1、幻方趣谈一、幻方的概念 幻方在我国古代也称为纵横图，在西方也称为魔方(magic).定义 若一个 n 阶由 1n2 的正整数组成，且每行、每列与两对角线上的 n 个元素之和都相等. 则称此矩阵为 n 阶幻方. 每行的 n 个元素之和称为幻和，并记为 Sn.例如，下面分别是 3 阶幻方和 4 阶幻方显然，一个幻方经旋转或转置后，仍为同阶幻方. 由定义可知，幻和的计算公式 221(1)nnSS3=3(1+9)/2=15, S4=4(1+16)/2=34, S5=5(1+25)/2=65注：不存在 2 阶幻方二、幻方的起源传说,我国远在夏禹治水时(公元前 23 世纪), 陕西的洛河常常泛滥成灾，威胁
2、着两岸人们的生活与生产. 于是，大禹日夜奔忙，三过家门而不入，带领人们开沟挖渠，疏通河道，驯服了河水，感动了上天. 事后，一只神龟从河中跃8 1 63 5 74 9 21 15 14 412 6 7 98 10 11 513 3 2 16出, 背上有一个九种花纹的图,后人把这个图称为“洛书”. 它就是从 1 到 9 连续自然数排成 3 行的图. 此图我国古代也称为九宫图. 最早见于记载的 4 阶纵横图,是在印度卡俱拉霍地方发现的一个 11 世纪的碑文上. 它是一个极不平凡的 4 阶纵横图,有着十分玄妙的性质. 它除了一般四阶幻方的通有的性质外，还有如下特性：（1）任一“折断的对角线”上 4 个
3、数之和也等于幻和 34（2）任一 2 阶子阵的 4 个数之和也等于幻和 34（3）任一 3 阶子阵的 4 角 4 个数之和也等于幻和 34（4）任一 3 阶子阵的 2 对角数之和恰是幻和 34 的一半 17顺便提一下，1977 年美国发射寻求星外文明的宇宙飞船旅行者 1 号、2 号上除了携带向宇宙人问候的“地球之声”(古今音乐、近六十种语言的问候话,三十五种自然界的各种声响唱片) 外,还带了一些图片,其中有这张四阶幻方图.1980 年，上海博物馆在整理明代古墓的出土文物时，发现了一块玉佩上有一个四阶幻方，它也有上述玄妙的性质：4 9 23 5 78 1 67 12 1 142 13 8 111
4、6 3 10 59 6 15 48 11 14 113 2 7 123 16 9 610 5 4 15三、自然顺序方阵及其性质定义 把自然数 1n2 从小到大排成 n 阶方阵 :ijAa，21()()Ann ，把 A 称为自然顺序 n 阶方阵. (1), ,12,ijanji把行（列）号之和等于 n+1 的两行（列）称为对称行（列） ，当 n 为奇数时，设 n=2k-1，称 为中心数，它位于 A 的中ka央. 位于对称行（列）同列（行）的两个数 与 （ija(1)nij）称为行（列）对称数，而关于中心对称的两个数(1)inja与 称为对称数. 位于不同行，不同列的数称为独ij()1inj立数.
