1、1高中数学课程标准（第二稿）前 言2000 年 6 月高中数学课程标准 （以下简称标准 ）研制工作开始启动。研制组认真学习国家教育部基础教育课程改革指导纲要等文件，对世界上主要发达国家的数学课程标准进行了比较研究，认真分析了国内高中数学课程实施状况以及高中生的数学学习心理，对社会需求进行了广泛的调研，听取了数学界、教育界以及相关学科专家的意见，经过反复研究和讨论，确立了本标准制定的基本理念，设计了标准的基本框架和主要内容。高中阶段是与九年义务教育相衔接的高一级基础教育。 标准根据时代特点,渗透算法思想，加入二阶矩阵与向量变换、重视直观几何以及数学建模、要求对高中数学课程进行了新的设计。在保持我
2、国数学教育的优良传统的同时，力求改变目前基础教育中“繁、难、偏、旧”的状况在数学教学中的反映。标准在高一设必修课。 高二、高三分别设置不同要求、内容各有侧重的 A、B 、C、D 四类选修系列课程， 为学生提供了多种选择。其中 A 系列由基础性内容以及拓展性、挑战性的数学内容所组成。 B 系列的内容与自然科学的联系较为密切。 C 系列则侧重与社会人文科学的联系。 D 系列主要涉及人类文明、以及日常生活中有关的数学问题。标准的数学内容与过去相比有重大变化。加入了一些新内容，例如，渗数学探究、数学文化等专题；对微积分、概率统计进行了新的设计和整合。原有的内容如解析几何、立体几何、三角恒等变形等将在整
3、合中适当精简。在此基础上，A 系列课程将着重学生的探究、阅读、表达能力的培养，不追求与大学相重叠的新内容。C 系列注重扩大人文科学的视野，加强数学意识的培养。各个系列都注重发展学生创新精神、应用意识和实践能力，渗透了新的数学课程理念。以上课程设计， 经过了大量的国际比较（见附录）以及对我国数学教育传统的分析思考。在内容要求上，本标准与高中已普及的美国、日本大致持平，但仍低于法、德、俄等国的一些高中的水平。目录第一部分 高中数学课程的总体构想 一、高中数学课程标准设计的基本理念二、 高中数学课程的基本框架三、 课程内容的构成四、 高中数学课程内容处理的新认识五、 高中数学课程国际比较第二部分 高
4、中一年级“数学必修部分” 的课程标准1. 前言2. 数学必修部分课程标准3. 附录第三部分 高中数学B 系列课程标准1. 前言2.“高中数学 ”B 系列课程标准3. 附录第四部分 数学 A、数学 C 系列的基本框架一、 数学 A 系列课程标准的基本框架二、 数学 C 系列课程标准的基本框架第一部分。 高中数学课程的总体构想一、标准的基本理念本标准的设计， 从国际比较出发，力图剖析我国数学教育发展的历史与现状， 从国际意识、时代需求、国民素质、个性发展等各个方面综合思考， 形成了以下 的基本理念。 1. 为 21 世纪我国公民提供必要的数学基础。高中教育属于基础教育阶段。 高中数学课程， 应当在
5、义务教育阶段之后，为我国公民的未来需要提供更高水平的数学基础，以适应终身学习的需要。 与此同时， 力求和高一级学校的数学需求走向相一致。 我国数学教育历来有重视“双基” （基础知识与基本技能）的传统， 应当在此基础上进一步发展， 形成符合时代要求的新的“双基” 。2 高中数学课程应当具有多样性与选择性。与义务教育阶段不同， 高中数学应当具有多样性， 以供不同的学生进行选择。 必修课的内容是人人都必要的、对自身发展有价值的、经过努力能学好的数学。 与此同时，不同的人在数学上可以得到不同的发展。标准为学生提供多层次、多种类的选择。 学生可以在指导下自主选择。选择以后经过努力可以转换、调整， 具有一
