1、信号分析与处理 Signal Analysis and Processing,主讲教师：牛晓颖河北大学质监学院,序 言,课程位置 主要内容 课程特点 学习方法 选用教材 参 考 书,课程位置,先修课 后续课程高等数学 通信原理线性代数 数字信号处理复变函数与积分变换 自动控制原理电路分析基础 ,本课程为电类专业的一门专业基础课，为后续的许多专业课打下了良好的基础，属于专业发展必修课程，希望大家能很好的掌握本门课程。,主要内容,本课程研究确定性信号经线性时不变系统传输与处理的基本概念与基本分析方法：主要研究连续时间信号与系统的分析从时间域到频域到复频域；从输入、输出描述到状态空间描述。,与电路分
2、析比较，更抽象，更一般化；应用数学知识较多，用数学工具分析物理概念常用数学工具：微分、积分(定积分、无穷积分、上限积分）线性代数 微分方程 傅里叶级数、傅里叶变换、拉氏变换 差分方程求解,z 变换 可以借助于MATLAB软件辅助学习,课程特点,注重物理概念与数学分析之间的对照，不要盲目计算；注意分析结果的物理解释，各种参量变动时的物理意义及其产生的后果；同一问题可有多种解法，应寻找最简单、最合理的解法，比较各方法之优劣；在学完本课程相当长的时间内仍需要反复学习本课程的基本概念。,学习方法,信号与线性系统分析（第三版） 吴大正 主编 该书基本概念清楚，数学推导严谨，理论系统性强，例题具有代表性，
3、图解说明性强，习题丰富，文字简洁,选用教材,(1) 郑君里等，信号与系统，北京:高教出版社(2) Alan V. Oppenheim（刘树棠译）. 信号与系统 . 西安 . 西安交通大学出版社, 1997(3) 管致中等 . 信号与线性系统 . 北京 :高等教育出版社, 1992 (4) 信号与系统常见题型解析及模拟题范世贵主编，西北工业大学出版社(5) 信号分析与处理：MATLAB语言及应用黄文梅、熊桂林、杨勇著，国防科技大学大学出版社,参考书,其他。,关于出勤,课堂纪律,关于作业,几点要求,拓宽加深部分,本书内容,第一章 信号与系统,1.1 绪 言1.2 信 号1.3 信号的基本运算1.4
4、 阶跃函数和冲激函数1.5 系统的描述1.6 系统的特性和分析方法,信号与系统要解决的问题,什么是信号？什么是系统？信号作用于系统产生什么响应？,1.1 绪言,一、信号的概念,消息（message）人们常常把来自外界的各种报道统称为消息。信息（information）通常把消息中有意义的内容成为信息。信号（signal）信号时信息的载体。通过信号传递信息。,为了有效地传播和利用信息，常常需要将信息转换成便于传输和处理的信号！,信号无处不在,通 讯古老通讯方式：烽火、旗语、信号灯近代通讯方式：电报、电话、无线通讯 现代通讯方式：计算机网络通讯、视频电视传播、卫星传输、移动通讯,生 活上课铃：声信
5、号红绿灯：光信号 电视机：电信号广告牌：图像信号、文字信号 ,信号无处不在,信号无处不在,二、系统的概念,系统（system）一般而言，系统是指若干相互关联的事物组合而成具有特定功能的整体。信号的产生、传输和处理需要一定的物理装置，这样的物理装置常称为系统。,手机、电视机、通信网、计算机网都可以看成系统。它们所传送的语音、音乐、图像、文字等都可以看成信号。,信号在系统中按一定规律运动、变化，系统对输入信号进行加工和处理，将其转换为所需要的输出信号。,系统,输入信号,激励,输出信号,响应,信号与系统的概念是紧密相连的！,输入信号称为激励，输出信号称为响应。,信号理论和系统理论涉及范围广泛，内容十
6、分丰富。,信号理论,信号分析,信号传输,信号处理,信号综合,系统理论,系统分析,系统综合,讨论信号的表示、信号的性质等,研究对于给定的系统，在输入信号的作用下产生的输出信号。,1.2 信号,物理上： 信号是信息寄寓变化的形式数学上： 信号是一个或多个变量的函数形态上： 信号表现为一种波形自变量： 时间、位移、周期、频率、幅 度、相位,信号的描述,信号的时间特性：表示为随时间变化的函数。 信号的频率特性：信号可以分解为许多不同 频率的正弦分量之和。,信号是信息的一种物理体现，它一般是随时 间或位置变化的物理量。信号按物理属性分为电信号和非电信号,它们可以相互转换。电信号容易产生，便于控制，易于处
