1、1,仰囱簧曾咽单锈衰扩烤履调函貉领栅枚诸郧劫澈楚臣摹彝残做颂尾宫杜膜邱婉玲耿素云离散数学ch01邱婉玲耿素云离散数学ch01,2,主要内容 命题逻辑基本概念 命题逻辑等值演算 命题逻辑推理理论 一阶逻辑基本概念 一阶逻辑等值演算与推理,第一部分 数理逻辑,莫曝万怠碗钩化妖晒墅稳庇叛插洞玲违谬往箕渐未滔囤胶悯驮哗玻泊衅延邱婉玲耿素云离散数学ch01邱婉玲耿素云离散数学ch01,3,第一章 命题逻辑的基本概念,主要内容 命题与联结词命题及其分类联结词与复合命题 命题公式及其赋值,驹粮蜀横总茹曙肖舅旷桃值纹遭缨幅傅寻馋瘴办驭兆蓝涪伊傍蓄谴煤照绪邱婉玲耿素云离散数学ch01邱婉玲耿素云离散数学ch01
2、,4,命题与真值命题：判断结果惟一的陈述句命题的真值：判断的结果真值的取值：真与假真命题与假命题 注意： 感叹句、祈使句、疑问句都不是命题 陈述句中的悖论，判断结果不惟一确定的不是命题,1.1 命题与联结词,绵檬宗炙聂遇撒徊肘抿葛曰竣球类铺坐聘除怪睬循宾羔约环铲梯未秉勃别邱婉玲耿素云离散数学ch01邱婉玲耿素云离散数学ch01,5,例1 下列句子中那些是命题？(1) 是有理数.(2) 2 + 5 = 7.(3) x + 5 3.(4) 你去教室吗？(5) 这个苹果真大呀！(6) 请不要讲话！(7) 2050年元旦下大雪.,假命题,命题概念,真命题,不是命题,不是命题,不是命题,不是命题,命题，
3、但真值现在不知道,缴攒饯逮脉徐瓣刮恤宅揪喀壶皿蘸铭峻羡白倔方席钓升子侗饿拢别酒贫脖邱婉玲耿素云离散数学ch01邱婉玲耿素云离散数学ch01,6,命题分类：简单命题（也称原子命题）与复合命题 简单命题符号化 用小写英文字母 p, q, r, , pi, qi, ri (i1)表示简单命题 用“1”表示真，用“0”表示假例如，令 p： 是有理数，则 p 的真值为0，q：2 + 5 = 7，则 q 的真值为1,命题分类,礼痢鬃枚脓咋亩章恍悦淳咸砰钳跟键冠秃密桌厨嫂着撵浴处坚勃阐么笨柏邱婉玲耿素云离散数学ch01邱婉玲耿素云离散数学ch01,7,否定、合取、析取联结词,定义1.3 设p, q为两个命题
4、，复合命题“p或q”称作p与q的析取式，记作pq，称作析取联结词. 规定pq为假当且仅当p与q同时为假.,定义1.1 设 p为命题，复合命题“非p”(或“p的否定”)称为p的否定式，记作p，符号称作否定联结词. 规定p 为真当且仅当p为假.,定义1.2 设p,q为两个命题，复合命题“p并且q”(或“p与 q”)称为p与q的合取式，记作pq，称作合取联结词. 规定pq为真当且仅当p与q同时为真.,望婿眠舆挠槐蒜矛洪沟押烧泡费惦艰豫剑秦脊凳脐吏烂寐展踌屯几抉侣匿邱婉玲耿素云离散数学ch01邱婉玲耿素云离散数学ch01,8,例2 将下列命题符号化.(1) 吴颖既用功又聪明.(2) 吴颖不仅用功而且聪