6、定的灵活性。选择性可以促进学生的个性发展， 为规划自己的人生道路提供条件。23.学生需要接受人类积累的知识， 并发挥学习的主观能动性， 形成正确的、多样的学习方式。 本标准设立“数学探究” 、 “数学建模” 、 “数学阅读” 、 “数学活动”等专题课程， 激发学生的数学学习兴趣，形成“批判性”的思维习惯， 逐步形成积极主动的学习方式。 4.“打好基础”与“力求创新”的关系基础与创新是正确处理学习过程中不可或缺的两个方面。 既要打好基础，又要发展创新的潜能。 基础需要“与时俱进” ， 不断整合。 创新需要为学生提供提出问题、独立思考和实践的空间。 5 发展学生的数学应用意识，培养学生的数学建模能
7、力20 世纪下半叶以来， 数学最大的发展是应用。 计算机技术的广泛使用， 使得“数学从社会的幕后走到台前” ，在某些方面直接为社会创造价值。 因此， 高中数学在数学应用和数学实践方面需要大力加强。 数学课程要突出知识的“来龙去脉” 。与此同时， 单独设立“数学建模”的专题课程，设立“数学与日常生活相联系”的 D 系列课程，以及与社会人文科学相联系的系列课程等。6 返朴归真， 避免过度的形式化 形式化是数学的基本特征之一， 但是数学的现代发展表明， 全盘形式化是不可能的。 数学正在走出“布尔巴基”的形式化光圈。 在数学教学中，学习形式化的表达是一项基本要求。但是， 数学不能过度地形式化， 将生动
8、活泼的数学思维淹没在形式化的海洋里。 因此， 应该“返朴归真” ， 揭示数学的本质，“要推理，更要讲道理” ，通过典型例子的分析，理解数学概念和方法。 追寻数学发展的历史足迹， 把形式化的数学形态转化为学生易于接受的教育形态。7 提高学生的数学思维能力。培养理性思维能力， 是培养学生社会责任感、学会批判思考的基本环节。 数学思维能力在其中起着独特的作用。 数量感觉与判断、数据收集与分析、归纳猜想与合情推理、 逻辑思考与严密证明、 数学表示与数学交流等等， 都是其他科学所不能或者难以培养的思维品质。 但是， 我国数学教学中常常可见“数学 = 逻辑”的观点， 使得数学成了干巴巴逻辑链条。课程中应当
9、体现数学思维能力的培养。8突出数学的人文价值。数学是全人类的共同财富，也是 21 世纪公民必备的科学、文化素养。 应当通过介绍数学发展的历史，了解数学在人类思想发展中的作用， 包括了解数学在推动当代社会发展中的社会价值。在整个数学教学中， 都要注意体现数学的社会需要， 数学家的创新精神， 数学科学的重大作用， 数学的美学价值，逐步形成正确数学观， 并使之成为正确世界观的一部分。 值得注意的是：数学既能体现辨证唯物主义精神， 也可能因单纯强调形式逻辑而走向形而上学。 9注重信息技术与 数学课程内容的整合。信息技术必然对数学教学产生深刻影响。我们不仅应重视利用信息技术来呈现课程内容，更应重视信息技
10、术与课程内容的有机整合。本标准 要求普遍使用科学型计算器， 以及各种数学教育平台。 特别是以统计（数据处理）作为整合的突破口，加强数学与信息技术的结合。 在内容上， 突出“算法”在整个数学发展中的独特作用， 成为理解数学发展的重要线索， 力求把算法溶入到数学课程的各相关部分。10 寻求合理、科学的评价机制。数学课程的重大改变必将引起评价体系的深刻变化。 采用 “单一的一次性笔试、按高分到低分” 的评价方法，排列学生的智力顺序，其实是不够公平的。我们希望采用多样化的评价手段，改造当前的高考命题理论：减少题量，增加应用问题的数量， 提高高考命题的能力立意，口试与笔试结合；证书制度；过程性评价制度；