5、 对于矩阵 A,有如下重要的 性质：性质 1. 任两个对称数 与 之和都是 . ija(1)()nij21n证. .(1)()()ijnija j性质 2. 任意 n 个独立数之和为幻和 Sn.证. 设 是 A 的 n 个独立数，则 与,(12,)kijan ki都是从 1 到 n 各取值一次，故 . (1,2)kjn 1(1)2nkkij因此 21111()(1)()()()2knnnnijkkkk nnnaijij S推论.主(次) 对角线上 n 个数之和为 Sn.任一折断的对角线上n 个数之和也为 Sn.性质 3 任两个对称行（列）的 2n 个数之和都等于 2 Sn.证.第 i 行的行和
6、为， （i =1,2,n）.211 (1)()()nniijjWaijin 从而 2 212 2(1)(1)()()()()ini nnniS第 j 列的列和为, （j =1,2,n）.211(1)()nnjijiiCajn从而 2 2122()(1)(1)()()()jnj nnj jnS性质 4 当 n=2k-1时，第 k(中间)行( 列)的 n 个数之和为 Sn.证.第 k 行的行和 2 2(1)(1)()()k nnWnS第 k 列的列和 22(1)(1)()k nnnCkS四、奇数阶幻方的构造方法及原理在这里，设 n=2k1， （k =1,2,）.(一) 构造方法 1-连续摆数法只需
7、按以下步骤填写，即可得到一个 n 阶幻方.(1) 先画一个 nn 方格表；(2) 把 1 填写在第一行中间；(3) 当 m 填好后，若 m 的右上方空，则把 m+1 填在此格，否则，把 m+1 填在 m 的下方.(注意，这里我们把最左列视作在最右列的右方，把最底行视作在第一行的上方)例如 填写一个 3 阶幻方和 5 阶幻方可验证其幻和分别为 15 和 65.设 是按以上方法构造的 n 阶方阵， 是自然顺()ijBb ijAa序方阵，仔细观察知，A 的每一行对应 B 的一条折断对角线或对角线，从而推得：， （1）(),(2), (1,2,)ijijkijkbaijn17 24 1 8 1523
8、5 7 14 164 6 13 20 2210 12 19 21 311 18 25 2 98 1 63 5 74 9 2注意，上式 ，右边的下标是按模 n 取值的，即(1)/2kn大于 n 时就减 n,小于 1 时就加 n.(二)原理1B 的列和从（1）式可见，若给定 j, 让 i 取 1，2，n 时, i 每增加 1， （1）式右边的行号与列号也分别增加 1(mod n)，最终都取遍 1n, 不会有重复，即 B 的每列数都是 A 的 n 个独立数. 故其和是 Sn.2B 的行和从（1）式可见，若给定 i, 让 j 取 1，2，n 时, j 每增加 1， （1）式右边的行号增加 1(mod
9、n), 取遍 1n,不重复; 列号分别增加 2(mod n)，一旦大于 n 就减去 n(奇数), 这就改变了奇偶性, 故列号也取遍了 1n, 不会有重复，即 B 的每行数都是 A 的 n 个独立数. 故其和是 Sn. 3B 的对称数()(2)(1)()(2)(32)(3)(42), ijijkijknijnijknijkkijkijbabaa容易验证(1) 等价于 ;1ijk3kij(2) 等价于 ;n1(3) 等价于 ;ijkkijn(4) 等价于 ;1242ij(5) 等价于 ;ijkn1k(6) 等价于 . ijn从而, B 中的一对对称数相应于 A 中的两个数的行号之和为;()(3)2
10、1ijkijkn上式左边第 1 项需加(减)n 时，第 2 项就需减(加)n, 故其和不变. 同理，列号之和为;(2)(4)1ijkijkn即 B 中的一对对称数也是 A 中的一对对称数其和为 .即21n2(1)()1, (1,2,)ijnijbnijn4B 的对角线和首先，由(1)式知，B 的中心数恰等于 A 的中心数：. 21kknba其次，B 的主（次）对角线都是由 对对称数及中心数组12n成，故其和为 222(1)1()nnnS综合得，上法构造的方阵符合幻方的定义. 构造方法 2-阶梯法 以 n=5 为例说明（1）在 的表格中斜着按自然顺序填写(21)()n，这相当于把自然顺序方阵 A