5、明.(3) 吴颖虽然聪明，但不用功.(4) 张辉与王丽都是三好生.(5) 张辉与王丽是同学.,合取联结词的实例,敢很咎培曼城舔遁割彪薛尸简塘柑翔燥企申阿压蝎汤嗡冲绍藉野耶轿尾漫邱婉玲耿素云离散数学ch01邱婉玲耿素云离散数学ch01,9,解 令p:吴颖用功, q:吴颖聪明(1) pq(2) pq(3) pq(4) 设p:张辉是三好生, q:王丽是三好生pq(5) p:张辉与王丽是同学(1)(3) 说明描述合取式的灵活性与多样性 (4)(5) 要求分清 “与” 所联结的成分,合取联结词的实例,呛痘药改升杏虹有脓宿酮驭池宫役孪吴魁扶矿鸯劳骤啦苔聋峦治将坊血蘑邱婉玲耿素云离散数学ch01邱婉玲耿素云
6、离散数学ch01,10,例3 将下列命题符号化 (1) 2 或 4 是素数. (2) 2 或 3 是素数. (3) 4 或 6 是素数. (4) 小元元只能拿一个苹果或一个梨. (5) 王小红生于 1975 年或 1976 年.,析取联结词的实例,顺旧软翰预碉士层乓谍踌檄凛趴毡颂捕蠕逾匀建递蚁丫烟廷迢倔婪坐葫烘邱婉玲耿素云离散数学ch01邱婉玲耿素云离散数学ch01,11,解 (1) 令p:2是素数, q:4是素数, pq (2) 令p:2是素数, q:3是素数, pq (3) 令p:4是素数, q:6是素数, pq (4) 令p:小元元拿一个苹果, q:小元元拿一个梨(pq)(pq) (5)
7、 p:王小红生于 1975 年, q:王小红生于1976 年, (pq)(pq) 或 pq(1)(3) 为相容或 (4)(5) 为排斥或, 符号化时(5)可有两种形式，而(4)则不能,析取联结词的实例,目巫决价祟轩淌纯鼎漓废奔枉扫酞辨慌周嘴鸯晚惠盛硝绑搓虽癣煌咽悍宰邱婉玲耿素云离散数学ch01邱婉玲耿素云离散数学ch01,12,定义1.4 设p, q为两个命题，复合命题“如果p, 则q”称作p与q的蕴涵式，记作pq，并称p是蕴涵式的前件，q为蕴涵式的后件，称作蕴涵联结词. 规定：pq为假当且仅当p为真q为假.,蕴涵联结词,(1) pq 的逻辑关系：q为 p 的必要条件 (2) “如果 p, 则
8、 q” 有很多不同的表述方法：若p，就q只要p，就qp仅当q只有q 才p除非q, 才p 或 除非q，否则非p， (3) 当 p 为假时，pq恒为真，称为空证明(4) 常出现的错误：不分充分与必要条件,房皿蓟八孝肿赫利垂瓜询脸制毕烈恨许张音俄滩芯渭约湍肯拯钉蛹怎貉盎邱婉玲耿素云离散数学ch01邱婉玲耿素云离散数学ch01,13,例4 设 p：天冷，q：小王穿羽绒服，将下列命题符号化 (1) 只要天冷，小王就穿羽绒服. (2) 因为天冷，所以小王穿羽绒服. (3) 若小王不穿羽绒服，则天不冷. (4) 只有天冷，小王才穿羽绒服. (5) 除非天冷，小王才穿羽绒服. (6) 除非小王穿羽绒服，否则天
9、不冷. (7) 如果天不冷，则小王不穿羽绒服. (8) 小王穿羽绒服仅当天冷的时候.,蕴涵联结词的实例,pq,注意： pq 与 qp 等值（真值相同）,pq,pq,qp,qp,pq,qp,qp,谓问散吹词限江类缅围惰田婶恼追拼队仆耐输喊肯沸嚏叶酪往谍区湘恼柜邱婉玲耿素云离散数学ch01邱婉玲耿素云离散数学ch01,14,定义1.5 设 p, q为两个命题，复合命题“p当且仅当q”称作p与q的等价式，记作pq，称作等价联结词. 规定pq为真当且仅当p与q同时为真或同时为假. pq 的逻辑关系：p与q互为充分必要条件,等价联结词,例5 求下列复合命题的真值 (1) 2 + 2 4 当且仅当 3 +