11、推荐制度等。二、标准的基本框架1. 基本框架如下图所示。基本必修课（高一， 4 学分）B系列主干课7学分C系列主干课3学分A系列选修课4学分B系列选修课2学分C系列选修课学分D系列选修课2学分32、关于框架的说明。（1） 基本数学。 基本数学为高中必修课程，基本数学为 4 学分，每个高中毕业生必须获得基础数学的 4 学分（1 学分换算为学时表示 1 学年周学时 1）。（2）四个发展系列及其学分。数学 D 系列 侧重于与日常生活相联系的数学， 以及数学在人类文明中的作用。 在获得基本数学 4 学分的基础上，再选修 2 学分的数学。既数学 D 走向的学分为：4 +（2）数学 C 系列 侧重于和社会
12、人文科学联系密切的数学内容。 要获得基本数学的 4 学分和 C 系列主干课的 3 学分，并选修 2.5 学分的选修数学。即数学 C 走向的学分为：4 + 3 +（2.5）数学 B 系列 侧重于和自然科学和工程技术有密切联系的数学内容。要获得基本数学的 4 学分和 B 系列必修数学的 7 学分，并选修 2 学分的数学。即数学 B 走向的学分为：4 + 4 + 3 +（2）数学 A 系列 由基础数学和应用数学中的拓展性、挑战性课题所组成。 要获得基本数学的 4 学分和 B系列必修数学的 7 学分，并选修 4 学分的数学。即数学 A 走向的学分为：4 + 4 + 3 +（4）四个定向选修系列中，A、
13、B、C 三个系列的内容由主干课和选修两部分构成，D 系列的内容由选修部分构成。选修内容包括前面课程内容的扩充、基本数学方法、实践类、数学前沿介绍、生活数学、消费数学、趣味数学、数学文化等专题。（3）课程框架的操作性。学区或学校可以根据实际情况，确定选修课的内容；可以根据课程标准对内容顺序的建议，重新编排课程实施框架；可以将选修课与其他必修课整合成新的模块；可以根据学生的情况，设定不同的课程组合；学生可以根据自己的情况，选择不同的课程学习方式。（4）课程评价的设想。设想两种不同的方案：第一种方案： 国家对大学所有专业的数学要求分为 A、B、C 、D 四类， 分别对应的数学 A、B、C、D 课程系
14、列，并在高考前向全社会公布。学生在报考某一专业时，必须进行相应系列课程的考试。第二种方案：数学 A 不设高考试卷。由国家或至少省一级教育部门在高考前组织只有客观题的专项考试，通过者可获得证书，大学某些专业可以以此作为优先录取的参考。这两种方案各有利弊，研制组还将就这一问题专门设立子课题进行深入研究。高中数学课程框架方案二（供讨论）一、模块二、各模块内容说明数 学 与 文 化数学与应用（二） 数学与应用（一）逻辑与证明 几 何微积分（二） 微积分（一）统计（二） 统计（一）数学 II 数学 I数 学 与 文 化基 本 教 学数学 III高级数学4基本数学：内容包括集合，函数，数列，算法，解三角形
15、，圆与直线，点线面关系，立体图形，统计，概率，数学探究，数学文化。数学 I： 内容包括计数，不等式，解析几何，常用逻辑用语，逻辑框图。数学 I 强调与自然科学，工程技术的联系，问题提出与应用举例等侧重于自然科学，工程技术方面。数学 II： 内容包括计数，不等式，解析几何，常用逻辑用语，逻辑框图。数学 II 强调与人文，社会科学的联系，问题提出与应用举例侧重于人文，社会科学方面，要求比数学 I 较低。数学 III： 内容包括生活数学，消费数学，趣味数学等。数学 III 强调趣味性及与日常生活的联系，内容侧重于数学在日常生活，文艺，体育等学科领域中的应用。统计（一）：内容包括事件的独立性，离散性随
16、机变量分布列及肺癌与吸烟的关系、估计池塘中鱼的总量、质量控制假设检验基本思想、试验设计初步等四种统计模型。统计（二）：内容包括：1、群体信息中数据欺诈和滥用，2、正态分布及应用，3、生产过程中的质量控制图假设检验，4、儿童身高均值的估计，5、估计池塘中鱼的总量极太似然估计，6、税收额的预测非线性回归，7、试验设计等 7个统计专题。学生可从中选择 4 个学习。统计（二）不涉及概率的内容。微积分（一）：主要包括导数的背景，在初等函数性质研究中的应用以及面积和积分。微积分（二）：主要包括初等微积分的基本思想方法，在处理方式上主要以直观描述为主。几 何： 包括空间向量与立体几何；平面向量与三角。逻辑与