7、理。本课程讨论电信号-简称“信号”。,信号的特性,信号描述的方法,单边指数信号函数表达式,描述信号的常用方法（1）函数表达式f(t) （2）波形,单边指数信号波形图,“信号”与“函数”两词常相互通用,确定性信号和随机信号,对于指定的某一时刻t，可确定相应的函数值f(t)。若干不连续点除外。,确定性信号,随机信号,伪随机信号,貌似随机而遵循严格规律产生的信号（伪随机码）,本课程只讨论确定性信号！,具有未可知的不确定性,研究确定信号是研究随机信号的基础,按信号的定义域分类,信号的分类方法很多，可以从不同的角度对信号进行分类。,确定性信号,连续信号（时间变量t连续或称模拟信号）,离散信号,抽样信号,
8、数字信号,可以用确定时间函数表示的信号，称为确定信号或规则信号。如正弦信号。,时间离散幅值连续,时间离散幅值离散,不能用确定时间函数表示的信号，且在任意时刻的取值都具有不确定性，只可能知道它的统计特性，如在某时刻取某一数值的概率，这类信号称为随机信号或不确定信号。电子系统中的起伏热噪声、雷电干扰信号就是两种典型的随机信号。,随机信号,一、连续时间信号和离散时间信号,除若干不连续点外，对于任意时间值都可以给出确定的信号值，此信号称为连续时间信号，简称为连续信号,连续信号,只在一些离散时刻有定义的信号称为离散时间信号，简称为离散信号,离散信号,模拟信号：时间和幅值均为连续的信号。,抽样信号：时间是
9、离散的，幅值是连续的信号。,数字信号：时间和幅值均为离散的信号。,连续时间信号：时间连续，幅值离散,离散时间信号,(1),(2),(3),举例：,连续时间信号：单位阶跃函数,离散时间信号：单位阶跃序列,二、周期信号与非周期信号,周期信号(period signal)是定义在(-，)区间，每隔一定时间T(或整数N），按相同规律重复变化的信号。,不具有周期性的信号称为非周期信号。,连续周期信号f(t)满足: f(t) = f(t + mT)，m = 0,1,2,离散周期信号f(k)满足: f(k) = f(k + mN)，m = 0,1,2,满足上述关系的最小T(或整数N)称为该信号的周期。,（1
10、）对于正弦序列（或余弦序列）,当2/为整数，序列具有周期，且N= 2/ ；当2/为有理数，序列具有周期，且N=2M/ （M取使N为整数的最小整数） ；当2/为无理数，序列不具有周期性，但其样值包络线仍为正弦函数。,数字角频率（或角频率）,（2）对于两个信号之和,当两个连续信号周期T1、T2之比为有理数时，其和信号为周期信号，且等于T1和T2的最小公倍数;两个离散周期序列之和一定是周期序列，其周期等于两个序列周期的最小公倍数。,两个连续周期信号之和不一定是周期信号！,例1 判断下列序列是否为周期序列，若是确定其周期。,解：（1）,（1）,（2）,（3）,为周期序列，周期为14。,（2）,为周期序
11、列，周期为12。,（3）,不是周期序列。,例2 判断下列信号是否为周期信号，若是确定其周期。,解：,（1）,（2）,（1）sin2t是周期信号，其角频率和周期分别为1= 2 rad/s ， T1= 2/ 1= s；cos3t是周期信号，其角频率和周期分别为2= 3 rad/s ，T2= 2/ 2= (2/3) s；由于T1/T2= 3/2为有理数，故f1(t)为周期信号，其周期为T1和T2的最小公倍数2。,（2） cos2t 和sint的周期分别为T1= s，T2=2 s ，由于T1/T2为无理数，故f2(t)为非周期信号。,例3 判断下列序列是否为周期信号，若是，确定其周期。,（1）sin(
12、3k/4) 和cos(0.5k)的数字角频率分别为 1 = 3/4 rad， 2 = 0.5 rad，由于2/ 1 = 8/3， 2/ 2 = 4为有理数，故它们的周期分别为N1 = 8 ， N1 = 4，故f1(k) 为周期序列，其周期为N1和N2的最小公倍数8。,（1）,（2）,解：,（2）sin(2k) 的数字角频率为 1 = 2 rad；由于2/ 1 = 为无理数，故f2(k) = sin(2k)为非周期序列 。,由上例可看出：连续正弦信号一定是周期信号，而正弦序列不一定是周期序列。,三、实信号和复信号,物理可实现的信号常常是时间t或k的实函数，其在各时刻的函数或序列值为实数，如单边指
