1、第五章 异方差性 思考题5.1 简述什么是异方差 ? 为什么异方差的出现总是与模型中某个解释变量的变化有关 ?5.2 试归纳检验异方差方法的基本思想 , 并指出这些方法的异同。5.3 什么是加权最小二乘法 , 它的基本思想是什么 ?5.4 产生异方差的原因是什么 ? 试举例说明经济现象中的异方差性。5.5 如果模型中存在异方差性 , 对模型有什么影响 ? 这时候模型还能进行应用分析吗 ?5.6 对数变化的作用是什么 ? 进行对数变化应注意什么 ? 对数变换后模型的经济意义有什么变化 ?5.7 怎样确定加权最小二乘法中的权数 ?练习题5.1 设消费函数为 123iiiYXu其中, 为消费支出；
2、为个人可支配收入； 为个人的流动资产；i i 3iX为随机误差项 ,iu并且 E( )=0,Var( )= ( 其中 为常数) 。试回答以下问题 :iiu2iX21) 选用适当的变换修正异方差 , 要求写出变换过程 ;2) 写出修正异方差后的参数估计量的表达式。5.2 根据本章第四节的对数变换 , 我们知道对变量取对数通常能降低异方差性 , 但需对这种模型的随机误差项的性质给予足够的关注。例如 ,设模型为 ,对该模型中 的变量取对数后得21YXu12lnlnYXu1) 如果ln 要有零期望值 , 的分布应该是什么 ?u2) 如果 E( )=1, 会不会 E(ln )=0? 为什么 ?u3) 如
3、果 E(ln ) 不为零 , 怎样才能使它等于零 ?5.3 表 5.8 给出消费 Y 与收入 X 的数据 , 试根据所给数据资料完成以下问题 :1) 估计回归模型 中的未知参数 和 , 并写出样本回归12u12模型的书写格式；2) 试用 GOMeld-Quandt 法和 White 法检验模型的异方差性 33) 选用合适的方法修正异方差。Y X Y X Y X55 80 152 220 95 14065 100 144 210 108 14570 85 175 245 113 15080 110 180 260 110 16079 120 135 190 125 16584 115 140 2
4、05 115 18098 130 178 265 130 18595 140 191 270 135 19090 125 137 230 120 20075 90 189 250 140 20574 105 55 80 140 210110 160 70 85 152 220113 150 75 90 140 225125 165 65 100 137 230108 145 74 105 145 240115 180 80 110 175 245140 225 84 115 189 250120 200 79 120 180 260145 240 90 125 178 265130 185 9
5、8 130 191 2705.4 表 5.9 给出 1985 年我国北方地区农业总产值 , 农用化肥量、农用水利、农业劳动力、户均固定资产以及农机动力数据 , 要求 :1) 试建立我国北方地区农业产出线性模型 ;2) 选用适当的方法检验模型中是否存在异方差 ;3) 如果存在异方差 , 采用适当的方法加以修正。地区农业总产值（亿元）农业劳动力（万人）灌溉面积（万公顷） 化肥用量(万吨）户均固定资产（元）农机动力（万马力）北京 19.64 90.1 33.84 7.5 394.3 435.3天津 14.4 95.2 34.95 3.9 567.5 450.7河北 149.9 1639 .0 357
6、.26 92.4 706.89 2712.6山西 55.07 562.6 107.9 31.4 856.37 1118.5内蒙古 60.85 462.9 96.49 15.4 1282.81 641.7辽宁 87.48 588.9 72.4 61.6 844.74 1129.6吉林 73.81 399.7 69.63 36.9 2576.81 647.6黑龙江 104.51 425.3 67.95 25.8 1237.16 1305.8山东 276.55 2365.6 456.55 152.3 5812.02 3127.9河南 200.02 2557.5 318.99 127.9 754.78
7、 2134.5陕西 68.18 884.2 117.9 36.1 607.41 764新疆 49.12 256.1 260.46 15.1 1143.67 523.3*1马力=0.735kW5.5 表 5.10 中的数据是美国 1988 研究与开发 (R2) 因智利的数据出现了异常 , 去掉智利数据后 , 重新作回归并再次分析回归中的残差;3) 如果根据1款的结果你将得到有异方差性的结论,而根据2款的结论你又得到相反的结论 , 对此你能得出什么样的结论 ?5.8 表 5.13 给出的是1998年我国重要制造业销售收入与销售利润的数据。表 5.13 1998 年我国重要制造业销售收入与销售利润的
8、数据 ( 单位 : 亿元 )行业名称 销售收入销售利润 行业名称 销售收入 销售利润食品加工业 187.25 3180.44 医药制造业 238.71 1264.1食品制造业 111.42 1119.88 化学纤维制造 81.57 779.46饮料制造业 205.42 1489.89 橡胶制品业 77.84 692.08烟草加工业 183.87 1328.59 塑料制品业 144.34 1345纺织业 316.79 3862.9 非金属矿制品 339.26 2866.14服装制造业 157.7 1779.1 黑色金属冶炼 367.47 3868.28皮革羽绒制品 81.73 1081.77 有