17、证明：包括逻辑推理，分类，证明，公理化方法。数 学 与 应 用 （ 一 ） ： 倾 向 于 与 自 然 科 学 和 工 程 技 术 相 关 的 数 学 应 用 的 内 容 。数学与应用（二）：包括函数与方程模型，矩阵及其应用，统计调查，倾向于人文社科类例子。数学与文化：包括密码与生活，几何与美术，混沌与分形，悖论无限，红楼梦作者考证等等。学生可以从中选择若干专题学习。高级数学： 包括四个类型的专题：数学知识的扩展。体现数学基本思想方法的内容。实践类。数学前沿介绍。内容侧重于数理科学方面。三、建议1将来从事艺术，体育专业或高中毕业直接就业的学生建议在基本数学的基础上选数学 III（也可选数学 I
18、I） ，获得 3 个学分，并从数学与文化中选若干专题，获得 1 个学分。2将来从事人文社科类专业的学生建议在基本数学的基础上选数学 II（也可选数学 I） 、统计（二） 、微积分（二） 、逻辑与证明、数学与应用（二） 、数学与文化的若干专题，获得相应学分。3将来从事自然科学，工程技术专业的学生建议在基本数学的基础上必选数学 I，统计（一） 、微积分（一） 、几何、数学与应用（一） 、数学与文化的若干专题，获得相应学分。4将来从事数理学科或对数学要求较高的专业的学生建议在基本数学的基础上必选数学 I、统计（一） 、几何、数学与应用（一） 、数学与文化、高级数学，获得相应学分。四、说明在学习过程中
19、，可以用较高要求的模块代替较低要求的模块。如：可以用微积分（一）代替微积分（二） 。五、学分估计及选择的可能结果举例数学与文化（3 学分）数学与应用（一） （2 学分）几何（4 学分）微积分（一） （2 学分）统计（一） （2 学分）数学 I（4 学分）基本数学（8 学分）数学与文化（1 学分）数学 III（3 学分）基本数学（8 学分）数学与文化（3 学分）数学与应用（二） （2 学分）逻辑与证明（1 学分）微积分（二） （1 学分）统计（二） （1 学分）数学 II（3 学分）基本数学（8 学分）高级数学（4 学分）数学与文化（2 学分）数学与应用（一） （2 学分）几何（4 学分）微积分
20、（一） （2 学分）统计（一） （2 学分）数学 I（4 学分）基本数学（8 学分）5三、高中数学课程内容的构成（一）基本数学（共同必修课）其内容为：集合；函数；数列；算法；解三角形；圆与直线；点线面关系；立体图形；统计；概率；数学建模；数学探究；数学文化。（二）数学 A、B、C、D 系列内容的初步设想A、B、C 、D 四个系列是在修完 “基本数学”之后的定向选修课程，其内容如下。1B 系列常用逻辑用语；平面向量与三角恒等变换；解析几何（直线与二次曲线） ；不等式（含平面区域表示、线性规划的简单应用） ；向量空间与立体几何；计数的基本原理及其应用（含二项式定理） ；离散随机变量与分布；四个典型
21、统计模型；导数与初等函数性质研究；算法（渗透在其它相关部分） ；数学建模；数学探究；数学文化。2A 系列在 B 系列主干课之后设大约 4 学分的专题形式的学习内容，旨在进一步培养学生的阅读、探究、讨论、写作、创新和实践的能力。知识面可以拓宽，但不求深入，例如不搞微积分 语言训练。各专题尽量做到相对完整，学生可接受，同时又留有充分的思维空间，以激发学生对数学真理的追求。这些专题设想如下。第一类：作为 B 系列相关内容的直接扩展。如复数与几何应用，数列与差分，矩阵与平面几何变换等。第二类：体现数学基本思想方法的内容。如连分数与逼近，数学归纳法，中国剩余定理（含拉格朗日插值和一般解与特殊解的关系）