11、 逆时针转 45 度。254 103 9 152 8 14 201 7 13 19 256 12 18 2411 17 2316 2221（2）框住中心的 格.2n54 103 9 152 8 14 201 7 13 19 256 12 18 2411 17 2316 2221（3）把框外的数移到框内的空格处：左（右）面的数向右（左）移动 n 列；上（下）面的数向下（上）移动 n 行。这就得到一个 n=2k-1 阶幻方3 16 9 22 1520 8 21 14 27 25 13 1 1924 12 5 18 611 4 17 10 23化简的操作方法：直接在 个方格中填写即可2n（1）把 1
12、 填在中心右旁；（2）先看右上角；（3）再看右隔一处.性质：3 16 9 22 15 1 2 3 4 520 8 21 14 2 6 7 8 9 107 25 13 1 19 11 12 13 14 1524 12 5 18 6 16 17 18 19 2011 4 17 10 23 21 22 23 24 25（B） （A ）（1 ） B 的次对角线=A 的中间行（2 ） B 的主对角线=A 的中间列（3 ） B 的中间行=A 的主对角线（4 ） B 的中间列=A 的次对角线（5 ） B 的其他行（列）=A 的折断对角线以上右面的和都是 Sn，故 B 是幻方。B 与 A 的变换公式(),(1
13、)ijkijkjiba下标取模 n.五、双偶阶幻方的构造方法及原理一般来说，双偶数（n=4k）阶幻方的构造较易，而单偶数(n=4 k+2) 阶较难.（一）. 构造方法(对称法)对于双偶数（n=4k）阶幻方，可从自然顺序方阵 A 开始，先把 A 的数按矩阵中心对称，分为两半，一半固定不变，另一半则跟其对称数互换位置. 以 4 阶为例. 中心 4 格与顶角 4 格不变，其余对称数的互换位置. 即 512，89，2 15，314.，即得一个 4 阶幻方 D.（A） （D）（二）. 原理A 中两个行对称数之差为，(1)(12), (1,2,/;1,2,)nijijaniinjn 从而若把第 i 行与第
14、 n+1-i 行中的 n/2 对行对称数进行交换，1 2 3 45 6 7 89 10 11 1213 14 15 161 15 14 412 6 7 98 10 11 513 3 2 16则这两行的行和分别变为 2 222(1)(1)(1)()(ii nniniW S2 22211()()()()(nini ni ii即这两行的行和都将等于幻和. A 中两个列对称数 之差为(1)12, (1,2,;1,2,/)injijanjinjn 从而若把第 j 列与第 n+1-j 列中的 n/2 对列对称数进行交换，则这两列的列和分别变为 2 2(12)(1(1)()2jj nj iCjnS2 211
15、()()(1)()njnj nj ij 另外，注意到 A 中每条对角线的 n 个数之和都为 Sn, 故希望数据交换后不破坏此性质. 即对角线上的数只与同在此对角线上的数交换. 由此产生这种构造 4k 阶幻方的方法：把 A的中心点视为原点，对第 1象限部分的数进行分类，分为甲类和乙类，且每行各占一半，每列也是各占一半，然后按对称原则使 aij, ai(n+1j) , a (n+1i)j， 与 a (n+1-i) (n+1j)同类.让甲(乙)类的数固定不变，乙(甲)类的数都跟其对称数对换. 例 构造一个 8 阶幻方1 2 3 4 5 6 7 8 1 63 62 4 5 59 58 89 10 11
16、 12 13 14 15 16 56 10 11 53 52 14 15 4917 18 19 20 21 22 23 24 17 47 46 20 21 43 42 2425 26 27 28 29 30 31 32 40 26 27 37 36 30 31 3333 34 35 36 37 38 39 40 32 34 35 29 28 38 39 2541 42 43 44 45 46 47 48 41 23 22 44 45 19 18 4849 50 51 52 53 54 55 56 16 50 51 13 12 54 55 957 58 59 60 61 62 63 64 57
