1、1,第7章 树,7.1 无向树及生成树 7.2 根树及其应用,2,7.1 无向树及生成树,无向树与森林 生成树与余树 基本回路与基本回路系统 基本割集与基本割集系统 最小生成树与避圈法,3,无向树,无向树: 无回路的连通无向图 平凡树: 平凡图 森林: 每个连通分支都是树的非连通的无向图 树叶: 树中度数为1的顶点 分支点: 树中度数2的顶点右图为一棵12阶树. 注:本章中所讨论的回路均指简单回路或初级回路,树的应用,英国数学家凯莱(Arthur Cayley)于19世纪中叶研究 饱和碳氢化合物CnH2n+2的同分异构体时提出树的概 念. 当n=1,2,3时, 都只有一棵非同构的树; 当n=4
2、时, 有2棵不同构的树.,4,5,无向树的性质,定理 设G=是n阶m条边的无向图, 则下面各命 题是等价的： (1) G是树(连通无回路); (2) G中任意两个顶点之间存在惟一的路径; (3) G中无回路且m=n1; (4) G是连通的且m=n1; (5) G是连通的且G中任何边均为桥; (6) G中没有回路, 但在任何两个不同的顶点之间加一条新边后所得图中有惟一的一个含新边的圈.,6,无向树的性质(续),定理 设T 是 n 阶非平凡的无向树，则T中至少有两片树叶. 证 设T有x片树叶, 由握手定理及前面的定理，2(n-1)x+2(n-x) 解得 x2.,7,例题,例1 已知无向树T中, 有
3、1个3度顶点, 2个2度顶点, 其余顶点全 是树叶. 试求树叶数, 并画出满足要求的非同构的无向树.,解 用树的性质m=n1和握手定理. 设有x片树叶，于是 n=1+2+x=3+x,2m=2(2+x)=13+22+x 解得x=3，故T有3片树叶.,T的度数列为1, 1, 1, 2, 2, 3,有2棵非同构的无向树.,8,例题,例2 已知无向树T有5片树叶, 2度与3度顶点各1个, 其余顶点 的度数均为4. 求T的阶数n, 并画出满足要求的所有非同构的 无向树.,解 设T的阶数为n, 则边数为n1, 4度顶点的个数为n7. 由握手定理得2m=2(n1)=51+21+31+4(n7) 解得n=8,
4、 4度顶点为1个.,T的度数列为1,1,1,1,1,2,3,4,有3棵非同构的无向树,9,生成树,设G为无向连通图 G的生成树: G的生成子图并且是树 生成树T的树枝: G在T中的边 生成树T的弦: G不在T中的边 生成树T的余树 : 所有弦的集合的导出子图 注意： 不一定连通, 也不一定不含回路. 黑边构成生成树 红边构成余树,10,生成树的存在性,定理 任何无向连通图都有生成树. 证 用破圈法. 若图中无圈, 则图本身就是自己的生成树. 否则删去圈上的任一条边, 这不破坏连通性, 重复进行直到无圈为止,剩下的图是一棵生成树.推论 设n阶无向连通图有m条边, 则mn1.,11,基本回路与基本
5、回路系统,定义设T是连通图G的一棵生成树, 对每一条弦e, 存在惟一的由弦e和T的树枝构成的初级回路Ce, 称Ce为对应于弦e的基本回路. 称所有基本回路的集合为对应生成树T的基本回路系统. 求基本回路的算法: 设弦e=(u,v), 先求T中u到v的路径uv, 再加上弦e. 例如 Ce=e b c, Cf=f a b c, Cg=g a b c d,C基=Ce, Cf, Cg.,12,基本割集与基本割集系统,定义设T是连通图G的一棵生成树, 对T的每一条树枝a, 存在惟一的由树枝a, 其余的边都是弦的割集Sa , 称Sa为对应树枝a的基本割集，称所有基本割集的集合为对应生成树T的基本割集系统.