22、，决策与风险案例等。第三类：实践类。如优选与统筹，正交表与试验设计，层次分析，聚类分析，软件等。第四类：数学前沿介绍。如分形与混沌，编码与密码，纽结理论，P=NP 算法复杂性等。这 4 类专题的教学方式应当有讲授为主、阅读为主、操作为主的三种类型。3C 系列C 系列主要由以下三部分内容构成。（1）体现基本数学方法的内容常用逻辑用语（包括命题表述、量词、否定） ；函数与图象；解析几何；不等式；几何学和美术（比例、透视、图形、图形拼接） ；矩阵与平面图形变换；初等微积分的基本思想方法（直观描述） ；计数问题；统计模型。（2）体现理性思维的内容归纳推理的作用；几何直观的价值；证明的种类（数学证明的意
23、义，数学论证方法的回顾） ；逻辑框图的制作（把问题解决的方案逻辑化、框图化） ；公理化思想的学习与欣赏；公理化体系的形成。（3）体现数学文化的内容数学在人类进步中的作用；古希腊数学理性思维的胜利；中国传统数学的认识；当代中国数学；从勾股定理到费马定理；数理统计方法；红楼梦的作者的考证；数学与政治、军事、经济的关系；数学文化（在哲学、历史学、法学中的应用） ；计算机时代的数学。4D 系列D 系列的内容为选修专题。主要包括生活数学，消费数学，趣味数学，数学文化，以及 A、B 、C 系列的任何内容等。注： B 系列和 C 系列的主干课程有一个学分的差异， 而且在选材和举例方面也会有所不同。 但是课程
24、主干内容雷同，包括逻辑用语， 解析几何， 不等式， 计数，概率， 统计等。 因此， 经过一些努力，二者之间可以互相切换。 由此保证学生有多次选择、和更换选择的可能性。四、高中数学课程内容取舍、处理的新认识 在标准研制过程中，研制组提出了一些有关高中数学课程的新观点、新视角、新认识。以下的一些看法力图反映现代数学的进展、社会进步对中学数学的要求。研制组认为可以作为制定标准的部分出发点和基础。（一） 关于数学科学和数学教育的一些基本认识 在世纪之交， 我国高中数学课程标准开始启动。 新的时代、新的国际环境、新的改革机遇， 都预示着这项工作将是一场深刻的变革。 因此， 我们必须首先更新观念， 理清基
25、本思路。1 认清高中数学教育面临的社会环境，数学课程改革是必由之路。（1） 在 20 世纪末， 我国高中数学课程仍然基本上维持着 1960 年代的格局， 其基本理念则来自61950 年代的苏联。 一方面，崇尚公理化演绎体系， 讲究严格论证和逻辑推理，学生有比较扎实的基础。 另一方面， 数学内容脱离现实，缺少和日常生活的联系， 过分强调抽象而很少注意趣味性、可读性， 不使用信息技术。半个多世纪以来， 社会发生了巨大变化， 高中数学课程内容缺少变化， 已经出现“繁、难、偏、旧”的现象。（2）人类进入信息时代，信息技术的蓬勃发展，使得数学教学内容产生变化。 计算器、计算机、互联网、多媒体技术的使用，
26、正在改变“一张纸、一枝笔、一个脑袋”的数学工作格局。数学课程的内容应当包括“如何使用计算技术学习和研究数学“的内容。 一些公式的记忆、复杂的计算、繁重的演算， 应当通过驾驭计算机技术达到 目的。 正如人应当能走路， 但随着时代的进步，学会驾驶汽车成为生活的必需。 如果说， 我国现在教学条件，还不能使每个学生都能用上计算机， 那么至少可以做到：“让一部分学生先用起来！”（3） 社会发生了深刻的变化， 对数学课程提出了新的要求。 我国改革开放 20 年来， 经济迅速发展，人民生活水平提高， 社会面貌变化很大。别的不说， 每周 5天工作制， 就直接影响到数学课程的设置。 一方面是学时的压缩， 另一方
