项合作的分配也应互不影响，每人的分配额即两项合作单独进行时应分配数的和。,公理化方法,s子集 s中的元素数目， Si 包含i的所有子集,由s决定的“贡献”的权重, i 对合作s 的“贡献”,Shapley合作对策,
14、三人(I=1,2,3)经商中甲的分配x1的计算,1/3 1/6 1/6 1/3,1 1 2 1 3 I,1 7 5 11,0 1 1 4,1 6 4 7,1/3 1 2/3 7/3,x1=13/3,类似可得 x2=23/6, x3=17/6,1 2 2 3,合作对策的应用 例1 污水处理费用的合理分担,污水处理，排入河流,三城镇可单独建处理厂，或联合建厂(用管道将污水由上游城镇送往下游城镇),Q污水量，L管道长度建厂费用P1=73Q0.712管道费用P2=0.66Q0.51L,污水处理的5 种方案,1）单独建厂,总投资,2）1, 2合作,3）2, 3合作,4）1, 3合作,总投资,总投资,合作
15、不会实现,5）三城合作总投资,D5最小, 应联合建厂,建厂费：d1=73(5+3+5)0.712=453 12管道费：d2=0.66 50.51 20=30 23管道费：d3=0.66 (5+3)0.51 38=73,D5,城3建议：d1 按 5:3:5分担, d2,d3由城1,2担负,城2建议：d3由城1,2按 5:3分担, d2由城1担负,城1计算：城3分担d15/13=174C(1),不同意,D5如何分担？,特征函数v(s)联合(集s)建厂比单独建厂节约的投资,三城从节约投资v(I)中得到的分配,Shapley合作对策,计算城1从节约投资中得到的分配x1,x1 =19.7,城1 C(1)
16、-x1=210.4, 城2 C(2)-x2=127.8, 城3 C(3)-x3=217.8,x2 =32.1, x3=12.2,x2最大，如何解释？,合作对策的应用 例2 派别在团体中的权重,90人的团体由3个派别组成，人数分别为40, 30, 20人。团体表决时需过半数的赞成票方可通过。,虽然3派人数相差很大,若每个派别的成员同时投赞成票或反对票，用Shapley合作对策计算各派别在团体中的权重。,团体 I=1,2,3，依次代表3个派别,优点：公正、合理，有公理化基础。,如n个单位治理污染, 通常知道第i方单独治理的投资yi 和n方共同治理的投资Y, 及第i方不参加时其余n-1方的投资zi
17、(i=1,2, n). 确定共同治理时各方分担的费用。,其它v(s)均不知道, 无法用Shapley合作对策求解,Shapley合作对策小结,若定义特征函数为合作的获利(节约的投资)，则有,缺点：需要知道所有合作的获利，即要定义I=1,2,n的所有子集(共2n-1个)的特征函数，实际上常做不到。,求解合作对策的其他方法,例. 甲乙丙三人合作经商，若甲乙合作获利7元，甲丙合作获利5元，乙丙合作获利4元，三人合作获利11元。问三人合作时如何分配获利？,（2）协商解,将剩余获利 平均分配,模型,以n-1方合作的获利为下限,求解, xi 的下限,（3）Nash解,为现状点（谈判时的威慑点）,在此基础上
18、“均匀地”分配全体合作的获利B,模型,（4）最小距离解,模型,第i 方的边际效益,若令,（5）满意解,di现状点(最低点)ei理想点(最高点),模型,（6）Raiffi 解,与协商解x=(5,4,2)比较,求解合作对策的6种方法（可分为三类）,Shapley合作对策,A类,B类,协商解,Nash解,最小距离解,例：有一资方(甲)和二劳方(乙,丙), 仅当资方与至少一劳方合作时才获利10元，应如何分配该获利？,Raiffi解,C类,B类：计算简单，便于理解，可用于各方实力相差不大的情况；一般来说它偏袒强者。,C类： 考虑了分配的上下限，又吸取了Shapley的思想，在一定程度上保护弱者。,A类：