9、色金属冶炼 144.29 1535.16木材加工业 35.67 443.74 金属制品业 201.42 1948.12家具制造业 31.06 226.78 普通机械制造 354.69 2351.68造纸及纸制品 134.4 1124.94 专用设备制造 238.16 1714.73印刷业 90.12 499.83 交通运输设备 511.94 4011.53文教体育用品 54.4 504.44 电子机械制造 409.83 3286.15石油加工业 194.45 2363.8 电子通讯设备 508.15 4499.19化学原料制品 502.61 4195.22 仪器仪表设备 72.46 663.6
10、8试完成以下问题 :1) 求销售利润岁销售收入的样本回归函数 , 并对模型进行经济意义检验和统计检验;2) 分别用图形法、Glejser方法、White方法检验模型是否存在异方差 ;3) 如果模型存在异方差 , 选用适当的方法对异方差性进行修正。5.9 表 5.14 所给资料为 19782000 年四川省农村人均纯收入 和人均生活tX费支出 的数据。sY表5.14 四川省农村人均纯收入和人均生活费支出时间 农村人均纯收入 X农村人均生活费支出 Y时间 农村人均纯收入 X农村人均生活费支出 Y1978 127.1 120.3 1990 557.76 509.161979 155.9 142.1
11、1991 590.21 552.391980 187.9 159.5 1992 634.31 569.461981 220.98 184 1993 698.27 647.431982 255.96 208.23 1994 946.33 904.281983 258.39 231.12 1995 1158.29 1092.911984 286.76 251.83 1996 1459.09 1358.031985 315.07 276.25 1997 1680.69 1440.481986 337.94 310.92 1998 1789.17 1440.771987 369.46 348.32 1
12、999 1843.47 1426.061988 448.85 426.47 2000 1903.6 1485.341989 494.07 473.59资料来源 : 四川统计年鉴 ,20011) 求农村人均生活费支出对人均纯收入的样本回归函数 , 并对模型进行经济意义检验和统计检验 ;2) 选用适当的方法检验模型中是否存在异方差 ;3) 如果模型存在异方差 , 选用造当的方法对异方差性进行修正。5.10 在 5.9 中用的是时间序列数据 , 而且没有剔除物价上涨因素。试分析如果剔除物价上涨因素 , 即用实际可支配收入和实际消费支出 , 异方差的问题是否会有所改善? 由于缺乏四川省 1978 年后
13、的农村居民消费价格定基指数 , 以 1978-2000年全国商品零售价格指数(1978年为100)代替 , 如表5.15所示。表 5.1519782000 年全国商品零售价格数年份 商品零售价格指数年份 商品零售消费价格指数年份 商品零售消费价格指数1978 100 1986 135.8 1994 310.21979 102 1987 145.7 1995 356.11980 108.1 1988 172.7 1996 377.81981 110.7 1989 203.4 1997 380.81982 112.8 1990 207.7 1998 370.91983 114.5 1991 213
14、.7 1999 359.81984 117.7 1992 225.2 2000 354.41985 128.1 1993 254.9资料来源 : 中国统计年鉴2001第五章 异方差性 思考与练习1. 简述什么是异方差?为什么异方差的出现总是与模型中某个解释变量的变化有关？答：异方差性是指模型违反古典假定中的同方差性，即各残差项的方差并非相等。一般地，由于数据观测质量、数据异常值、某些经济变化的特性、模型设定形式的偏误等原因，导致了异方差的出现。主要原因往往是重要变量的遗漏，所以很多情况下，异方差表现为残差方差随着某个（未纳入模型的）解释变量的变化而变化。2. 归纳教材中所介绍的检验异方差的方法
15、的基本思想。答：本书中给出了 5 种检验方法：GoldfeldQuandt 检验，Glejser检验，Breusch-Pagan 检验，White 检验，ARCH 检验。其共同的基本思想是：判断随机误差项与解释变量观测值之间的相关性。对上述每一种检验来说，具体的寻找误差项与解释变量的关系的方法手段有所不一样。 。 。 。 。3.什么是加权最小二乘法，它的基本思想是什么？答： 加权最小二乘法是对各个残差的平方赋予不同的权重后求和，求解参数估计值，使加权之后的残差平方和最小。这种确定参数估计值的方法称为加权最小二乘法。其基本思想是：在异方差的情形下，方差越小，偏离均值的离散程度越小，越应该受到重视
16、。即 ei的方差越小，在确定回归线时起的作用越大，反之，起的作用越小。这样，应该对方差小的 ei赋予较大的权重，对方差大的 ei赋予较小的权重，让各个 ei2提供的信息大致一致。4.判断下列说法是否正确，并简要说明为什么。（1） 当异方差出现时，最小二乘估计是有偏的和不具有最小方差特性；答：不正确。这个时候估计式是无偏的，但是不具有最小方差性。（2） 当异方差出现时，常用的 t 和 F 检验失效；答：正确。由于方差不是常数而是变数，这时一般意义上 t 比值的分布是未知的，但肯定不再遵从 t-分布，使得 t 检验失效；同理，在异方差条件下，F 比值也不再是遵从 F-分布，F 检验也失效。（3）
17、异方差情况下，通常的 OLS 估计一定高估了估计量的标准差；答：一般是低估了其标准差。（4） 如果 OLS 回归的残差表现出系统性，则说明数据中有异方差性；答：是，但同时也要考虑自相关性的存在。（5） 如果回归模型中遗漏一个重要变量，则 OLS 残差必定表现出明显的趋势；答：是。尤其是在经济、金融数据中，这种异方差性的现象更为突出。（6） 如果模型遗漏一个非恒定方差的回归元，则残差将会呈异方差。答：一般来说是的，但是有时候不见得会表现出来或者说不一定能够观察得到。5.由表 5.7 给出消费 Y 与收入的数据，试根据数据完成一下问题：（1） 估计回归模型 uX21（2） 检验异方差性（可用 Go