17、7 6 60 61 3 2 64（A） （D）可验证满足 S8=260这是因为 A 中每个数 对应着其,(12,/;1,2/)ijanjn 他象限的 3 个数 、 和 ，即这 4 个数构成(1)inj()nij()ij两对对称数，它们的对换等价于先进行行对换，再进行列对换. 如下图. ija(1)inj(1)nija(1)nij(1)nija(1)nija(1)nij(1)nijij (1)inja(1)injij按这种方法构造的 4k 阶幻方，k =1 时有 2 个，k =2 时有90 个, k=3 时有 297200 个.六、4k+2 阶幻方的构造我们先来考察一个 6 阶幻方可以如何构造出
18、来. 第一步，先用上述介绍的方法构造出一个 4 阶幻方, 如图 1所示，幻和为 34；第二步，把这个 4 阶幻方的每个数都加上 10,得图 2 所示, 此时幻和为 74；图 2 所用的数是 1126, 恰是 136 中间的16 个数, 如图 3 所示;图 1 图 211 25 24 1422 16 17 1918 20 21 1523 13 12 261 15 14 412 6 7 98 10 11 513 3 2 1610 全 部 加1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 2425 26 27 28 29 30 3
19、1 32 33 34 35 36图 3第三步，观察剩余的 20 个数有这样的规律：，13625410273而 37+74=111=S6, 于是，可把这 20 个数按“和为 37”配成10 对，如图 4 所示. 把第一行的数称为小头数，第二行的数称为大头数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1036 35 34 33 32 31 30 29 28 27图 4第四步，按每对在同一行或同一列或同一对角线的原则，把它们添加到图 2 的四周,但要满足: (a) 每边 3 个小头数；(b)对边的小头数之和相等. 这就可得到一个 6 阶幻方,如图5 所示. 9 1 32 30 29 106 11 25
20、24 14 312 22 16 17 19 3534 18 20 21 15 333 23 13 12 26 427 36 5 7 8 28图 5图 5 四周每边 3 个小头数（蓝色） ，第 1 行与第 6 行的小头数之和都是 20; 第 1 列与第 6 列的小头数之和都是 17.这种方法可以推广到一般 4k+2 阶幻方的构造，其步骤是：(1) 先构造出一个 4k 阶幻方;(2) 把这个 4k 阶幻方的每个数都加上 8k+2,即把这 16k2 个数移到 1(4k+2)2 的中间；(3) 把剩余的首尾两段小头数与大头数配对，每对之和为16k(k+1)+5;(4) 按每对在同一行或同一列或同一对角
21、线的原则，把它们添加到上图的四周，但要满足: (a) 每边有 2k+1 个小头数；(b)对边的小头数之和相等. 这就可得到一个 4k+2 阶幻方. 按这种方法，我们再构造出一个 10 阶幻方如图 6 所示，S10=505.17 1 2 3 97 96 95 86 90 187 82 20 21 79 78 24 25 75 9414 27 73 72 30 31 69 68 34 878 35 65 64 38 39 61 60 42 9316 58 44 45 55 54 48 49 51 8591 50 52 53 47 46 56 57 43 1089 59 41 40 62 63 37
22、 36 66 1288 67 33 32 70 71 29 28 74 1392 26 76 77 23 22 80 81 19 983 100 99 98 4 5 6 15 11 84图 6图 6 中间部分是把一个 8 阶幻方平移了 18, 四周每边有5 个小头数，第 1 行与第 10 行的小头数之和都是 41; 第 1列与第 10 列的小头数之和都是 62. 这就是一个 10 阶幻方.注：幻方的数量：3 阶 8 个；4 阶 7040 个；5 阶多于 2.7 亿个；6 阶多于 1.77*1019 个.七、幻方的推广（1）广义幻方由 n2 个不同的正整数组成的 n 阶方阵，且每行、每列及两对角
23、线上的 n 个元素之和都相等，这种方阵称为 n 阶广义幻方.当然，n 阶广义幻方没有固定的幻和. 例 1 S3=39. 由于约束条件减弱，所以 n 阶广义幻方较易求得. 任一个 n 阶幻方平移一个正整数，都可获得一个 n 阶广义幻方. 例 2 以下是一个可颠倒(转 180 度)的 4 阶广义幻方, S 4=264 颠倒后，幻和不变.（2）双重幻方双重幻方由 n 个不同的正整数构成，各行、各列及两对角线上的各数之和均相等，同时各数的乘积也均相等. 例如162 207 51 26 133 120 116 25105 152 100 29 138 243 39 3492 27 91 136 45 3
