1、导数的概念及运算,考试说明,基础梳理,数量化,视觉化,1. 函数f(x)在区间x1,x2上的平均变化率(1)函数f(x)在区间x1,x2上的平均变化率为：f(x)在xx0处的瞬时变化率是(2)平均变化率是曲线陡峭程度的“ ”，或说，曲线陡峭程度是平均变化率的“ ”.,2. 函数f(x)在x=x0处的导数 （1）定义 设函数y=f(x)在区间(a,b)上有定义， 若x无限趋近于0时，比值 无限趋近于一个常数A，则称f(x)在x=x0处可导，并称该常数A为函数f(x)在x=x0处的导数，记作 .,(2)几何意义 函数f(x)在点x0处的导数f(x0)的几何意义是在曲线y=f(x)上点 处的 .相应
2、地，切线方程为 .,切线的斜率,提醒：函数yf(x)的一条切线L与该函数不一定只有一个公共点.,3. 函数f(x)的导函数若f(x)对于区间(a,b)内任一点都可导，则f(x)在各点的导数也随着自变量x的 而 ，因而也是自变量x的函数，该函数称为f(x)的导函数，记作 .,变化,变化,(C为常数)；,4. 基本初等函数的导数公式,5. 导数运算法则,四则运算法则之推论,6.复合函数的导数设uv(x)在点x处可导，yf(u)在点u处可导，则复合 函数fv(x)在点x处可导，即 .,应用一、利用导数的定义求导数,例1、用导数定义求函数 的导函数,例2、求下列函数的导数：,应用二、运用公式、导数运算
3、法则和复合函数求导,例3求下列函数的导数：,注意：在计算复合函数的导数，有时复合函数可以由几个基本初等函数（常见内函数由一次函数）组成，所以在求复合函数的导数时，先要弄清复合函数是由哪些基本初等函数复合而成的，特别要注意将哪一部分看作一个整体，然后按照复合次序逐步求导,应用三、运用导数物理意义求解问题,函数 的二阶导数 指 对自变量x的变化率。在物理量中最常用的为瞬时加速度，若 则物体在 时刻的加速度,函数 的一阶导数 指 对自变量 的变化率。在物理量中最常用的为瞬时速度，若 则物体在 时刻的瞬时速度,例4、一质点运动的方程为 . (1)求质点在1,1+t这段时间内的平均速度； (2)求质点在
4、t=1的瞬时速度.,解 （1）质点在1,1+t这段时间内的平均速度为（2）质点在t时刻的瞬时速度 ,当 时， .,物体在 时刻的瞬时速度为 .,练习: 以初速度 作竖直上抛运动的物体， 秒时的高度为 ,求物体在时刻 时的瞬时速度.,导数 的几何意义就是函数 在 处的切线的斜率，其切线方程为 一般地，切线斜率的绝对值越大，变化率就越大，弯曲程度越大；切线斜率的绝对值越小，变化率就越小，弯曲程度越小，即曲线比较平缓,应用四、运用导数几何意义求解问题,注意一、要准确理解曲线切线的概念：直线与曲线公共点的个数不是切线的本质特征如曲线ysinx与其切线y1有无数个公共点(切点）曲线未必在其切线的“同侧”
5、，例如曲线yx3虽然在直线y0两侧，但它却是曲线yx3在点(0,0)处的切线,注意二：要深刻体会切线定义中的运动变化思想：两个不同的公共点两公共点无限接近两公共点重合(切点)；割线切线,注意三：（1）在点P处的切线以点P为切点；（2）过点P的切线，则点P不一定是切点（也有可能是切点），需要设出切点坐标.,求曲线切线方程一般步骤：(1)求出函数yf(x)在点x0处的导数 ；(2)根据直线的点斜式方程，得切线方程,求曲线过点 的切线方程一般步骤,（1）设切点 ，并写出切线方程,（2）将点 带入 方程，解出点,（3）将 点带入 方程，化简即得到所求切 线方程,例5、已知曲线（1）求曲线在点P（2，4
6、）处的切线方程；（2）求曲线过点P（2，4）处的切线方程；（3）求一满足斜率为1的切线方程。,回顾（1）解决此类问题一定要分清是“在某点处的切线”，还是“过某点的切线”.（2）解决“过某点的切线”问题，一般是设出切点坐标(x0,y0) ,得出切线方程,然后把已知点代入切线方程求(x0,y0)，进而求出切线方程.,例6、已知曲线 与 ，若 分别在 点 处的切线是同一条直线 ，试求直线 方程。,应用五、导数几何意义综合运用,例7、 求曲线y=ln(2x-1)上的点到直线2x-y+3=0的最短距离.,求证一个量为定值，往往是引入参量，找到关系时 后，再想法消去它的过程,例9、已知函数 ，它们 的定义域是 ，其中是 自然对数的底。 （1）当 时，求函数 的最小值 （2）当 时，求证不等式 对一切 恒成立 （3）是否存在实数 ，使得 的最小值为3？如果 存在，求出 的值；如果不存在，说明理由。,b0，c1,
