1、推广的李群约化法求解变系数 KdV 方程任吉 1 阮航宇1 宁波大学理学院，浙江宁波（315211）2 宁波大学理学院，浙江宁波（315211）摘要： 将非线性方程的变系数看作与实际物理场具有相等地位的新变量，用推广的经典李群约化法，得到了变系数KdV方程的一般解和某些特殊形式的精确解。关键词：变系数 KdV 方程；李群约化法；推广的对称群；中图分类号：O415 1. 引言KdV 方程是孤立子理论中的一个应用非常广泛的方程，关于 KdV 方程的求解已经做过很多的研究工作。但由于 KdV 方程的模型是理想化的，如果在考虑实际应用时就能得到一些具有变系数的 KdV 方程。近年来关于变系数非线性偏微
2、分方程的求解方法得到越来越多的关注，主要有分离变量法 1，行波变换法 2，F-展开法 3-4等等，这些方法各有各的优点。考虑一般的变系数 KdV 方程：。 (1)()()0txxxutut这里 ， 和 都是关于变量 t 的函数。文献3使用 F-展开法得到了当时的一些周期波解。本文尝试用李群约化法来得到该方程的解。()0t推广的李群约化法是求解变系数非线性偏微分方程的十分有效的途径 5-7。将方程中的变系数取为与实际物理场有相等地位的变量,就可得到原方程推广的对称群和有限变换。利用这个推广的对称群,可以在变系数方程的解与常系数方程的解之间建立一种关系。这样只要知道常系数方程的解就能通过变换得到变
3、系数方程的解。这种方法的优点在于，把复杂的变系数方程的解跟常系数方程的解联系起来，从而使问题简化，而且能得到很多种解。不过这种方法还存在着很多问题有待改进，比如方程的形式过于具体化，使得每处理一个变系数方程都需要重新计算得出相应的变换。本文将推广这种方法，使其能解决广义的变系数方程。以变系数KdV方程为例，得到了变系数KdV方程的一般解和某些特殊形式的精确解。2. KdV 方程的推广对称群把 KdV 方程写成以下的形式：1任吉，1982 年出生，男，汉族，浙江绍兴人，硕士研究生，主要研究非线性物理，宁波大学理学院物理系，邮政编码 315211，E-mail：。 (,)0txxuWtu（2）其中
4、 作为跟 u 同等地位的独立变量，则方程（2）的推广的对称算子和变换群为：(,)t。(,)(,)(,)(,)xtuWKt xtxt， ， ， ，1xu11,u1(,)xtuW为群参数。为使方程形式不变，必须满足 ，由此得到超0txxx定方程组：， ， ， ， ，0uxu0u0xu3xt， 。tW23xtx求解上式可得， ， ， 。3AB0Cu2ABW其中 A 和 B 是 t 的任意平滑函数， C0 是任意常数。为了得到有限变换，必须从 和0A两方面讨论，文献7 已经得到了一般形式的有限变换，这里不再具体介绍，只取特0殊的 情况，可以得到有限变换为， ， ， 。1t1()xt10exp()u1(
5、)Bt利用这个有限变换，我们可以得到以下的变系数 KdV 方程：。11 1110,(),e()(0tx xuWtBtuCtu函数选取不同的形式可以得到不同的变系数方程。以往的工作主要是选取了一些具()B体的函数，所得的方程形式比较具体，实际应用程度有限。为了更有利于方程的应用，这里我们把 取为任意的函数 ，同时进行坐标变换 ，可1()t 11()()zBtd11()tz以得到形式一般的变系数 KdV 方程：。 1111()()()0zxxxuzuzu（3）其中 和 满足线性相关条件： 。1()z1 1106()()expzzC而（3）式的源方程为经典的常系数 KdV 方程： （ ） 。 60t
6、xu6Wu（4） （3）和（4）式的解之间的联系可以通过有限变换得到： 111 0()(,)(),exp()zuzxtzxdC其中 u 是常系数 KdV 方程的解。3. 变系数 KdV 方程的解以上讨论得知，只要得到常系数 KdV 方程的解，就可以通过相应变换得到变系数KdV 方程的解。例如常系数 KdV 方程的单孤子、双孤子和周期波解分别为：，221101(,)sec(4)uxthxt，222211ssec,()()ht tt。2 2000(,)64(uxtamnxamg其中 ， 为谱参数， ， 为任意常数， ，12g2101(4)xt。220(4)xt根据有限变换，得到相应的变系数 KdV
7、 方程的一般解为：， 22 21110101()(,)ep()sc4()zuxzChxdxz（5）， 2221112101cssec(,)exp()()huxz tt（6）。 2 211001010()(,)exp()64()(zuxzaCmsnxdamzg （7）其中 ， ，00exp()aa 211101()4()zxdxz。21121014()()zdz下面通过选取一些具体的函数来说明变系数 KdV 方程解的某些特征。假设 ，代入式（5） ， （6） ， （7）中可得该变系数 KdV 方程的三个()cos()tt精确解：， 222110101(,)exp()s4sin()uxzChxzz
8、（8）， 2221112101cssec(,)e()()hxz tt（9）。 2 21001010(,)exp()64()sin(uxzaCmsnxzamzg（10）其中 ， ，00()21101si()zz。21214sin()xz这些解如图 1a，2a ，3a 所示，而常系数 KdV 方程的解如图 1b，2b，3b 所示。从图中可知，孤子的传播方向都发生了变化，变系数方程的孤波沿着正弦曲线传播，传播路径是由变系数 ， 的函数形式决定的。所以在变系数 KdV 方程的孤波解中，变系数1()z1起着重要作用。图 1a ， ， ， 图 1b ， ，01/C120.501/C120.50agx 0a
9、gx图 2a ， ， ， 图 2b ， ，01/C120.501/C120.50agx 0agx图 3a ， ， ， 图 3b ， ，01/C120.501/C120.5， ， 0agxm0agxm4. 结论本文用推广的李群约化法研究了变系数 KdV 方程的对称群和有限变换，得到了该方程的一般解和精确解。这些解是通过有限变换从经典的常系数 KdV 方程的解得到的。本文以行波解为例，通过假设变系数 的基础上得到的，在实际应用中，可以()cos()tt根据不同的需要选取不同的函数形式，也能求解别的形式的解。所以推广的李群约化法在求解变系数方程中的应用是极为广泛的。参考文献1 张解放，徐昌智，何宝钢
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11、Li, M.L.Wang, X.Y.Li. Applications of F-expansion to Periodic Wave Solutions for KdV Equation. Mathematical Application, 2005,18(2)：30343075 H. Y. Ruan and Y. X. Chen, The study of exact solutions to the nonlinear schrodinger equations in optical fiber. Journal of the Physical Society of Japan, Vol.
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13、-time-dependent KdV systems. Mathematical Methods In The Applied Sciences, 2004,27:125-131Exact Solutions to the KdV equationREN Ji, RUAN Hang-yu(Faculty of Science, Ningbo University, Ningbo315211, China)Abstract:We study solutions of the KdV equation with variable coefficients. Using the generalized Lie group reduction method (GLGRM), the abundant solutions of KdV are obtained.Keywords: generalized Lie group reduction method; KdV equation with variable coefficients; extended symmetries;