13、数信号、正弦信号等，统称它们为实信号。,函数或序列值为复数的信号称为复信号，最常用的是复指数信号。,重要特性：其对时间的微分和积分仍然是指数形式。,实指数信号,单边指数信号,通常把 称为指数信号的时间常数，记作,代表信号衰减速度，具有时间的量纲。,指数衰减,指数增长,l 直流(常数),O,欧拉(Euler)公式,复指数信号,四、能量信号和功率信号,（1）信号f (t)的能量E,将信号f (t)施加于1电阻上，它所消耗瞬时功率为 ，在区间(a , a)的能量和平均功率定义为,（2）信号的平均功率P,若信号f (t)的能量有界，即E ,则称其为能量有限信号，简称能量信号，此时P = 0。,有限时间
14、范围有定义，取值又是有限值的信号是能量信号，一般的非周期信号是能量信号。周期信号是功率信号 。,若信号f (t)的功率有界，即P ,则称为功率有限信号，简称功率信号，此时E = 。,有少数信号既不是能量信号也不是功率信号！,e-t,序列的能量和功率,1.3信号的基本运算,1、信号的加减运算：,注意要在对应的时间上进行加减运算!,实际应用,2、信号的相乘运算：,注意要在对应的时间上进行相乘运算!,实际应用,3、信号的反转,信号的反转 即将原信号沿纵轴翻转180度。,4、信号的时移,信号的时移即将原信号沿横轴（时间轴）向左或向右移动。(其中b为实常数),5、信号的尺度变换,尺度变换即将原信号在时间
15、轴上进行压缩或扩展。(其中a为实常数),注：离散信号通常不作展缩运算，因为它常常会丢失原信号的部分信息。,例如：,压缩,扩展,例1 已知f (t)波形，求,解：方法一、先反转后平移,方法二、先平移后反转(注意：是对t 的变换！),左移,右移,例2 信号f (t)的波形如图所示。 画出信号f (2t4)的波形。,已知f (t)，画出 f ( 4 2t)。,三种运算的次序可任意。但一定要注意始终对时间 t 进行！,解：（1）时移,以,而求得2t，即f (5-2t)左移,代替 ，,例3 已知f (5-2t)的波形如图所示，试画出f (t)的波形。,（2）反转：f (-2t)中以-t代替t，可求得 f
16、 (2t),以t0的纵轴为中心线对褶,（3）比例：以 代替f (2t)中的t，所得的f (t)波形将是f (2t)波形在时间轴上扩展两倍。,已知f ( 4 2t) ，画出 f (t) 。,1.4 阶跃函数和冲激函数,阶跃函数和冲激函数不同于普通的函数，称为奇异函数。,在信号与系统理论等许多学科中引入奇异函数后，不仅使一些分析方法更加完美、灵活，而且更为简洁。,研究奇异函数要用广义函数的理论，这里将直观地引出阶跃函数和冲激函数。,本节的重点是：冲激函数和阶跃函数的性质,一、阶跃函数,下面采用求函数序列极限的方法定义阶跃函数。,选定一个函数序列n(t)如图所示。,1、阶跃函数的定义,2、阶跃函数的
17、性质,（1）可以方便地表示某些信号,f(t) = 2(t)- 3(t-1) +(t-2),（2）用阶跃函数表示信号的作用区间,（3）积分,二、冲激函数,单位冲激函数是个奇异函数，它是对强度极大，作用时间极短一种物理量的理想化模型。,1、冲激函数的定义,t=0,某种物理现象的近似,也可采用下列直观定义：对n(t)求导得到如图所示的矩形脉冲pn(t) 。,高度无穷大，宽度无穷小，面积为1的对称窄脉冲。,它由如下特殊的方式定义（由狄拉克最早提出）,2、冲激函数与阶跃函数关系,可见，引入冲激函数之后，间断点的导数也存在。如,f(t) = 2(t +1)-2(t -1),f(t) = 2(t +1)-2
18、(t -1),3、冲激函数的性质,与普通函数 f(t) 的乘积取样性质,若f(t)在 t = 0 、 t = a处存在，则,0,(t),f(t) (t) = f(0) (t) ， f(t) (t a) = f(a) (t a),冲激函数的导数(t) （也称冲激偶）和积分,f(t) (t) = f(0) (t) f (0) (t),证明：, f(t) (t) = f(t) (t) + f (t) (t) f(t) (t) = f(t) (t) f (t) (t) = f(0) (t) f (0) (t),(t)的定义：,(n)(t)的定义：,冲激函数的积分：,移位性质,则有：,思考：,(t)表示