27、面却是数学内容的膨胀。 矛盾尖锐地摆在我们的面前。 普通高中扩大招生， 反映了社会的需求， 预示着大众数学教育时代的到来。 高中数学课程不能再以“培养数学家”的标准进行设计， 而应为各行各业的人才提供优良的基本数学素质的教育。2 数学发展进入了新的历史时期， 数学观正在经历深刻的改变。（1） 20 世纪下半叶， 数学最大的变化是应用。 数学已经不仅是训练思维的载体， 或者为其他学科进行表述的工具， 数学本身就是一种可以直接产生经济效益的技术。 应该说， 数学理论和数学技术的结合， 使数学的作用获得前所未有的扩大和加深。核心数学依然强劲， 应用数学屡建奇功。 数学已从社会的“幕后”走到了“台前”
28、 。在 1949 年以前， 我国处于半封建、半殖民地社会， 生产力低下， 没有应用数学赖以生存的土壤。 因此， 我国数学研究的强项斗箕终于纯粹数学。 解放以后， 这种情况有了很大的改变， 但是应用数学的发展仍然相对滞后。 数学和计算机技术的结合， 只是 1990 年代才受到广泛重视。 这一切， 使得高中数学课程一直维持“纯而又纯”的局面， 数学和其他学科的结合、数学与日常经济生活的联系， 都非常薄弱。 以至许多人认为， 基础教育阶段的数学不必谈应用， 数学应用是高中毕业以后的事。基于上述原因， 在高中数学课程标准中系统地安排“数学建模”的单元系列， 就会很有必要了。（2） 我国的数学教育工作者
29、， 受“形式主义”学派数学观的影响很大。 一般认为，人类的数学文明有四个高峰：古希腊数学文明； 17 世纪以牛顿为代表的微积分文明； 19 世纪以 希尔伯特为代表的形式主义、公理主义学派； 20 世纪中叶计算机时代的数学应用时期。 我国的中学数学课程， 其指导思想多半还停留在第三个时期， 比较强调数学抽象、演绎、形式化的一面（这当然也是必要的） 。 但是，课程必须反映时代的进步， 如何将第四个高峰时期的数学观念整合进中学数学课程， 是一项迫切的任务。例如，加强计算，求方程的近似根， 特别是把“算法”思想列为“高中数学课程”的一条主线， 看来并非多余。（3） 数学是一种人类社会进步过程中产生的文
30、化现象。 数学是人们认识世界的产物， 和社会发展有密不可分的关系。 数学是人根据经验创立的， 在发展过程中难免会有错误， 例如牛顿微积分就并不严格。数学的原始创造， 并不是严密的逻辑展开， 而是生动活泼的思考过程。 作为中学数学课程， 必须适当地揭示数学进步的历史动因、社会背景、以及人文精神。 过去我国的数学课程，比较形式化， 较少注意到数学的文化层面。 往往把“火热的思考变成了冰冷的美丽” 。 事实上， 数学要讲推理， 更要讲道理。数学必须形式化，而过度的形式化是不好的。 在这个意义上说，应该提倡“淡化形式、注重实质” 。因此， 在 高中数学课程设立“数学文化”单元系列， 也是题中应有之义。
31、（4）数学的内容、思想、方法和语言已成为人类文化的重要组成部分。3数学本身的发展呼唤数学课程的改革进入 20 世纪中期以来，数学发生了很大的变化，新的学科层出不穷，学科之间的交叉与渗透，不但使每一个分支都取得了很大的进展，也推动了数学的整体发展。数学与其外部的联系日渐增强，一方面，数学几乎渗透到了所有学科，对社会、尤其是对信息技术的发展发挥了极大的作用。越来越多的人认识到“数学正在从幕后走向台前” ， “高科技的本质是数学技术” ；另一方面，科学技术与社会的发展也促进了数学的发展。经济学、医学、军事、计算机科学等其他领域所提出的问题也成为数学进展的动力，信息论、运筹学、模糊数学、分形等分支应运
