1、离散模型,离散数：可数个 有限数、自然数 概率统计：离散型、连续型 模型：差分方程、整数规划、图论、 知识：离散数学 集合、代数、图论、逻辑,一、层次分析法,日常工作、生活中的决策问题：多种方案进行选择 多个旅游点的选择；毕业生工作选择；产品发展方向的选择；选择科研课题 比较判断时：人的主观选择起相当大的作用 各因素的重要性难以量化 美国数学家T.L.Saaty 于1970年代提出层次分析法AHP (Analytic Hierarchy Process) 定性与定量相结合的、系统化、层次化的分析方法,背景,1、模型一：旅游地选择,“五一”出游：三个旅游点的资料 P1 景色优美；但：旅游热点，住
2、宿条件较差, 费用高 P2 交通方便，住宿条件好，价钱不贵；但景点一般 P3 景点不错，住宿、花费都挺好，但：交通不方便 选择哪一个方案?,拉萨、九寨、海南、澳洲,目标,旅游地选择,标准,景点、交通、费用、条件,方案,分析,2、基本原理,将决策问题分为3个层次： 目标层O，准则层C，方案层P； 每层有若干元素， 各层元素用直线相连 重要性：用权重表示 两两比较 确定各准则对目标的权重重要性百分比 各方案对每一准则的权重 综合各组权重：确定各方案对目标的权重,旅游地选择,目标层,准则层,方案层,基本步骤, 递节层次结构最上层 目标层中间层 准则层最下层 方案层 例：,（1）确定层次,（2）构造两
3、两比较矩阵,定性 量化: 两两比较,某层 n 个元素,上层元素,取元素 Ci, Cj 比较 量化 aij Ci, Cj 对 O 的权重,比较下层元素对上层元素的影响,比较尺度: aij 1 同等 3 稍强 5 强 7 很强 9 绝对强中间值 2 4 6 8 且 aji=1/aji,两两比较矩阵,A=(aij)nn 也称为正互反矩阵。,如模型1 建立层次分析模型： 第二层对第一层进行 C52=10 次比较 例: P1:P2=3 P2:P4=2 另: 可推得: P1:P4=6但: P1:P4=5说明什么?,这一点称为比较判断矩阵的不一致性,理论分析,i与j比较,j与k比较,i与j比较,A=(aij
4、)nn : aij ajk = aik, 一致性矩阵,一致性指标-允许范围,否,aij ajk aik,（3）计算权重向量,若元素 C1, C2, Cn对 O 的重要性量化比较权重 令其为 ( w1, w2, , wn ) 则: 比较矩阵为,A=(aij)n: aijajkaik,反过来？,由判断矩阵 计算被比较元素对于该准则的相对权重 进行判断矩阵的一致性检验,( w1, w2, , wn ),当A=(aij)n ：一致 权重向量： W=( w1, w2, , wn )T 则：近似有,于是得: 计算权向量方法,特点:,1、R(A) = 1 , = n,2、AW,特征值、向量定义,= n W,
5、计算权向量方法,特征根法 求 A 的最大正特征根 求 A 的对应于 的特征向量 ( w1, w2, , wn ) Matlab命令: V,D=eig（A） sum 模型一,l01.m,Matlab得: =4.2137 W=0.4969 0.2513 0.1386 0.1132,景色 吃住 费用 交通,另有,近似算法：和法 将 A 的每一列向量归一化,c,将 bij 按行求和得,将 ci 归一化得 W = ( w1, w2, , wn ),最大特征值,当 A 不一致时, n 记 A=A + ,则由 AW = W 或 AW + W = nW+( -n)W 即: 当( -n)很小时, A与A 的不一
6、致误差很小 于是有:,（4）一致性检验,当 CR 0.1 时, 通过一致性检验,一致性指标 CI= ( -n)/(n-1),随机一致性指标 RI 表,一致性比率 CR=CI/RI,模型一,一致性检验CIA= ( -n)/(n-1) =0.0712；RIA = 0.9CRA= CI/RI = 0.07910.1通过一致性检验 即: 此家庭对 景 吃 费 行的权重为 0.4969 0.2513 0.1386 0.1132,=4.2137 W=0.4969 0.2513 0.1386 0.1132T,（5）组合权向量及一致性检验,计算各层元素对于系统目标的总排序权重,并进行排序,组合权向量: 底层