18、ldfeld-Quandt 检验） ；（3） 选用合适的方法修正异方差。解答：（1）回归的结果如下：Dependent Variable: YMethod: Least SquaresDate: 05/14/03 Time: 20:43Sample: 1 60Included observations: 60Variable CoefficientStd. Errort-StatisticProb.X 0.6370690.01990332.008810.0000C 9.3475223.6384372.5691040.0128R-squared 0.946423Mean dependent va
19、r119.6667Adjusted R-squared0.945500S.D. dependent var38.68984S.E. of regression9.032255Akaike info criterion7.272246Sum squared resid4731.735Schwarz criterion7.342058Log likelihood-216.1674F-statistic 1024.564Durbin-Watson stat1.790431Prob(F-statistic)0.000000由回归结果可以看出，系数 t 检验显著，F 检验显著，可决系数高。（2）检验是否
20、存在异方差。以下用 ARCH 检验来检是否真的存在异方差。选取 ARCH 过程的阶数为 p3，上机检验，结果为：ARCH Test:F-statistic2.778208Probability 0.050053Obs*R-squared7.745602Probability 0.051573Test Equation:Dependent Variable: RESID2Method: Least SquaresDate: 05/14/03 Time: 21:14Sample(adjusted): 4 60Included observations: 57 after adjusting end
21、pointsVariable CoefficientStd. Errort-StatistProb.icC 55.6862120.581992.7055790.0092RESID2(-1)0.3936290.1373182.8665530.0059RESID2(-2)-0.1093210.147425-0.7415400.4616RESID2(-3)0.0296900.1377450.2155450.8302R-squared 0.135888Mean dependent var80.63792Adjusted R-squared0.086976S.D. dependent var113.74
22、03S.E. of regression108.6814Akaike info criterion12.28231Sum squared resid626017.6Schwarz criterion12.42568Log likelihood-346.0458F-statistic 2.778208Durbin-Watson stat1.998685Prob(F-statistic)0.050053（np）*R 27.7456，查卡方分布表，给定显著水平 0.05，得临界值 81.7)3(205.，非常接近前面的观测值 7.7456。虽然可以说没有异方差，但是不是很肯定。所以我们再做 Whit
23、e 检验，来判别一下是否存在异方差。White Heteroskedasticity Test:F-statistic6.301373Probability 0.003370Obs*R-squared10.86401Probability 0.004374Test Equation:Dependent Variable: RESID2Method: Least SquaresDate: 05/14/03 Time: 21:33Sample: 1 60Included observations: 60Variable Coeffic Std. t- Prob.ient Error Statist
24、icC -10.03614131.1424-0.0765290.9393X 0.1659771.6198560.1024640.9187X2 0.0018000.0045870.3924690.6962R-squared 0.181067Mean dependent var78.86225Adjusted R-squared0.152332S.D. dependent var111.1375S.E. of regression102.3231Akaike info criterion12.14285Sum squared resid596790.5Schwarz criterion12.247
25、57Log likelihood-361.2856F-statistic 6.301373Durbin-Watson stat1.442328Prob(F-statistic)0.003370由概率 p0.004374，得出的结果是：在显著水平为 0.05 时，存在异方差。综上，可以认为存在异方差。6.表 5.8 的数据是美国研究与开发（R&D）支出费用（Y）与不同部门产品销售量（X） 。试根据资料建立一个回归模型，运用 Glejser 方法检验异方差，由此决定异方差的表现形式并选用适当方法加以修正。解答：建立模型： uX21，回归得到结果：Dependent Variable: YMetho