6、 求基本割集的算法: 设a为生成树T的树枝, Ta由两 棵子树T1与T2组成, 则Sa=e | eE(G)且e的两个端点分别属于T1与T2 . 例如 Sa=a, f, g, Sb=b, e, f, g,Sc=c, e, f g, Sd=d, g,S基=Sa, Sb, Sc, Sd.,回路合并,合并回路C1和C2(C1C2): C1C2是C1和C2上的边的对称差构成的(一条或几条)回路.,13,基本回路的性质,连通图中的任一条回路都可以表成对应它所含弦的基本回路的合并.例如, abcf=Cf aef=CeCf aedg=CeCg bcdgfe=CeCfCg,14,基本割集的性质,连通图中的任一割
7、集都可以表成对应它所含树枝的基本割集的对称差.例如 g,d=Sd a,b,e=SaSb a,e,c=SaSc b,e,f,d=SbSd,15,16,无向图与最小生成树,对无向图或有向图的每一条边e附加一个实数w(e), 称作边e 的权. 图连同附加在边上的权称作带权图, 记作G=. 设T是G的生成树, T所有边的权的和称作T的权, 记作W(T).最小生成树: 带权图权最小的生成树避圈法 (Kruskal) 求最小生成树的算法 设G是n阶无向连通带权图G. (1) 按权从小到大排列边(环除外), 设W(e1)W(e2)W(em). (2) 令T, i1, k0. (3) 若ei与T中的边不构成回
8、路，则令TTei, kk+1. (4) 若kn-1, 则令ii+1, 转(3).,17,例 求图的一棵最小生成树,w(T)=38,实例,18,7.2 根树及其应用,有向树与根树 家族树与根子树 有序树 根树与有序树的分类r叉(有序)树, r叉正则(有序)树,r叉完全正则(有序) 树 最优2叉树与Huffman算法 前缀码与最佳前缀码 中序行遍法、前序行遍法、后序行遍法 波兰符号法与逆波兰符号法,19,有向树与根树,有向树: 基图为无向树的有向图 根树: 有一个顶点入度为0, 其余的入度均为1的非平凡的有向树 树根: 有向树中入度为0的顶点 树叶: 有向树中入度为1, 出度为0的顶点 内点: 有
9、向树中入度为1, 出度大于0的顶点 分支点: 树根与内点的总称 顶点v的层数: 从树根到v的通路长度 树高: 有向树中顶点的最大层数,20,根树(续),根树的画法:树根放上方,省去所有有向边上的箭头 如右图所示a是树根b,e,f,h,i是树叶c,d,g是内点a,c,d,g是分支点a为0层;1层有b,c; 2层有d,e,f;3层有g,h; 4层有i.树高为4,21,家族树,定义 把根树看作一棵家族树: (1) 若顶点 a 邻接到顶点 b, 则称 b 是 a 的儿子, a 是 b 的父亲; (2) 若b和c为同一个顶点的儿子, 则称b和c是兄弟; (3) 若ab且a可达b, 则称a是b的祖先, b
10、是a的后代.设v为根树的一个顶点且不是树根, 称v及其所有后 代的导出子图为以v为根的根子树.,22,根树的分类,有序树: 将根树同层上的顶点规定次序 r叉树:根树的每个分支点至多有r个儿子 r叉正则树: 根树的每个分支点恰有r个儿子 r叉完全正则树: 树叶层数相同的r元正则树 r叉有序树: 有序的r叉树 r叉正则有序树: 有序的r叉正则树 r叉完全正则有序树: 有序的r叉完全正则树,23,最优2叉树,定义 设2叉树T有t片树叶v1, v2, , vt, 树叶的权分别为w1, w2, , wt, 称 为T的权, 其中l(vi)是vi的层数. 在所有权为w1, w2, , wt 的t片树叶的2叉
11、树中, 权最小的2叉树称为最优 2叉树.,例如,W(T1)=47,W(T2)=54,W(T3)=42,24,求最优2叉树的算法,Huffman算法: 给定实数w1, w2, , wt, 作t片树叶, 分别以w1, w2, , wt为权. 在所有入度为0的顶点(不一定是树叶)中选出两个权最小的顶点, 添加一个新分支点, 以这2个顶点为儿子, 其权等于这2个儿子的权之和. 重复, 直到只有1个入度为0 的顶点为止. W(T)等于所有分支点的权之和,25,实例,例 求权为 1, 3, 4, 5, 6的最优树.,26,实例,例(续)W(T)=42, 前面的T3也是最优的.,27,前缀码,设 =12n-