19、在t = 0处的冲激，则在t = t0及t = t1处的冲激可表示为(t-t0) 和(t-t1),尺度变换,证明见教材P21,推论:,(1),(2t) = 0.5 (t),(2)当a = 1时,当n为偶数时(n)(t) 为偶函数，如(t)、 (2) (t)当n为奇数时(n)(t)为奇函数，如(1) (t)、(3) (t),已知f(t)，画出g(t) = f (t)和 g(2t),复合函数形式的冲激函数,实际中有时会遇到形如f(t)的冲激函数，其中f(t)是普通函数。并且f(t) = 0有n个互不相等的实根 ti ( i=1，2，n),f(t)图示说明： 例f(t)= t2 4,(t2 4)=1
20、 (t+2)+(t 2),( t 2 4) =1 (t+2)+(t 2),一般地，,这表明，f(t)是位于各ti处，强度为 的n个冲激函数构成的冲激函数序列。,注意：如果f(t)=0有重根，f(t)无意义。,三、序列(k)和(k),这两个序列是普通序列。,（1）单位(样值)序列(k)的定义,取样性质：,f(k)(k) = f(0)(k),f(k)(k k0) = f(k0)(k k0),例,（2）单位阶跃序列(k)的定义,（3）(k)与(k)的关系,(k) = (k) (k 1),或,(k) = (k)+ (k 1)+,四、其他常用信号,振幅：K 周期： 频率：f 角频率： 初相：,(一) 正
21、弦信号,抽样函数,（二）,特点：,(1),(2),振荡衰减趋近0,(3),(4) 与t轴包围的面积,(5)函数的主要能量集中在- ,区间，把 - ,称为第一对零点。,其他函数只要用门函数处理(乘以门函数)，就只剩下门内的部分。,门函数：也称窗函数,（三）,符号函数：(Signum),（四）,作业：,P33P351.2 (3) (4) 1.3 (b) 1.4 (a) (b) 1.5 (1) (3) (5) 1.6 (2) (4) (6)1.10 (1) (3) (6) (7),1.5 系统的性质及分类,一、系统的定义,若干相互作用、相互联系的事物按一定规律组成具有特定功能的整体称为系统。 电系统
22、是电子元器件的集合体。电路侧重于局部，系统侧重于全部。电路、系统两词通用。,二、系统的分类及性质,可以从多种角度来观察、分析研究系统的特征，提出对系统进行分类的方法。下面讨论几种常用的分类法。,1. 连续系统与离散系统,若系统的输入信号是连续信号，系统的输出信号也是连续信号，则称该系统为连续时间系统，简称为连续系统。,若系统的输入信号和输出信号均是离散信号，则称该系统为离散时间系统，简称为离散系统。,2. 动态系统与即时系统,若系统在任一时刻的响应不仅与该时刻的激励有关，而且与它过去的历史状况有关，则称为动态系统 或记忆系统。含有记忆元件(电容、电感等)的系统是动态系统。否则称即时系统或无记忆
23、系统。,3. 单输入单输出系统与多输入多输出系统,单输入单输出系统,多输入多输出系统,对于单输入单输出系统：,例：,4. 线性系统与非线性系统,满足线性性质的系统称为线性系统。,（1）线性性质,系统的激励f ()所引起的响应y() 可简记为 y() = T f (),线性性质包括两方面：齐次性和可加性。,若系统的激励f ()增大a倍时，其响应y()也增大a倍，即 Taf () = a T f ()则称该系统是齐次的。,若系统对于激励f1()与f2()之和的响应等于各个激励所引起的响应之和，即 T f1()+ f2() = T f1()+T f2() 则称该系统是可加的。,若系统既是齐次的又是可
24、加的，则称该系统是线性的，即 Ta f1() + bf2() = aT f1() + bT f2(),（2）动态系统是线性系统的条件,动态系统不仅与激励 f () 有关，而且与系统的初始状态x(0)有关。 初始状态也称“内部激励”。,完全响应可写为 y () = T f () , x(0)零状态响应为 yf() = T f () , 0零输入响应为 yx() = T 0，x(0),当动态系统满足下列三个条件时该系统为线性系统：,零状态线性： Ta f () , 0 = a T f () , 0 Tf1(t) + f2(t) , 0 = T f1 () , 0 + T f2 () , 0或 Ta