26、d: Least SquaresDate: 05/14/03 Time: 22:39Sample: 1 18Included observations: 18Variable CoefficientStd. Errort-StatisticProb.X 0.0319000.0083293.8300440.0015C 192.994 990.9 0.19475 0.8484 845 0 0R-squared 0.478305Mean dependent var3056.861Adjusted R-squared0.445699S.D. dependent var3705.973S.E. of r
27、egression2759.150Akaike info criterion18.78767Sum squared resid1.22E+08Schwarz criterion18.88660Log likelihood-167.0890F-statistic 14.66924Durbin-Watson stat3.015597Prob(F-statistic)0.001476如所预料，研发费用和销售量正相关。常数项不显著，那是无关紧要得的。应用 Glejser 来检验是否存在异方差。1）将残差的绝对值对销量回归：Dependent Variable: ABS_RESIDMethod: Lea
28、st SquaresDate: 05/14/03 Time: 23:40Sample: 1 18Included observations: 18Variable CoefficientStd. Errort-StatisticProb.X 0.0119390.0057042.0930560.0526C 578.5686678.69490.8524720.4065R-squared 0.214951Mean dependent var1650.427Adjusted R-squared0.165885S.D. dependent var2069.045S.E. of regression188
29、9.657Akaike info criterion18.03062Sum squared resid57132855Schwarz criterion18.12955Log likelihoo-160.275F-statistic 4.380883d 6Durbin-Watson stat1.743304Prob(F-statistic)0.0526342）将残差的绝对值对销量正平方根回归：3）将残差的绝对值对销量的倒数回归：Dependent Variable: ABS_RESIDMethod: Least SquaresDate: 05/14/03 Time: 23:44Sample:
30、1 18Included observations: 18Variable CoefficientStd. Errort-StatisticProb.INVERST_X -1992447012318142-1.6174900.1253C 2273.695604.69913.7600430.0017R-squared 0.140537Mean dependent var1650.427Adjusted R-squared0.086820S.D. dependent var2069.045Dependent Variable: ABS_RESIDMethod: Least SquaresDate:
31、 05/14/03 Time: 23:42Sample: 1 18Included observations: 18Variable Coefficient Std. Errort-Statistic Prob. SQR_X 7.971933 3.363148 2.370378 0.0307C -507.0178 1007.684 -0.503151 0.6217R-squared 0.259900 Mean dependent var 1650.427Adjusted R-squared0.213643 S.D. dependent var 2069.045S.E. of regressio
32、n1834.762 Akaike info criterion17.97166Sum squared resid53861631 Schwarz criterion 18.07059Log likelihood-159.7449 F-statistic 5.618693Durbin-Watson stat1.785736 Prob(F-statistic) 0.030672S.E. of regression1977.189Akaike info criterion18.12118Sum squared resid62548395Schwarz criterion18.22011Log lik
33、elihood-161.0906F-statistic 2.616274Durbin-Watson stat1.505571Prob(F-statistic)0.125315分析上面残差对销量、销量的平方根、销量的倒数分别回归的结果（解释变量：销量的平方根显著） ，可以看见原回归中存在异方差性。修正：从对原模型的回归结果的残差描图，我们能看到误差绝对值正比于销售量的平方根，以及从上面 1）3）的回归中可以看到：2）中的销量的平方根显著性最好，因而，可利用销售量的平方根除以原来的回归式两边，变换得到以下结果： 21uXXY回归得：Dependent Variable: Y_SQR_XMethod