12、1n是长度为n的符号串 的前缀: 12k , k=1,2,n-1,n 前缀码: 1, 2, , m, 其中1, 2, , m为非空字符串, 且任何两个互不为前缀 2元前缀码: 只有两个符号(如0与1)的前缀码如 0,10,110, 1111, 10,01,001,110是2元前缀码0,10,010, 1010 不是前缀码,28,前缀码(续),一棵2叉树产生一个二元前缀码: 对每个分支点, 若关联2条边, 则给左边标0, 右边标1; 若只关联1条边, 则可以给它标0(看作左边), 也可以 标1(看作右边). 将从树根到每一片树叶的通路上标 的数字组成的字符串记在树叶处, 所得的字符串构成 一个前
13、缀码. 例如,最佳前缀码,设要传输的电文中含有t个字符, 字符ai出现的频率 为pi, 它的编码的长度为li, 那么100个字符的电文的 编码的期望长度是100 . 称编码期望长度最小 的2元前缀码为最佳2元前缀码. 在用2叉树产生2元前缀码时, 每个二进制串的长度 等于它所在树叶的深度, 因而权为100p1, 100p2, , 100pt的最优2叉树产生的2元前缀码是最佳2元前缀 码. 于是, 给定字符出现的频率, 可以用Huffman算 法产生最佳2元前缀码.,29,30,实例,例 在通信中，设八进制数字出现的频率如下：0：25% 1：20% 2：15% 3：10%4：10% 5：10%
14、6：5% 7：5% 采用2元前缀码, 求传输数字最少的2元前缀码 , 并求传输 10n(n2)个按上述比例出现的八进制数字需要多少个二进制 数字？若用等长的 (长为3) 的码字传输需要多少个二进制数 字? 解 用Huffman算法求以频率(乘以100)为权的最优2叉树. 这 里 w1=5, w2=5, w3=10, w4=10, w5=10, w6=15, w7=20, w8=25.,31,例(续)编码: 0-01 1-112-0013-1004-1015-00016-000007-00001 传100个按比例出现的八进制数字所需二进制数字的个数 为 W(T)=285. 传10n(n2)个所用
15、二进制数字的个数为2.8510n, 而用等长 码(长为3)需要用 310n个数字.,32,行遍2叉有序树,行遍(周游)根树T : 对T 的每个顶点访问且仅访问一次. 行遍2叉有序树的方式： 中序行遍法: 左子树、根、右子树 前序行遍法: 根、左子树、右子树 后序行遍法: 左子树、右子树、根 当不是正则树时, 左子树或右子树可缺省例如, 中序行遍: b a (f d g) c e 前序行遍: a b (c (d f g) e) 后序行遍: b (f g d) e c) a,33,用2叉有序树表示算式,每一个分支点放一个运算符. 二元运算符所在的分 支点有2个儿子, 运算对象是以这2个儿子为根的根
16、 子树表示的子表达式, 并规定被减数和被除数放在 左子树上; 一元运算符所在的分支点只有一个儿 子, 运算对象是以这个儿子为根的根子树表示的子 表达式.数字和变量放在树叶上.,实例,例1 表示(b+(c+d)a)(ef)(g+h)(ij)的2叉有序树中序行遍: (b+(c+d)a)(ef)(g+h)(ij) 前序行遍: (b(cd)a)(ef)(gh)(ij) 后序行遍: (b(cd)a)(ef)(gh)(ij) 注:中序行遍的结果是原式,34,35,波兰符号法,波兰符号法(前缀符号法): 按前序行遍法访问表示算式的2叉有序树, 并舍去所有括号. 例1(续) b+cdaef+ghij 计算方法
17、: 从左到右, 每个运算符号对它后面紧邻的2个(或1个)数进行运算. 例1(续) 设a=3, b=1, c=d=2, e=f=3, g=i=1, h=j=2. 1+22333+1212, 14333+1212 5333+1212, (15)33+1212 (15)9+1212, (15)9312 (15)932, (15)96, (15)3, 5,36,逆波兰符号法,逆波兰符号法(后缀符号法): 按后序行遍法访问表示算式的2叉有序树, 并舍去所有括号. 例1(续) bcd+aefgh+ij 计算方法: 从右到左, 每个运算符号对它前面紧邻的2个(或1个)数进行运算. 例1(续) 122+33312+12 122+33312+2 , 122+33332 122+3336 , 122+396 122+33 , 14+33 , 533 , (15)3 , 5,实例,例2 用2叉有序树表示下述命题公式, 并写出它的波兰符号法和逆波兰符号法表达式.(pq)(pr)(qr) 解 波兰符号法表达式pqprqr 逆波兰符号法表达式pqprqr注: 当一元运算符在运算对象前面时, 应画成右儿子.,37,