10、 3 6. (2) 2 + 2 4 当且仅当 3 是偶数. (3) 2 + 2 4 当且仅当 太阳从东方升起. (4) 2 + 2 4 当且仅当 美国位于非洲. (5) 函数 f (x) 在 x0 可导的充要条件是 它在 x0 连续.,1,0,0,1,0,又秒弃叮播玄镜僧风髓绚露乐幼索搞沼熔宾辐才骡淡让晦盆彝梆锤俊仓疆邱婉玲耿素云离散数学ch01邱婉玲耿素云离散数学ch01,15,本小节中p, q, r, 均表示命题.,联结词集为, , , , ，p, pq, pq, pq, pq为基本复合命题. 其中要特别注意理解pq的涵义. 反复使用, , , , 中的联结词组成更为复杂的复合命题.设 p
11、: 是无理数，q: 3是奇数， r: 苹果是方的， s: 太阳绕地球转则复合命题 (pq) (rs) p) 是假命题.,小 结,联结词的运算顺序：, , , , , 同级按先出现者先运算.,血诧龋椿歧颂氰郴盅虎克阉砰年疟蚁本窑碴喂殴番显郝氮痹豢文黑硷目纹邱婉玲耿素云离散数学ch01邱婉玲耿素云离散数学ch01,16,1.2 命题公式及其赋值,命题变项与合式公式 命题变项 合式公式 合式公式的层次 公式的赋值 公式赋值 公式类型 真值表,映篮应副危芦恒数寞缮稻镐盼嗡螟偷年关叠漏芋细肄凑湛矫丝褐走糖昏祟邱婉玲耿素云离散数学ch01邱婉玲耿素云离散数学ch01,17,命题变项与合式公式,命题常项命题
12、变项（命题变元）常项与变项均用 p, q, r, , pi, qi, ri, , 等表示.,定义1.6 合式公式（简称公式）的递归定义：(1) 单个命题变项和命题常项是合式公式, 称作原子命题公式(2) 若A是合式公式，则 (A)也是(3) 若A, B是合式公式，则(AB), (AB), (AB), (AB)也是(4) 只有有限次地应用(1)(3) 形成的符号串才是合式公式,几点说明： 归纳或递归定义, 元语言与对象语言, 外层括号可以省去,距稳塘酗儒省石葫隙猛吝童益嫁眺蹬雅徊腿窍术魁郝犯芝筏玛尖遮讫悲碘邱婉玲耿素云离散数学ch01邱婉玲耿素云离散数学ch01,18,合式公式的层次,定义1.7
13、 (1) 若公式A是单个命题变项，则称A为0层公式. (2) 称 A 是 n+1(n0) 层公式是指下面情况之一：(a) A=B, B 是 n 层公式；(b) A=BC, 其中B,C 分别为 i 层和 j 层公式，且 n=max(i,j)；(c) A=BC, 其中 B,C 的层次及 n 同(b)；(d) A=BC, 其中B,C 的层次及 n 同(b)；(e) A=BC, 其中B,C 的层次及 n 同(b). (3) 若公式A的层次为k, 则称A为k层公式.例如 公式 A=p, B=p, C=pq, D=(pq)r, E=(pq) r) (rs)分别为0层，1层，2层，3层，4层公式.,桓任猫研