34、: Least SquaresDate: 05/15/03 Time: 00:06Sample: 1 18Included observations: 18Variable CoefficientStd. Errort-StatisticProb.INVERST_SQR_X-246.6781381.1279-0.6472320.5267SQR_X 0.0367980.0071145.1723330.0001R-squared 0.364891Mean dependent var8.855279Adjusted R-squared0.325197S.D. dependent var8.83437
35、7S.E. of regression7.257123Akaike info criterion6.906283Sum squared 842.6535Schwarz criterion7.005214residLog likelihood-60.15655Durbin-Watson stat2.885304与原来的回归结果相比较，斜率系数相差甚微，但是后者的方差要小些，表明原来的回归确实高估了标准误差。对于调整后回归式中第一个项不显著？7. 解答：（1）直接回归得到下面结果：Dependent Variable: YMethod: Least SquaresDate: 05/15/03 Ti
36、me: 17:09Sample: 1 20Included observations: 20Variable CoefficientStd. Errort-StatisticProb.X 0.7574330.1499415.0515590.0001C 4.6102821.0849064.2494780.0005R-squared 0.586380Mean dependent var8.530000Adjusted R-squared0.563402S.D. dependent var5.131954S.E. of regression3.390969Akaike info criterion5
37、.374748Sum squared resid206.9761Schwarz criterion5.474321Log likelihood-51.74748F-statistic 25.51825Durbin-Watson stat2.607212Prob(F-statistic)0.000083可以看见回归中系数是显著的，F 检验通过，拟合效果尚可。分析残差，看看是否有异方差存在。做 ARCH（p3）检验，结果如下：ARCH Test:F-statistic1.006388Probability 0.421158Obs*R- 3.20402 Probability 0.361square
38、d 3 226Test Equation:Dependent Variable: RESID2Method: Least SquaresDate: 05/15/03 Time: 17:12Sample(adjusted): 4 20Included observations: 17 after adjusting endpointsVariable CoefficientStd. Errort-StatisticProb.C 10.370626.1908201.6751610.1178RESID2(-1)0.3353080.2768181.2112960.2473RESID2(-2)-0.40
39、63360.271045-1.4991490.1577RESID2(-3)0.0984310.2851430.3451970.7355R-squared 0.188472Mean dependent var10.54712Adjusted R-squared0.001196S.D. dependent var14.61720S.E. of regression14.60846Akaike info criterion8.403402Sum squared resid2774.291Schwarz criterion8.599453Log likelihood-67.42892F-statist
40、ic 1.006388Durbin-Watson stat1.937446Prob(F-statistic)0.421158可以初步判断无异方差存在。再做 white 检验验证：White Heteroskedasticity Test:F-statistic0.539021Probability 0.592965Obs*R-squared1.192653Probability 0.550832Test Equation:Dependent Variable: RESID2Method: Least SquaresDate: 05/15/03 Time: 17:14Sample: 1 20In
41、cluded observations: 20Variable CoefficientStd. Errort-StatisticProb.C 19.1324111.829771.6173100.1242X -2.3230063.322171-0.6992430.4939X2 0.0618480.1131120.5467840.5916R-squared 0.059633Mean dependent var10.34880Adjusted R-squared-0.050999S.D. dependent var13.42726S.E. of regression13.76539Akaike in