7、顶层,权,W(2),W1(3), W2(3) Wn(3),W(3),方案对决策的权重,求组合权向量方法,用第i层权重向量,i,i-1,i+1,第i+1层对i1层的组合权向量,W(2),W1(3), W2(3) Wn(3),W(3),对下层权重向量,加权平均,求组合权向量方法,2层对1层: W(2) 归一化 3层对2层: W1(3), W2(3) Wn(3)矩阵 X(3) 则: 3层对1层组合权向量为W(3) = X(3) W(2),准则,方案,准则对决策,方案对决策,组合一致性检验,下层一致性指标,一致性指标 CI= ( -n)/(n-1) 随机一致性指标 RI 表 一致性比率 CR=CI/R
8、I,2层对1层: CR(2) = CI(2) /RI(2)3层对2层: CI1(3),CI2(3),CIn(3); RI1(3),RI2(3),RIn(3) 令: CI (3)= (CI1(3),CI2(3),CIn(3) W(2)RI (3)= (RI1(3),RI2(3),RIn(3) W(2) 一致性比率 CR (3) = CR(2)+(CI (3)/ RI (3) 一致性检验 CR (3) 0.1,第i层权重向量：加权平均,组合一致性比率：CR i+1两层相加,第i+1层对i1层的一致指标CI i+1和RI i+1,模型一,两两比较矩阵,特征值特征向量 =3.002，W1=0.6026
9、 0.0823 0.3150 =3.080，W2=0.0702 0.3707 0.5590 =3.094，W3=0.0989 0.3643 0.5368 =3.065，W4=0.2790 0.6491 0.0719 =4.2137, WA=0.4969 0.2513 0.1386 0.1132 组合权向量： W (3) = (W1, W2，W3，W4) W= W(3) W(2),W= 0.3624 0.2580 0.3796T,l02.m,Matlab计算,一致性检验：,CI1=0.002/2=0.001; CI2=0.04; CI3=0.047; CI4=0.0325CR1=0.001/0.
10、58=0.0017; CR2=0.069; CR3=0.081; CR4=0.056;CIA=0.0155/3=0.0712；CRA= 0.0712 /0.9=0.0792,未通过一致性检验,相对一致性指标均0.1，通过一致性检验。,组合一致性： CI (3)= (CI1(3),CI2(3),CIn(3) W(2) =0.0208RI (3)= (RI1(3),RI2(3),RIn(3) W(2)=0.0358 一致性比率 CR (3) = CR(2)+(CI (3)/ RI (3)=0.11500.1,另：,A=1 2 3 4;1/2 1 2 2;1/3 1/2 1 1;1/4 1/2 1
11、1;,答案,组合权向量 W (3) = .3617, .2538, .3845T A、B、C三个旅游点相对旅游目标来说 综合打分结果是：P3 点为首选，P1 次之，P2 点应予以淘汰。,Mathematic Modeling,小结:,建立层次结构 用比例尺度构造对比矩阵A=(aij)nn 计算权向量(特征向量法), , ( w1, w2, , wn )并做一致性检验CI= ( -n)/(n-1), RI, CR=CI/RI 0.1 计算组合权向量,W(3) =(W1(3), W2(3) Wn(3)W(2)做组合一致性检验CR (3) = CR(2)+(CI (3)/ RI (3) 决策,3、模
12、型二 足球队实力排序,世界杯6月12日 九八：三十二只劲旅逐鹿法兰西 球赛的胜败： 实力、运气、发挥 英格兰与阿根廷的相遇让人惋惜 上届冠军巴西与无冕之王荷兰的比赛被称为提前上演的冠亚军决赛 同为战平的比利时和智利命运却不同 有人认为：偶然性是足球更具魅力 社会学、心理学 不讨论 实力水平 排序,应用层次分析法,建立层次结构：两层 只在一层比较 构造对比矩阵：64场比赛结果,A=(aij)3232,aij 为球队 Ti 与球队 Tj 的实力标尺 （i、j=1，232分别代表巴西、英格兰） 则： aij0 aji=1/ aij （ aij0） aij=1 aij=0 （ Ti与Tj成绩残缺）,层