24、8 150 26157 30 174 225 108 23 119 10458 75 171 90 17 52 216 16113 68 184 189 50 87 135 114200 203 15 76 117 102 46 81153 78 54 69 232 175 19 60这是 8 阶双重幻方，幻和为 840，幻积为 2,058,068,231,856,000（3）平方（二次）幻方平方幻方的各行各列及两条对角线诸数的和均相等、平方和也均相等. 以下是由 0195 构成的 14 阶平方幻方36 8 103 68 151 166 104 28 190 55 168 78 61 1491
25、14 48 4 177 132 146 124 148 129 77 18 164 11 7310 25 47 13 1922 1 1668 89 11 9616 91 69 8899 18 86 6181 66 98 1961 86 99 1819 98 81 6688 69 16 9196 11 68 8933 57 44 9 141 120 189 183 111 59 80 43 158 13834 135 159 140 72 14 6 162 53 144 152 102 39 153150 193 171 67 15 84 63 76 115 119 89 26 21 17611
26、6 195 112 0 5 173 82 66 54 145 105 108 154 50181 109 155 42 157 20 113 37 92 69 41 32 191 12656 156 133 127 22 46 88 51 19 179 131 161 165 3165 106 95 110 47 100 58 192 91 178 1 174 136 1240 107 29 184 101 83 122 134 2 180 10 147 130 9674 49 90 123 142 121 182 13 167 25 163 3 85 12893 86 185 98 188
27、71 7 87 137 24 125 169 79 16187 17 62 160 75 27 175 70 35 81 143 64 97 172186 99 23 60 117 194 52 118 170 30 139 94 38 45（4）三次幻方三次幻方的各行各列及两条对角线诸数的和均相等、平方和也均相等、立方和也均相等. 以下是由 0255 构成的 16阶三次幻方33 29 27 25 145 82 84 114 141 171 173 110 230 228 226 22251 39 123 63 233 109 206 218 37 49 146 22 192 132 216
28、204177 167 225 211 168 244 150 41 214 105 11 87 44 30 88 78124 200 4 248 111 90 48 102 153 207 165 144 7 251 55 131195 179 175 231 198 58 95 240 15 160 197 57 24 80 76 6061 77 81 117 246 213 113 14 241 142 42 9 138 174 178 194202 252 106 126 96 43 12 101 154 243 212 159 129 149 3 53118 54 70 188 209
29、 235 19 163 92 236 20 46 67 185 201 137254 98 184 66 65 75 237 93 162 18 180 190 189 71 157 1136 156 250 128 23 181 170 17 238 85 74 232 127 5 99 119130 134 182 186 8 172 35 239 16 220 83 247 69 73 121 12552 2 148 68 191 147 242 155 100 13 108 64 187 107 253 203223 227 229 139 158 196 143 36 219 112