42、fo criterion8.219673Sum squared resid3221.260Schwarz criterion8.369032Log likelihood-79.19673F-statistic 0.539021Durbin-Watson stat1.592845Prob(F-statistic)0.592965结果还是显示无异方差。故可以认为不存在异方差。（2）去掉智利的数据之后再来回归：Dependent Variable: YMethod: Least SquaresDate: 05/15/03 Time: 17:16Sample(adjusted): 1 19Includ
43、ed observations: 19 after adjusting endpointsVariable CoefficientStd. Errort-StatistProb.icX 0.2214840.5555680.3986630.6951C 6.7380822.3848602.8253580.0117R-squared 0.009262Mean dependent var7.636842Adjusted R-squared-0.049016S.D. dependent var3.310457S.E. of regression3.390619Akaike info criterion5
44、.379203Sum squared resid195.4371Schwarz criterion5.478618Log likelihood-49.10243F-statistic 0.158932Durbin-Watson stat2.619902Prob(F-statistic)0.695105结果是回归中斜率系数不显著。可决系数非常低。F 检验没有通过。不过这时候再来分析一下残差。做 ARCH 检验：ARCH Test:F-statistic0.638249Probability 0.604727Obs*R-squared2.201689Probability 0.531616Test
45、 Equation:Dependent Variable: RESID2Method: Least SquaresDate: 05/15/03 Time: 17:20Sample(adjusted): 4 19Included observations: 16 after adjusting endpointsVariable CoefficientStd. Errort-StatisticProb.C 12.261906.9757501.7577900.1042RESID2(-1)0.1868750.2931060.6375680.5357RESID2(-2)-0.3473160.27996
46、5-1.2405700.2385RESID2(-3)-0.0206630.305449-0.0676480.9472R-squared 0.137606Mean dependent var10.02876Adjusted R-squared-0.077993S.D. dependent var13.54799S.E. of regression14.06640Akaike info criterion8.337773Sum squared resid2374.363Schwarz criterion8.530920Log likelihood-62.70218F-statistic 0.638
47、249Durbin-Watson stat1.872819Prob(F-statistic)0.604727仍然显示有无方差存在。做 White 检验来验证：White Heteroskedasticity Test:F-statistic0.231854Probability 0.795680Obs*R-squared0.535144Probability 0.765235Test Equation:Dependent Variable: RESID2Method: Least SquaresDate: 05/15/03 Time: 17:22Sample: 1 19Included obs
48、ervations: 19Variable CoefficientStd. Errort-StatisticProb.C 10.2493020.837120.4918770.6295X 1.1522068.8394540.1303480.8979X2 -0.2517340.873604-0.2881560.7769R-squared 0.028165Mean dependent var10.28616Adjusted R-squared-0.093314S.D. dependent var12.48054S.E. of regression13.04985Akaike info criteri
49、on8.119370Sum squared resid2724.779Schwarz criterion8.268492Log likelihood-74.13402F-statistic 0.231854Durbin-Watson stat1.779798Prob(F-statistic)0.795680结果还是表明无异方差存在。8. 解答：用 Y，X 2，X 3，X 4，X 5，X 6分别代表农业总产值、农用化肥量、农田水利、农业劳动力、户均固定资产以及农机动力。（1）建立我国北方地区农业产出线性模型：u654321 （8.1）对（8.1）式回归，结果如下：Dependent Variable: YMethod: Least SquaresDate: 05/15/03 Time: 21:58Sample: 1 12Included observations: 12Variable CoefficientStd. Errort-StatisticProb.X2 0.0396160.0272701.4527380.1965X3 -0.0368960.077704-0.474
