1、15第二章：二阶张量1. ijTijjij ij;Tgggijiijij 2. T.uijijij ijj j(= u;Tu) gg.g3. i.jdet)行列式不等于零的二阶张量定义为正则二阶张量正则二阶张量存在逆张量： 1=G4.主不变量 1)()()Tu(vw+Tv+uvTwu(v)（ 1.:ir)()()ijkjS(（ mmijk.ijk.jik.ijS由于 0ikikmmik.ik.ik.iSTT当 当中有两个相等时，,j 0ikS当 时i ijkmijk.ijnotsuijk.ijkS(T)T 2)()()()uvw+vw)+uvTwuv（ 2.12132313223113ijlm
2、ijilj jTT注意： 是张量的分量ijijklml16张量 T 行列式中各阶主子式之和 )()()()ijkjSuvwu(vw+uTvw+Tuv（其中 .( )mnmnnmijkijkjkikijS.0iiiiinkmikTS当 当中有两个相等时，i,j 0ikS当 时 121232313( )ijjijkjkiikijk ijnotsumijkijijkSTTT ()()det()uvwuvw()ijklmnl ijklTteTv ()dt()Tvt)()eTuwuwv由于上式对任意矢量 u 都成立()dt()eTTvv主不变量与矩之间的关系*12.*3()ikijirTT17221ij
3、klijjil.j*T(T)()3*3*11261( )( )6)6ijklmnijkijjikijjikikjkjii ieTTTT二阶张量标准形1.特征值、特征向量Tv()G01112322331 0TT特征方程 213特征根是不变量2. 实对称二阶张量标准形1.特征根是实根* ; ; ()0 NvvNvvv2.特征向量互相正交 12211212 ; ;()0NvvvNv3. 不存在约当链如果 是 n 重根，但不存在相应的特征向量 ,使12v1812 ;Tvv则一定存在约当链 121v然而对对称张量121212110Nvvv这是不可能的。标准形 1231232iiNgggg由于 互相垂直，
4、可取 （单位正交向量）123, ie3 维空间非对称二阶张量标准形虚根总是成对出现 *Tvv重根必然是实根不同特征根所对应特征向量必线性无关 1231231213233 cccorgTTggg19互不相等的实根1232iiTggg基矢量不一定互相正交有一对共轭虚根31211231122()()()iiigTggT因此 123211()ii gggg无约当链与互不相等实根情况相同有一阶约当链3121Tg因此 12321iiTgggg有二阶约当链12132Tg因此 1232311ii gggg约当链存在的条件： n 重特征根 只有 m (mn) 个独立的特征向量例题 1：求 标准形1132324T
5、eee20特征矩阵2014123334 (2 fre);),()gg所以存在三个特征向量 11321321233125();g;eeeeg134Tg例题 2：求 标准形11323234eee特征矩阵 0241233334 (021 fre);),(),(gg所以存在二阶约当链 11231232123332134 ;(944(); )g;eeTgeege1 24Tgg第八讲 特殊张量的标准型改变基底矢量必然改变分量 iiGg寻求一组矢量 使iiiTg特征方程 32130对称张量的标准型21在直角坐标系下 是对称矩阵，所以：一定存在三个实特征根，三个实特i.jN征向量（彼此正交）所以 123212
6、3iiNgggee为单位化的特征向量i特征值的求法：令 ；PD13G则 13DN()Ngg321132 3131212 31213121070DDDD()()()();特征方程 的通3230解把 看作是应力张量，则它的特N征值就是主应力 ，特征向量为i主方向 123,i所对应的截面上的面力()ni1233N) pi面力沿法线方向的分力 1112323()()()NNn nii1i 2i3inp22面力在截面内的分量（切向分量） 1112233123()()()(3NNNnDpiiii切线分量的大小 22213123222213()()3 ()0DDDas 应力主方向在截面上的投影 112323
7、123()()3iniiiii相应的单位向量 112323123()6()6iiiiii因为 ，所以它们之间的夹角都是21ii 231112312222123332363 D DD() cos()cos()() iii23为 与 间的夹角。所以3i1232cos()3cos()DD由于 3/2 3/231238cs()os(c)cos()737DD D这是因为： 2222232 2cos()s()cs()sin()i13o4cs()cos()s()o(cos()341(cs()csin(2)sio(1co() 3 s()4第九讲 正交张量定义： ()RuvTT()uGv0R性质： （等于 1
8、为正常正交张量）det()24 ()()Ruvuv()()det()()TwRwRvvRuvv *() 1Rv所以 312;cosin();cos()in()因此321 2131122()(cs)i()oncs()i()incosi iRgggRg12 121212123( in()() gRgg特征向量的正交性：将上式左端做点积，根据正交张量的保内积性质可得；313132cos()sin()ggg323132sin()cos()ggg312()i()0sincsdet12osin()1cos()A121230;Rgg3302112121 1221122cos()sin()sin()incoc
9、os() whe0si()s()0coindts(A gggg2110g所以，可以把它们取成标准正交基底矢量：25123ge标准型 1212123(cos)in()(cos)in()Reeee意义：绕旋转轴 转动 角312212333()i()cscos(s)GeeG第十讲：反对称二阶张量的标准形 定义： T 特征方程： 320*u=u=因为： *TT*()()u*0u所以 1230;ii性质： 0T()v=vuu特征方程 32213()0;0ii32121()()iigg因此263211g0特征向量的性质： 32321111200 33gggg1212gg所以特征向量是彼此相互垂直的，并且可
10、以取为标准正交基底标准形 21232133()eeeeG3uu反偶矢量整体表示： 21221131: :()ijkjkijjiieeee反对称张量与对偶矢量的关系2733121ijkjkijjee二阶张量的极分解 二阶张量的幂5TT对于对称张量12322 21 3123nnnNNggg正张量： 0(foray)uu0非负张量： 由于 （ ）2213Niig正张量 00;非负张量 123;对于非负张量： 11123123mmmNNggg2由任意二阶张量构造的非负张量 0 ;TT如果 正则张量，则det();TT这是因为： ()0 )TTTuu 正则张量极分解RUV28证明：是正张量（正定、对称）TU令 ，则1R11TTTTTT()G说明它是正交张量，从证明过程中可见 的分解是唯一的。TRUTRUR所以（对称、正定）V 正交相似张量则称 与 相似。1ASBA如果 ，则称 与 正交相似。R1uuBSuvS特征值相同；特征向量 vSu29