30、 59 97 116 26 28 320 120 72 6 47 164 161 152 103 94 91 208 249 183 135 25579 89 31 45 86 10 104 215 40 151 245 169 210 224 166 176205 217 133 193 56 21 221 140 115 34 234 199 62 122 38 50（5）立体幻方立体幻方是由 1n3 的正整数构成立方体，可从三个方向切片，每片的各行、各列上的各数之和均相等, 各对角线（立体）上的各数之和也均相等. 其幻和为. 例如 3 阶立体幻方, 3(1)2nS342S24 2 16
31、10 27 5 8 13 2111 25 6 9 14 19 22 3 177 15 20 23 1 18 12 26 4第 1 片 第 2 片 第 3 片八、幻方的应用前景(一)、幻方应用于哲理思想的研究在数学中，幻方蕴涵的哲理思想是最为丰富的. 易经 是一本哲学书，它几乎影响了国内外的各种哲学思想. 而易学家们通过多方面研究发现，易学来源于河图洛书，而洛书就是三阶幻方. 幻方的布局规律、构造原理蕴涵着一种概括天地万物的生存结构，是说明宇宙产生和发展的数学模型.四阶完美幻方的易理思想、五阶幻方与易数系统，是对高阶幻方蕴含的哲理思想的进一步探讨，有兴趣的读者可参阅周易研究1999 年第 1 期
32、和 2000 年第 1 期. (二)、幻方应用于美术设计幻方可大量应用于美术设计，西方建筑学家勃拉东发现幻方的对称性相当丰富，它采用幻方组成许多美丽的图案，他把图案中的那些方阵内的线条称为“魔线”，并应用于轻工业品、封面包装设计中，德国著名版画家 A度勒的作品忧郁症中，因有一个能指明制作年代的幻方而闻名于世，艺术美与理性美的和谐组合，往往成为流芳千古的佳作. 关于“魔线”图，日本幻方专家阿部乐方也做过许多工作，我国河南安阳一位教师姬广忠，曾研究出各种魔线图，奉献给了中央工艺美术学院. 北京丁宝训在幻方专辑 登载了 17 幅“魔线图”，都十分漂亮. 幻方中数学布局十分对称均衡，又有丰富的变化，因
33、而将其数字按序联起来，可形成一幅幅奇特的“魔方阵构造图”，经彩色处理可获得十分漂亮的美术图案，这种图案在表现出多样的对称美的同时，又有幻方原理的理性规律，因此耐人寻味，堪称天斧之工. (三)、幻方的美学价值数学是美的，幻方更美. 幻方是数学按着一种规律布局成的一种体系 ，每个幻方不仅是一个智力成就，而且还是一个艺术佳品，都以整齐划一，均衡对称、和谐统一的特性，迸发出耀人的数学美的光辉，具有很高的美学价值. 在数学美学当中，把幻方中的美学价值推为至上，由于数学中的各个内容均同数字有密切联系，因而幻方这种美的结构均可渗透在各种数学知识当中，显示出多样的妙趣来，使我们在幻方的欣赏中了解数学知识的许多
34、奥妙. (四)、幻方的智力开发功能幻方由于比较简单，容易入门，很快能引起青少年的探讨兴趣.可以说幻方在智力开发方面已产生十分重要的作用. 挖掘中国数学史，我们便会看到，趣味 数学、计算工具、棋类游戏都与幻方有着内在的联系. 在算法的历史上，先有九宫算，后有 太乙算、算盘、电子计算机，在游戏的发展史上，最先有重排九宫，后有象棋、围棋、华容道游戏等. 围棋盘是一个 19 阶方阵，象棋盘是一个八阶方阵(其将帅宫是一个三阶方阵)， 它们的走法原理均同幻方的布局原理相关. 电脑上的“挖地雷”游戏，同九宫图密切相关. 近年来，我国幻方研究者应用幻方原理发明了许多智力开发游戏. 辽宁刘志雄设计出一种 “集图
35、双面幻方器”获铜牌奖，安徽王忠汉设计出一种有趣的“幻方棋”，湖南江亚晶设计了“幻方系列数字游戏机”，高治源也设计成功“九宫妙算棋”，具有九大功能，20 多种游戏方式. (五)、幻方在数学教学中的影响幻方在数学教学中，具有提高学生学习兴趣、美化教材、启迪思维的功能. 幻方中数字的丰富变化，把数学教材中的各个内容联系起来，如方程幻方、 根式幻方、分数幻方、黑洞数幻方、积幻方、差幻方、平方幻方等，它们都可用在数学教学当中，使数学内容产生魅力. (六)、幻方对科学的启迪洛书是三阶幻方，由于它们流传甚广 ，从古到今给人们许多科学的启迪. 例如，爱因斯坦的相对论，运用了 11 个公式推算时空相对增减元数，