32、而生，经济数学、生物数学等扩充了应用数学的研究领域。教育的目的是为当代和未来社会培养人才，学校数学课程不可能脱离数学本身的发展变化，而应当对数学现实作出反映，适应数学发展的需要。4 树立动态的“基础”观， 研究并形成新的“高中数学基础”中国数学教育的长处在于有扎实的“双基”基础知识， 基本技能。 如何保持发扬这一传统，在新时期加以改进和发展， 当是高中课程标准必须解决的一个重要认识问题。（1） 首先， 基础的时代的产物。 高中数学课程中的“基础”是随着时代的进步而变化的。当年的科举时代， 一个读书人的基础是：写一手漂亮的毛笔字， 能背诵四书五经， 会按严格套路做八股文。到五四新文化运动以后，
33、大家就都学白话文、 数理化了。 解放前， 初中学生必须会证明“西摩松线” 、 “九点圆” ，7那是当时的数学基础。我们今日 强调的数学基础， 未必都适合未来的需要。例如，著名的“三垂线定理” ，处于立体几何的核心， 在我国是基础。 未来是否还必定是基础？ 欧美各国把数据处理作为重要基础， 三垂线定理早已不见于数学教材， 可见数学基础的认识， 并非一成不变的。 以打基础为名拒绝课程内容的变动， 更不足取。当然， 我们的课程标准必须保证有足够的数学练习。 数学是要“做”的， 我们相信熟能生巧。只是我们应该适时地更新“数学基础”的内容， 练习今后有用的数学技能。其中， 缺乏“基础”的创新是空想， 没
34、有创新的打基础是傻练。 基础并非越厚越好，应该是能够满足创新的需要为合适。 不然的话， 花岗岩筑成的厚基础上搭一间茅草房， 岂不浪费？ 基础达到一定程度， 再跳一跳能把果子摘下来， 就行了。有种意见认为， 中小学生主要是打基础， 创新是以后的事。 实际上， 学习创新， 体验创新， 本身就是基础的一部分。 盲目地打基础， 会浪费学生的青春， 甚至养成一种“靠基础吃饭”的打工仔心理。不思进取， 不想创新， 中国学生如何到国际赛场上去竞争？ 以高中数学而言， 设置探究性课题学习， 提倡质疑， 善于反思，乐于发问，给学生以发展数学思维的空间， 实在是一项“基础性”的工作。（3） 基础需要不断地整合，
35、通过删繁就简、去芜存精、渗透穿插， 把新内容和旧知识有机结合起来。 学生学习数学的时间很有限，是一个无法增加的定数。 但是， 数学知识与日俱增， 甚至发生“知识爆炸” 。 这样下去， 一万年以后怎么办？ 自然要把数学知识从整体上加以挑选， 用高观点加以整合， 形成哪个时代的基础。例如， “算法分析” 、 “数学建模” 、 “变换几何” 、 “直观几何”等等必然会和原来的基础进行整合， 溶入新的基础。 人的胚胎发育，10 个月经历了从鱼到哺乳动物的漫长进化过程， 数学课程的基础也是如此。 平面几何、立体几何在未来的数学基础中还会存在， 但是不会再是原先的模样了。（4） “代数运算的熟练”和“逻辑
36、推理的严谨”仍然是我国“ 双基”数学教育的两个基本点。 此外归纳、猜想、创新的思维方式、 广阔的数学视野、 信息技术手段的运用， 都应该是“新双基”的有机组成部分。 数学 “双基” ， 也有为数学家准备的双基和为一般人准备的双基之分。不能过分地要求一般人不需要的“熟练”和“严谨” 。 这样， 只会吓退许多不喜欢数学的人， 使数学教学孤立起来。5 高中数学课程要有利于改善学生的学习方式高中数学课程要有利于学生学习方式的改善，不仅应使学生掌握一些基本的数学结论，更重要的是要让学生理解数学问题是怎样提出的，概念是如何在具体背景中形成的，结论是怎样探索和猜测到的，证明的思路和计算的想法是怎样得到的，而