25、f1(t) +bf2(t) , 0 = aT f1 () , 0 +bT f2 () , 0,零输入线性： T0,ax(0)= aT 0,x(0) T0,x1(0) + x2(0) = T0,x1(0) + T0,x2(0)或T0,ax1(0) +bx2(0) = aT0,x1(0) +bT0,x2(0),可分解性： y () = yf() + yx() = T f () , 0+ T 0，x(0),例1：判断下列系统是否为线性系统？ （1） y (t) = 3 x(0) + 2 f (t) + x(0) f (t) + 1 （2） y (t) = 2 x(0) + | f (t)| （3）
26、y (t) = x2(0) + 2 f (t),解:（1） yf(t) = 2 f (t) +1， yx(t) = 3 x(0) + 1显然， y (t) yf(t) yx(t) 不满足可分解性，故为非线性（2） yf(t) = | f (t)|， yx(t) = 2 x(0) y (t) = yf(t) + yx(t) 满足可分解性；由于 Ta f (t) , 0 = | af (t)| a yf(t) 不满足零状态线性。故为非线性系统。（3） yf(t) = 2 f (t) , yx(t) = x2(0) ，显然满足可分解性；由于T 0,a x(0) =a x(0)2 a yx(t)不满足
27、零输入线性。故为非线性系统。,例2：判断下列系统是否为线性系统？,解：,y (t) = yf(t) + yx(t) ， 满足可分解性；,Ta f1(t)+ b f2(t) , 0,= aTf1(t), 0 +bT f2(t) , 0，满足零状态线性；,T0,ax1(0) + bx2(0) = e-tax1(0) +bx2(0) = ae-tx1(0)+ be-tx2(0) = aT0,x1(0) +bT0,x2(0), 满足零输入线性；,所以，该系统为线性系统。,5. 时不变系统与时变系统,满足时不变性质的系统称为时不变系统。,（1）时不变性质,若系统满足输入延迟多少时间，其零状态响应也延迟多
28、少时间，即若 T0，f(t) = yf(t)则有 T0，f(t - td) = yf(t - td)系统的这种性质称为时不变性（或移位不变性）。,例：判断下列系统是否为时不变系统？ （1） yf (k) = f (k) f (k 1) （2） yf (t) = t f (t) （3） y f(t) = f ( t),解:(1)令g (k) = f(k kd) T0， g (k) = g(k) g (k 1) = f (k kd) f (kkd 1 )而 yf (k kd) = f (k kd) f (kkd 1) 显然 T0，f(k kd) = yf (k kd) 故该系统是时不变的。(2)
29、令g (t) = f(t td) T0， g (t) = t g (t) = t f (t td) 而 yf (t td)= (t td) f (t td)显然T0，f(t td) yf (t td) 故该系统为时变系统。,(3) 令g (t) = f(t td) , T0，g (t) = g ( t) = f( t td) 而 yf (t td) = f ( t td)，显然 T0，f(t td) yf (t td) 故该系统为时变系统。,直观判断方法： 若f ()前出现变系数，或有反转、展缩变换，则系统为时变系统。,（2）LTI连续系统的微分特性和积分特性,本课程重点讨论线性时不变系统(L
30、inear Time-Invariant)，简称LTI系统。,微分特性：若 f (t) yf(t) ， 则 f (t) y f (t) 积分特性：若 f (t) yf(t) ， 则,6. 因果系统与非因果系统,零状态响应不会出现在激励之前的系统，称为因果系统。,即对因果系统，当t t0 ，f(t) = 0时，有t t0 ，yf(t) = 0。,如下列系统均为因果系统：,yf(t) = 3f(t 1),而下列系统为非因果系统：,(1) yf(t) = 2f(t + 1),(2) yf(t) = f(2t),因为，令t=1时，有yf(1) = 2f(2),因为，若f(t) = 0， t t0 ，有