14、嗽殴柠音看寞扰挪霓壬害檄伏仲槽绸妙十息并扬癌褂隔倘诸氯管邱婉玲耿素云离散数学ch01邱婉玲耿素云离散数学ch01,19,定义1.8 设p1, p2, , pn是出现在公式A中的全部命题变项, 给p1, p2, , pn各指定一个真值, 称为对A的一个赋值或解释. 若使A为1, 则称这组值为A的成真赋值; 若使A为0, 则称这组 值为A的成假赋值.几点说明： A中仅出现 p1, p2, , pn，给A赋值=12n是指p1=1, p2=2, , pn=n, i=0或1, i之间不加标点符号A中仅出现 p, q, r, , 给A赋值123是指p=1, q=2 , r=3 含n个命题变项的公式有2n个
15、赋值.如 000, 010, 101, 110是(pq)r的成真赋值001, 011, 100, 111是成假赋值.,公式赋值,吻吃赘谚缔岁唐佬荣鞘便虞唯榆筛喀扦磕招弊赘重沂犊巴蛤央去纳霄看大邱婉玲耿素云离散数学ch01邱婉玲耿素云离散数学ch01,20,定义1.9 将命题公式A在所有赋值下取值的情况列成表, 称作 A的真值表.构造真值表的步骤: (1) 找出公式中所含的全部命题变项p1, p2, , pn(若无下角标则按字母顺序排列), 列出2n个全部赋值, 从000开始, 按二进制加法, 每次加1, 直至111为止. (2) 按从低到高的顺序写出公式的各个层次. (3) 对每个赋值依次计算
16、各层次的真值, 直到最后计算出公式的真值为止.,真值表,痕丰埃篇啤麻谓峡哉缺币轨晾倚同逢锭蕉瓜件袁活斤坏商钻区焰颗灌鼎舅邱婉玲耿素云离散数学ch01邱婉玲耿素云离散数学ch01,21,例6 写出下列公式的真值表, 并求它们的成真赋值和成假赋值:(1) (pq) r(2) (qp) qp(3) (pq) q,真值表,熄示猛骄官猜改慑垫诧追敝迄揭捌判遭易咎烙烹譬释绪勋灰锭怯报握奠硷邱婉玲耿素云离散数学ch01邱婉玲耿素云离散数学ch01,22,(1) A = (pq) r,成真赋值:000,001,010,100,110; 成假赋值:011,101,111,真值表1,羞揉种踩很忽骨沦陛夜疵范关疡观
17、佯勿班岗龚孔弃束宁辙裳斧剿屡聊痛钝邱婉玲耿素云离散数学ch01邱婉玲耿素云离散数学ch01,23,(2) B(qp)qp,成真赋值:00,01,10,11; 无成假赋值,真值表2,猩杜狸救块矣戏平筹肇准奢恼革厄讲砾抖维钱坏瓷闺识挟祸蛔上弦羽怯阂邱婉玲耿素云离散数学ch01邱婉玲耿素云离散数学ch01,24,(3) C (pq)q的真值表,成假赋值:00,01,10,11; 无成真赋值,真值表3,玲雕忱劈龟奸反夸札阿鞘宇歼粮圭奇重滓熟滴瓤市后甲窗召姆筑辖派蛹拖邱婉玲耿素云离散数学ch01邱婉玲耿素云离散数学ch01,25,公式的类型,定义1.10 (1) 若A在它的任何赋值下均为真, 则称A为重
18、言式或永真式; (2) 若A在它的任何赋值下均为假, 则称A为矛盾式或永假式; (3) 若A不是矛盾式, 则称A是可满足式.由例1可知, (pq) r, (qp) qp, (pq) q分别为非重言式的可满足式, 重言式, 矛盾式. 注意：重言式是可满足式，但反之不真.真值表的用途:求出公式的全部成真赋值与成假赋值, 判断公式的类型,苍卵摩距揭怀他鸳等琐尝斤淳苹恬犁娩鲍被筷哇忿吓学丰冷雌庭岗来猫滞邱婉玲耿素云离散数学ch01邱婉玲耿素云离散数学ch01,26,第一章 习题课,主要内容 命题、真值、简单命题与复合命题、命题符号化 联结词, , , , 及复合命题符号化 命题公式及层次 公式的类型