19、公正合理；需要信息多，计算复杂。,求解合作对策的三类方法小结,8.5 公平选举是可能的吗?,什么是选举,所谓选举，其实质就是在评选人对候选人先后（优劣）次序排队的基础上，根据某一事先规定的选举规则决定出候选人的一个先后次序，即得出选举结果。现用I=1,2,n表示评选人集合，用有限集A=x,y,表示候选人集合，用,=,y)i表示评选人i认为x优于y，用(xy)表示选举结果为x优于y并用pi表示评选人i的排序，p表示选举结果。,A的排序应满足以下性质：, 简单多数规则,几种选举规则,它规定当且仅当(xy)i的评选人超过半数时选举结果才为(xy)。,有时要超过2/3多数等,根据选举规划，结果应为 P
20、: xyuv,根据规则，自然应有 (xy), (yz)和(zx),违反传递性（2）,简单多数规则的主要优点是简单易行，使用方便。但可惜的是这一规则有时会违反传递性, Borda数规则,记Bi(x)为p1中劣于x的候选人数目，记 ，称B(x)为x的Borda数，Borda数规则规定按Borda数大小排列候选人的优劣次序，即当B(x)B(y)时有(xy)，两关系式中的等号必须同时成立。,对于例子， 计算出B(x)=B(y)=B(z)=3 故选举结果为 x=y=z,用Borda数规则得出的结果更合乎常理,例3 I=1,2,3,4, A=x,y,z,u,v，选票情况为 p1p2p3: xyzuv P4
21、 : yzuvx,计算得 B(x)=12，B(y)=13 故选举结果为 yx,但有三人认为x优于y,用Borda数规则得出的结果未必合理,能找到一种在任何情况下都“公平”的选举规则吗,什么是“公平”的选举规则,“公平”的选举规则应当满足以下公理,公理1,投票人对候选人排出的所有可能排列都是可以实现的。,公理2,如果对所有的i，有(xy)i，则必须有(xy)。,公理3,如果在两次选举中，对任意I,由， 。,公理4,如果两次选举中，每个投票人对x、y的排序都未改变，则对x、y的排序两次结果也应相同。,公理5,不存在这样的投票人i，使得对任意一对候选人x、y，只要有(xy)i,，就必有(xy)。,有
22、满足上述公理的选举规则吗,Arrow不可能性定理使上述想法终结,定理,如果至少有三名候选人，则满足公理1公理5的选举规划 事实上是不可能存在的。,证：,将证明由公理1公理4必可导出存在一个独裁者，从而违反了公理5,首先引入决定性集合的概念。 称I的子集Vxy为候选人x、y的决定性集合，如果由所有Vxy中的I 有(xy)i必可导出(xy)。 显然决定性集合是必定存在，由公理2或实际一次选举得到。 找出所有决定性集合中含元素最少的一个，不妨仍记为Vxy 。,证明 Vxy只能含有一个元素某评选人i 。 反证 假定Vxy至少含有两个元素，则Vxy必可分解为两个非空集合的和 即 与 非空且不相交 ，且均
23、不可能是任一对候选人的决定性集合 假设,根据公理1，以下选举是允许的： 当 时， （xyz）i 当 时， （zxy）i 当 时， （yzx）i 其中z是任一另外的候选人,考察选举结果(xz)是不可能，否则 是x、z的决定性集合，故必有(zx)。又Vxy是x、y的决定性能合，故必有(xy)。由传递性(zx)。得 是y、z的决定性集合，从而导出矛盾。以上证明说明Vxy不能分解，即Vxy=i，i为某一投票人。,考虑另一次选举：(xyz)i，而（yzx）jI 显然，由于全体一致意见，（yz）必成立。又i是x、y的决定性集合，故应有（xy）。于是，由传递性，必有（xz）。再由公理4，y的插入不应影响x、
24、z的排序，故i也是x、z的决定性集合。类似还可证明，如果是异议于x、z的任一候选人，i也是w、z的决定性集合，这就是说，评选人i是选举的独裁者。,Arrow的公理系统隐含矛盾,例4 设I=1,2, A=x,y,z，考察如下的四次选举： （第一次） xyz （第三次） yzx xyz zyx 结果应有 xy 合理结果 y=z （第二次） xzy （第四次） xyz zxy zxy 合理结果 x=z 结果？,由公理1，第四次的选举应当是有效的 由公理2，必须有（xy）(4) 再与第二次选举比较并根据公理3，则应有（x=z）(4) 与第三次比较并根据公理3，应有（y=z）(4),xy，x=z与y=z 居然同时成立！,