13、次分析法理论,构造？,令：,Ti与Tj 战平 Ti靠点球大战战胜Tj Ti靠金球战胜Tj Ti九十分钟比赛中净胜Tj队k球（1k6） Ti净胜Tj队6球以上,1 同等 3 稍强 5 强 7 很强 9 绝对强,残缺判断矩阵：,层次分析法理论,求解：,主特征根、主特征向量 matlab 得：,一致性检验 一致性指标,通过检验,结果分析,计算结果实力排序： 法国 巴西 挪威 意大利 丹麦 摩洛哥 巴拉圭 尼日利亚 西班牙 克罗地亚 阿根廷 苏格兰 荷兰 智利 南非 保加利亚 沙特 奥地利 喀麦隆 罗马尼亚 比利时 英格兰 牙买加 德国 墨西哥 日本 南斯拉夫 哥伦比亚 韩国 突尼斯 伊朗 美国 国际
14、足联的排序 法国 巴西 克罗地亚 荷兰 阿根廷 意大利 德国 丹麦 英格兰 南斯拉夫 罗马尼亚 尼日利亚 墨西哥 巴拉圭 挪威 智利 西班牙 摩洛哥 比利时 伊朗 哥伦比亚 牙买加 奥地利 南非 喀麦隆 突尼斯 苏格兰 沙特 保加利亚 韩国 日本 美国 挪威：战胜实力强劲的巴西，与意大利战平 伊朗：被认为是表现最好的亚洲队，但输给德国、南斯拉夫，以小比分赢美国应对排名影响不大 亚洲队？,关于中国足球,二、公平的席位分配,问题提出：分配代表席位 比例加惯例,公平席位分配,原因 20个,丙多占0.6 21个,不充分的席位都在增加,问题:分配不公,公平席位分配,模型构造,符号假设不公平例： 120:
15、10 100:102 另： 1020:10 1000:102 改进,1、衡量公平分配席位的指标确立,两方： 甲A 乙B 人数： p1 p2 席位： n1 n2 每席代表人数： p1/ n1 ? p2 / n2,程度,绝对不公平值,公平席位分配,改进 对A相对不公平值对B例： 120:10 100:102 0.2 另： 1020:10 1000:102 0.02 目标：rA, rB 尽量小,绝对不公平值,基数,公平席位分配,假设 A,B 占有 n1,n2 席 加1席不妨设 p1/n1p2/n2 代表指数 则 p1/(n1 +1)p2/n2 -Ap1/(n1 +1)p2/n2 对B不公平值(相对)
16、rB(n1 +1,n2)= -1,2、确定分配方案,公平席位分配,p1/n1p2/(n2 +1)对A 不公平值(相对)rA(n1,n2 +1)= -1,比较不公平值(相对) 对B rB(n1 +1,n2)= -1对A rA(n1,n2 +1)= -1,?小,判别法：Q 值法,?小,条件1与此式等价推广,公平席位分配,?大,模型求解：,各系人数：甲 103、乙 63、丙 34 分3席： n1=1 n2=1 n3=1 应用 Q 值法分4、5、18席19席： n1=10 n2=6 n3=3 第20席： Q1=1032/(1011)=96.4Q2=632/(67)=94.5Q3=342/(34)=96
17、.3 则分配： n1=11 n2=6 n3=3 第21席： Q1=80.4 Q2=94.5 Q3=96.3 则分配： n1=11 n2=6 n3=4,应用 Q 值法,?公平,n1=10 n2=6 n3=4,公平席位分配,进一步的讨论,Q值方法比“比例加惯例”方法更公平吗？,席位分配的理想化准则,已知: m方人数分别为 p1, p2, , pm总人数 P= p1+p2+pm, 待分配的总席位N,理想情况下m方分配的席位分别为n1,n2, , nm n1+n2+nm=N,记qi=Npi /P, i=1,2, , m,ni 应是 N和 p1, , pm 的函数ni = ni (N, p1, , pm
18、 ),若qi 均为整数，显然应 ni=qi,qi=Npi /P不全为整数时?,ni 应满足,记 qi =floor(qi) 向 qi方向取整qi+ =ceil(qi) 向 qi方向取整.,1) qi ni qi+ (i=1,2, , m),2) ni (N, p1, , pm ) ni (N+1, p1, , pm) (i=1,2, , m),即ni 必取qi , qi+ 之一,即当总席位增加时， ni不应减少,“比例加惯例”方法满足 1），但不满足 2）,Q值方法满足 2）,但不满足 1）。令人遗憾！,能不能找到一个分配方法既满足1）又满足2）呢？,pi ni qi,另,总人数 p=pi ，总席位 n=ni 按人数比例 则则几何平均（平方）,公平席位分配,END,