36、而河洛数对他很有启发. 美籍华裔学者焦蔚芳，曾写有洛书矩阵、洛书几何、洛书空间方面的书，对数学的发展起了促进的作用. 河南傅熙如运用洛书研究哥德巴赫猜想. 我们知道电脑的产生基于自动控制理论，而美国自动控制论的发明人是通过研究中国的“三三迷宫图”(三阶幻方的联线图)突发奇想，做出一系列控制理论的. 从这里的资料可 看出，现在风靡世界的电脑，挖根寻源竟然跑到了幻方领域里去了. 幻方因具有一种自然的属性，虽是数字关系，但往往抽象概括性特强，当人们反复深思以后，就有可能对某个科学理论激发出灵感来，从而推动其发展. 在中国的传统文化中，我们能够看到洛书运用于军事 、中医、天文、气象、气功等领域的大量资
37、料，说明幻方与各种学科的密切关系是不可忽视的. (七)、幻方应用于科学技术之中幻方已应用于“建路”、“爵当曲线”、“七座桥”等的位 置解析学及组合解析学中. 幻方引出了拉普拉斯的导引系数和哥斯定理、格里定理、斯笃克定理，还引出了普生、布鲁汀两氏的电子方程式. 幻方还引出了桑南的自动控制论，从而促成了电子计算机的诞生，电脑有三个来源，即二进制(八卦)、算盘和幻方. 电子科学已把幻方的排列路线看成是一理想的电子回路网图形，我们从台湾黎凯旋的易数浅谈中可以看 到，从日本学习飞机知识的台湾驾驶员，第一堂课上的就是幻方知识课，因为幻方的构造原理与飞机上的电子回路设置密切相关. 台湾电机专家吴隆生创造了
38、64 阶方阵仪可用于计算机 、测量仪、通讯交换仪以及水电、火力、航空等的管制系统，已获得专利. 海上漂浮建筑，首先要解决的问题，就是要将建筑面分割成方阵格，每格的建筑重量的确定，需要象构造幻方一样巧妙布局，因为只要各线各方向上的重量处处均衡才不致于倾斜. 陕西省政协田健先生写成一书，正在应用幻方研究中医理论，他从幻方的数字结构研究人体病因的数字特征，以及中药的配置. 他的研究工作引起了许多医易学家的关注. 应用十阶幻方的构造原理研究“505 神功元气袋”的中医理论，取得了一定的成果. 四川刘辑熙曾为玩具厂、手帕厂 、制球厂、制伞厂、瓷厂设计了幻方文化产品，江苏许仲义有“幻方地毯”的设计. 北京
39、高学峰有“幻方布”及“幻阵治病”的多项专利. (八)、幻方在前沿科学中的作用北方工业大学齐东旭教授的书分形及其计算机生成中，其中有一节“矩阵的 kronecker 乘积与幻方”，论述了幻方已从被认为仅仅是“奇怪的现象”而逐渐开发了它的应用. 如果将 m 阶幻方 A、n 阶幻方 B 作为矩阵，那么Kronecker 乘积 A*B 也是一个幻方. 如果在计算机屏幕上设定 mn 个正方形，每个正方形的灰度依序对应 mn 矩阵A 的元素数值，对应于 aij 的方块，每分割它为 Pq 个小正方形，按 aij*B 的数值对它着色，这一过程继续下去，可以想象，由幻方得到的无穷嵌套的结构具有自相似性(外观的或
40、内在的)，可看作是一种全息对应结构. 因幻方是一种特殊的数值矩阵，齐东旭教授发现，以幻方为控制网数据矩阵而生成的 Bezier -Bernstein 曲面，具有单向积分不变的特性，而其他熟知的逼近方式，如 B 样条插值或磨光、lagrange 插值等，皆不具备这一性质. 齐东旭教授写的文章数字图像变换及信息隐藏与伪装技术提出“按幻方的图像置乱变换”的技术，它可以将需保密的图像置乱后，再按幻方的原理复原，这种置乱变换还可以进行多次. 幻方的分类、计数及构造 程序和变换，均可用在信息隐藏技术中，应用前景将十分广阔. 计算机网络系统，网络拓朴结构共有五种，它们各有优缺点，但当我们思考五阶完美幻方的结
41、构后，五种网络结构可融为一体，有可能成为最完美的网络体系结构，而且它有些象我们人体中的“五行体系”(中医名词). 山东吴硕辛的 (q, A)理论 ，与电脑的基本原理十分接近，这套从幻方中派生的理论，必定会在电脑中找到应用的前景的.随着电子计算机的进一步发展，幻方在人功智能、图论、对策论、实验设计、工艺美术、电子回路原理、位置解析学等方面有着更加广泛的应用. 我们可以这样说，幻方在古老的过去 ，对人类的文明做出了重大的贡献，而在信息时代的今天，它也必将有一个广阔的应用前景. 九、幻方大世界 http:/十、幻方的连线图把一个 8 阶幻方的数从小到大用直线连起来，得到一个对称图案名人本杰明 富兰克林对幻方很有兴趣，开发了一个 8 阶幻方和一个 16 阶幻方