31、yf(t) = f(2t)=0, t 0；当x(0-) =2，输入信号f2(t)=3f1(t)时，全响应 y2(t) = 2e t +3 cos(t)，t0；求输入f3(t) = +2f1(t-1)时，系统的零状态响应y3f(t) 。,解:设当x(0) =1，输入因果信号f1(t)时，系统的零输入响应和零状态响应分别为y1x(t)、y1f(t)。当x(0-) =2，输入信号f2(t)=3f1(t)时，系统的零输入响应和零状态响应分别为y2x(t)、y2f(t)。,由题中条件，有y1(t) =y1x(t) + y1f(t) = e t + cos(t)，t0 （1）y2(t) = y2x(t)
32、+ y2f(t) = 2e t +3 cos(t)，t0 （2）根据线性系统的齐次性，y2x(t) = 2y1x(t)，y2f(t) =3y1f(t)，代入式（2）得 y2(t) = 2y1x(t) +3 y1f(t) = 2e t +3 cos(t)，t0 （3）式(3) 2式(1)，得 y1f(t) = 4e-t + cos(t)，t0由于y1f(t) 是因果系统对因果输入信号f1(t)的零状态响应，故当t0，y1f(t)=0；因此y1f(t)可改写成 y1f(t) = 4e-t + cos(t)(t) （4）,f1(t) y1f(t) = 4e-t + cos(t)(t),根据LTI系统
33、的微分特性,= 3(t) + 4 sin(t)(t),根据LTI系统的时不变特性,f1(t1) y1f(t 1) = 4 + cos(t1)(t1),由线性性质，得：当输入f3(t) = +2f1(t1)时，,y3f(t) = + 2y1(t1) = 3(t) + 4sin(t)(t) + 24 + cos(t1)(t1),7. 稳定系统与不稳定系统,一个系统，若对有界的激励f(.)所产生的零状态响应yf(.)也是有界时，则称该系统为有界输入有界输出稳定，简称稳定。即 若f(.)，其yf(.) 则称系统是稳定的。,如yf(k) = f(k) + f(k-1)是稳定系统；而,是不稳定系统。,因为
34、，当f(t) =(t)有界，,当t 时，它也，无界。,1.6 系统的描述,描述连续动态系统的数学模型是微分方程，描述离散动态系统的数学模型是差分方程。,系统分析的基本思想：1. 根据工程实际应用，对系统建立数学模型。通常表现为描述输入输出关系的方程。2. 建立求解这些数学模型的方法。,一、连续系统,1. 解析描述建立数学模型,图示RLC电路，以uS(t)作激励，以uC(t)作为响应，由KVL和VCR列方程，并整理得,二阶常系数线性微分方程。,抽去具有的物理含义，微分方程写成,根据基尔霍夫定律和元件的电压、电流特性关系来建立数学模型,这个方程也可以描述下面的一个二阶机械减振系统。,其中，k为弹簧
35、常数，M为物体质量，C为减振液体的阻尼系数，x为物体偏离其平衡位置的位移，f(t)为初始外力。其运动方程为,能用相同方程描述的系统称相似系统。,2. 系统的框图描述,上述方程从数学角度来说代表了某些运算关系：相乘、微分、相加运算。将这些基本运算用一些理想部件符号表示出来并相互联接表征上述方程的运算关系，这样画出的图称为模拟框图，简称框图。基本部件单元有：,积分器：,加法器：,数乘器：,积分器的抗干扰性比微分器好。,系统模拟：,实际系统方程模拟框图 实验室实现（模拟系统）指导实际系统设计,例1：已知y”(t) + ay(t)+ by(t) = f(t)，画框图。,解：将方程写为 y”(t) =
36、f(t) ay(t) by(t),例2：已知y”(t) + 3y(t)+ 2y(t) = 4f(t) + f(t)，画框图。,解：该方程含f(t)的导数，可引入辅助函数画出框图。设辅助函数x(t)满足 x”(t) + 3x(t)+ 2x(t) = f(t) 可推导出 y(t) = 4x(t) + x(t)，它满足原方程。,以上模拟图未计初始条件，故是零状态响应。,一阶微分方程的模拟,y(t),由一、二阶系统的模拟可以推出n阶系统的模拟。,二阶阶微分方程的模拟,y(t),y”(t),x”(t),x(t),x(t),含有输入函数导数的二阶系统的模拟,引入一辅助函数x(t)，使x(t)满足方程,则y
