1、 关于对称问题 第 1 页关 于 对 称 问 题一、中心对称定义：把一个图形绕某个点旋转 180 后能与另一个图形重合。这两个图形关于这个点对称。这个点o叫做对称中心。（1）点关于点对称。点 P（x,y）关于点 M(a,b)对称点 Q 的坐标是 Q(2a-x,2b-y)。 （由中点坐标公式得到）（2）直线关于点对称。 直线 l:Ax+By+C=0 关于点 P（a,b）对称的直线为 l 的方程是：1A（2a-x ）+B(2b-y)+C=0 .即 Ax+By-2aA-2bB-C=0。（3）曲线关于点对称。曲线 f(x,y)=0 关于点 P（a,b ）对称的曲线方程是 f（2a-x,2b-y ）=0
2、二、轴对称。定义: 把一个图形沿着某条直线对折以后能与另一个图形重合。这两个图形关于这条直线对称。这条直线叫做对称轴。（1）点关于直线对称。充分利用对称的两个几何条件：对称的两点连线对称轴；对称的两点的中点在对称轴上，将两点坐标化求出对称点。（2）直线关于直线对称。 Ax+By+C=0 关于 x 轴对称的直线的直线方程是：Ax-By+C=0Ax+By+C=0 关于 y 轴对称的直线的直线方程是：Ax-By-C=0Ax+By+C=0 关于直线 y=x 对称的直线的直线方程是：Bx-Ay-C=0Ax+By+C=0 关于直线 y= -x 对称的直线的直线方程是：Bx+Ay-C=01. 已知点 M（a
3、，b）与 N 关于 x 轴对称，点 P 与点 N 关于 y 轴对称，点 Q 与点 P 关于直线 x+y=0对称，则点 Q 的坐标为 ( ) A.（a，b） B.（b，a） C.（a，b） D.（b，a）2. 已知直线 l1：x +my+5=0 和直线 l2：x+ny+p=0，则 l1、l 2 关于 y 轴对称的充要条件是( )A. = B.p=5 C.m=n 且 p=5 D. = 且 p=5m5np m1n3. 直线 关于定点 对称的直线方程是（ ）032y(1,). . . D.AxB0yxC0yx02yx4. 与直线 x+2y1=0 关于点（1，1）对称的直线方程为 ( ) A. 2xy5
4、=0 B. x+2y3=0 C. x+2y+3=0 D. 2xy1=05. 已知圆 C 与圆（x 1） 2+y2=1 关于直线 y=x 对称，则圆 C 的方程为 （ ）A.（x+1） 2+y2=1 B. x2+y2=1 C. x2+（y +1） 2=1 D. x2+（y1） 2=16. 点 A（4，5）关于直线 l 的对称点为 B（2，7） ，则 l 的方程为_ _.7. 设直线 x+4y5=0 的倾斜角为 ，则它关于直线 y3=0 对称的直线的倾斜角是_. 8. 两直线 y= x 和 x=1 关于直线 l 对称，直线 l 的方程是 _.39. 直线 2x y4=0 上有一点 P，它与两定点
5、A（4，1） 、 B（3，4）的距离之差最大，则 P 点的坐标是_.【答案】B C B C C 6.3xy+3=0 ； 7. ； 8. x+ y2=0 或 3x y2=0 ； 9.（5，6）关于对称问题 第 2 页10. 求直线 关于点 对称的直线 的方程。 （ ）340xy(2,1)Pl310xy结论：直线 关于点 的对称直线为ABC,Mab(2)()0AaBbyC11. 求点 关于直线 的对称点 的坐标。 【（6,3） 】(2,1)A10xyA12. （1）求直线 l ：2x-y-3=0 关于 l: 4x-2y+5=0 对称的直线 l 的方程。1 2（2） 直线 关于直线 的对称直线方程为
6、。 ( )30xy10xy320xy结论：同样的对于对称轴为特殊直线的问题可以直接给出：关于直线 的对称直线为：ABCb()()AybBC13. 已知光线通过点 ，经直线 反射，其反射光线通过点 ，求入射光线和(2,3)A10xy(1,)B反射光线所在的方程。 (反射线 ，入射线 )455420xy14. 已知 、 点 在直线 上，若使 取最小值，求 点的坐标。(3,1)AB(5,2)P0xyPABP，(6,3)1,)5关于对称问题 第 3 页15. 已知ABC 的一个顶点 A（1，4） ，B、C 的平分线所在直线的方程分别为 l1：y+1=0，l2：x+y+1=0，求边 BC 所在直线的方程
7、. （ x+2y3=0）16. 直 线 y=2x 是 ABC 中 C 的 平 分 线 所 在 的 直 线 ， 若 A、 B 坐 标 分 别 为 A（ 4， 2） 、 B（3，1） ，求点C 的坐标，并判断ABC 的形状.17. 在 轴上有一点 ，直线 上有一点 ，定点 ，若 的周长最小，求 两点xAyxB(2,1)CAB,AB的坐标。 【 】5(,0),3418. 已知两点 A（2，3） 、B（4，1） ，直线 l：x+2y2=0，在直线 l 上求一点 P.（1）使|PA|+|PB|最小； （2）使|PA| PB|最大.19. 已知ABC 的一个顶点 A(2，4)，且B，C 的内角平分线所在直
8、线的方程依次是 xy20，x3y60，求ABC 的三边所在直线的方程关于对称问题 第 4 页16 解 ： 由 题 意 ， 点 A 关 于 直 线 y=2x 的 对 称 点 A 在 BC 所 在 直 线 上 ， 设 A 点 坐 标 为 （ x1， y1） ， 则x1、y 1 满足 = ，即 x1=2y 1. 421xy=2 ，即 2x1y 110=0. 解两式组成的方程组，得 x1=4，y1=2.BC 所在直线方程为 = ， 即 3x+y10=0.12y4x3x+y10=0， x=2，y=2x， y=4.所求 C 点坐标为（2，4）. 由题意| AB|2=50，|AC |2=40，|BC |2=
9、10， ABC 为直角三角形.18 解：（1）可判断 A、B 在直线 l 的同侧，设 A 点关于 l 的对称点 A1 的坐标为（x 1，y 1）.+2 2=0，31（ ）= 1.21xyx1= ，5y1= .9由两点式求得直线 A1B 的方程为 y= （x4）+1，直线 A1B 与 l 的交点可求得为17P（ ， ）.2563由平面几何知识可知|PA|+|PB| 最小.（2）由两点式求得直线 AB 的方程为 y1=（x4） ，即 x+y5=0.直线 AB 与 l 的交点可求得为 P（8，3） ，它使|PA| |PB|最大.19 解：由内角平分线的性质知：点 A 关于B、C 的对称点 A、A均在直线 BC 上 B 的平分线为 xy2 0 A(6，0) 设 A(a，b)则 即 A ( ， )6432ba542ba5 直线 AA 的方程是 y (x6) ，即 x7y60，这也是 BC 所20在直线的方程由 得 B( ， )，由 得 C(6，0)0267yx340637yx AB 所在直线方程是：y107x AC 所在直线方程是：yx6解方程组 得则有解得AB CEFAA