19、真值表及应用 基本要求 深刻理解各联结词的逻辑关系, 熟练地将命题符号化 会求复合命题的真值 深刻理解合式公式及重言式、矛盾式、可满足式等概念 熟练地求公式的真值表，并用它求公式的成真赋值与成假赋值及判断公式类型,钢胸葛勃延拦纹粕抉川宣逛伞温广强前烩蹭净筹吸砚钙同播掇烁僵执炽噎邱婉玲耿素云离散数学ch01邱婉玲耿素云离散数学ch01,27,1. 将下列命题符号化(1) 豆沙包是由面粉和红小豆做成的.(2) 苹果树和梨树都是落叶乔木.(3) 王小红或李大明是物理组成员.(4) 王小红或李大明中的一人是物理组成员.(5) 由于交通阻塞，他迟到了.(6) 如果交通不阻塞，他就不会迟到.(7) 他没迟
20、到，所以交通没阻塞.(8) 除非交通阻塞，否则他不会迟到.(9) 他迟到当且仅当交通阻塞.,练习1,吱寿打据蔑做父愈厦拳捎而拢近委概棕拌摆或紊瓶舒博浮零村萌枣胆呐涌邱婉玲耿素云离散数学ch01邱婉玲耿素云离散数学ch01,28,提示： 分清复合命题与简单命题 分清相容或与排斥或 分清必要与充分条件及充分必要条件 答案: (1) 是简单命题 (2) 是合取式 (3) 是析取式（相容或）(4) 是析取式（排斥或） 设 p: 交通阻塞，q: 他迟到(5) pq, (6) pq或qp(7) qp 或pq, (8) qp或pq(9) pq 或pq 可见(5)与(7)，(6)与(8) 相同（等值）,练习1
21、解答,韶肿公瞻虫康钻烘追舞托还第鸦么铰哦栓瓮要彻让胶哩屡春涩黔笺鳞狠梭邱婉玲耿素云离散数学ch01邱婉玲耿素云离散数学ch01,29,2. 设 p : 2是素数q : 北京比天津人口多r : 美国的首都是旧金山求下面命题的真值(1) (pq)r(2) (qr)(pr)(3) (qr)(pr)(4) (qp)(pr)(rq),0,练习2,1,0,0,竣淑挡淄窟颂喻择惰些川蜕烧违备焉擎拙柔栈蕾狱镰号献列胸尉欢醋励颅邱婉玲耿素云离散数学ch01邱婉玲耿素云离散数学ch01,30,3. 用真值表判断下面公式的类型(1) pr(qp)(2) (pq) (qp) r(3) (pq) (pr),练习3,迅赢
22、兆刮杏诵疯孜寄禾欣三诌蹦敲椅佃挡公碌禁思怨狄官互塔较肾逗膨铀邱婉玲耿素云离散数学ch01邱婉玲耿素云离散数学ch01,31,练习3解答,(1) pr(qp),矛盾式,从听针瘪摈锻嗅蹭挛储玲瑟作尤硬贿输欧笋蹬芍瞬构褂漆廷做鄙淤胞榆纂邱婉玲耿素云离散数学ch01邱婉玲耿素云离散数学ch01,32,练习3解答,(2) (pq) (qp) r,永真式,晌歇淀壁戒掘咨忆兔也潞蒜双僵冶芒丘歧廉挎尸使前潦图赣坞棵檄坤蛮伟邱婉玲耿素云离散数学ch01邱婉玲耿素云离散数学ch01,33,练习3解答,(3) (pq) (pr),非永真式的可满足式,沽化垣嘿赚爬壬逞琐街助轨虏志土轰鞠备踊袍佰戚害蚊滨菊浅负次虽耳臆邱婉玲耿素云离散数学ch01邱婉玲耿素云离散数学ch01,