37、(t)满足,（1）,（2）,例3：已知框图，写出系统的微分方程。,设辅助变量x(t)如图,x(t),x(t),x”(t),x”(t) = f(t) 2x(t) 3x(t) ,即x”(t) + 2x(t) + 3x(t) = f(t),y(t) = 4x(t)+ 3x(t),根据前面，逆过程，得,y”(t) + 2y(t) + 3y(t) = 4f(t)+ 3f(t),二、离散系统,1. 解析描述建立差分方程,例：某人每月初在银行存入一定数量的款，月息为元/元，求第k个月初存折上的款数。 设第k个月初的款数为y(k),这个月初的存款为f(k),上个月初的款数为y(k-1)，利息为y(k-1),则
38、 y(k)=y(k-1)+ y(k-1)+f(k)即 y(k)-(1+)y(k-1) = f(k)若设开始存款月为k=0，则有y(0)= f(0)。 上述方程就称为y(k)与f(k)之间所满足的差分方程。所谓差分方程是指由未知输出序列项与输入序列项构成的方程。未知序列项变量最高序号与最低序号的差数，称为差分方程的阶数。上述为一阶差分方程。,由n阶差分方程描述的系统称为n阶系统。描述LTI系统的是线性常系数差分方程。,例：下列差分方程描述的系统，是否线性？是否时不变？并写出方程的阶数。（1）y(k) + (k 1)y(k 1) = f(k)（2） y(k) + y(k+1) y(k 1) = f
39、 2(k)（3） y(k) + 2 y(k 1) = f(1 k)+1,解：判断方法：方程中均为输出、输入序列的一次关系项，则是线性的。输入输出序列前的系数为常数，且无反转、展缩变换，则为时不变的。,线性、时变，一阶,非线性、时不变，二阶,非线性、时变，一阶,2. 差分方程的模拟框图,基本部件单元有： 数乘器，加法器，迟延单元（移位器）,若方程中任何一项为一个常数，则该方程非线性；若方程中任何一项为y()或f()的非线性函数，则该方程非线性；若y()或f()中任何一项的系数是t或k的显式函数，则该方程为时变的；若y()或f()中任何一项进行了尺度变换或反转运算，则该方程为时变的。,例：已知框图
40、，写出系统的差分方程。,解：设辅助变量x(k)如图,x(k),x(k-1),x(k-2),即 x(k) +2x(k-1) +3x(k-2) = f(k) y(k) = 4x(k-1) + 5x(k-2) 消去x(k) ，得 y(k) +2y(k-1) +3y(k-2) = 4f(k-1) + 5f(k-2),x(k)= f(k) 2x(k-1) 3x(k-2),根据框图求解微分或差分方程的一般步骤：（1）选中间变量x() 。 对于连续系统,设其最右端积分器的输出x(t); 对于离散系统，设其最左端延迟单元的输入为x(k)；（2）写出各加法器输出信号的方程；（3）消去中间变量x() 。,连续系统
41、,离散系统,1.7 LTI系统分析概述,系统分析研究的主要问题：对给定的具体系统，求出它对给定激励的响应。具体地说：系统分析就是建立表征系统的数学方程并求出解答。,系统的分析方法：,输入输出法（外部法）,状态变量法（内部法）（第八章）,外部法,时域分析（第二章，第三章）,变换域法,连续系统频域法(第四章) 复频域法(第五章),离散系统z域法（第六章）,系统特性：系统函数（第七章）,着眼于激励与响应的关系，而不考虑系统内部变量情况；单输入/单输出系统；列写一元 n 阶微分方程。,输入-输出描述法：,状态变量分析法：,不仅可以给出系统的响应，还可以描述内部变量，如电容电压或电感电流的变化情况。研究多输入/多输出系统；列写多个一阶微分方程。,本课程中我们主要讨论输入、输出描述法。,（1）把零输入响应和零状态响应分开求。（2）把复杂信号分解为众多基本信号之和，根据线性系统的可加性：多个基本信号作用于线性系统所引起的响应等于各个基本信号所引起的响应之和。,求解的基本思路：,采用的数学工具：,（1）卷积积分与卷积和（2）傅立叶变换（3）拉普拉斯变换（4）Z变换,作业：,1.20 （a） （d） 1.25（1） （4） （5） （7）1.28 1.29,