37、且在有了结论之后，还应该理解结论的作用和意义，即要体现数学结论的来龙去脉。数学建模是改善学生学习方式的突破口，是体现数学解决问题和数学思维过程的最好的载体之一。通过“从实际情境中抽象出数学问题，求解数学模型，” 回到现实中进行检验，必要时修改模型使之更切合实际“这一过程，培养了学生的创新精神和实践能力。大量使用现代数学技术。 科学型计算器将大量使用。 图形计算器 CBL 的混合使用将有助于动手能力和数学意识的形成。计算机软件必须应用， 直观几何、几何变换、函数图象、函数库、集合图形库、网络查询等都是课程必须研究解决的。数学文化课程内容是新内容， 这将扩大学生的视野， 形成良好的数学观念， 具备
38、欣赏数学美的能力，提高数学创新意识， 并借此加强数学课程的德育功能。在数学 A 系列中， 我们强调学生要会阅读数学材料、倡导“讨论班”式的研究， 开展创新性的数学活动。 教师不必讲得太多。 这种设计的初衷， 也是为了改变学生的学习方式。（二） 若干具体处理1课程内容增加了“数学建模” 、 “探究性课题” 、 “数学文化”三个模块，为学生提供了更广阔的发展空间，也为改变学生的学习方式提供了素材。2课程要反映信息时代对数学教育的推动。计算机科学与中学数学相结合。如，画逻辑框图、用符号表示数学内容、用计算机语言表达数学、用程序和算法表示数学，计算机程序语言“if,then”等，应在数学课程中出现。算
39、法作为计算机技术的重要理论基础，渗透贯穿于所有相关的数学内容之中。算法的概念、有限的排序算法、关于“图”的算法、无限的迭代算法，应当进入中学。这是时代赋予我们的任务。计算机、计算器要在许多地方大量使用。例如，通过计算器操作，理解“指数爆炸” ，计算立体图形的夹角、距离，计算古典概率和进行数据处理；用计算机演示立体图形、函数变化，以及进行符号操作、求方程的近似解等。在学习原理和算法规则时，应该停止使用计算机和计算器。科学型计算器进考场、计算机演示进课堂、有条件的学校争取上网，这是最基本的目标。3高中学习一点平面几何，在解放前和国外都是常见的。我们认为，以圆和直线为素材编制题目，使学生通过适当的几
40、何证明，体验“由因导果”的综合法和“执果索因”的分析法的理性思维方式，对于培养具有较高素质的国民是必要的。这样的定位，不致无限扩大几何证明。4对于矩阵的价值，如果用来解二元或三元联立方程，那是“杀鸡用牛刀” ，学生会认为多此一举。如果先引入平面向量，将矩阵与向量的几何变换相联系，则直观有用。再用两种商品、两个顾客的例子，说明矩阵的广泛应用价值，由此扩展到三维向量，甚至到 n 维空间，打破 n 维空间的神秘性，也是可取的。在阅8读材料或“数学文化”中，介绍矩阵表示图象，以及在放大和信息传输中的应用，也可以扩大视野、开阔思路。5立体几何部分遵循“直观感知 操作确认 思辩论证 度量计算”四个层次的认
41、识过程展开。其中，三视图不是应用，而是先导。立体图形的性质必须用精确语言表达，但面对直观浅近的结论进行严密的论证，是脱离了基础教育的要求的。用向量方法进行论证和计算，应是顺理成章、一举两得的事。6 “集合”只作为语言使用。属于、并、交等符号有利于表达，但无须介绍集合运算的诸多公式。这里没有集合论，仅仅是集合语言而已，不要说得玄乎。真正涉及“无限”的集合论，可以在“数学文化”中涉及，如 Hilbert 旅店问题、整数和偶数一样多的问题等等。这可以引起优秀学生的思考。7加强逻辑的内容。虽然我们反复强调要培养学生的逻辑思维能力，实际上学生的表现或效果却不佳。究其原因，实际的、日常语言的逻辑训练太少。
42、尤其是量词“每一个” 、 “存在一个”的运用缺乏，使逻辑表达能力受到限制。至于引进“数理逻辑”的符号是否有利于教学，需要实践来证实。但可以肯定，真值表之类的形式演算方法，无助于高中学生逻辑思维能力的提高。8数列可以看作是函数的特例。在整数坐标的图象上，观察“差分” 。如果差分相等，就是等差数列，若前项与后项之比是常数则是等比数列，直观且有新意。9重新认识不等式。不等式和等式一样，都是客观事物的基本数量关系。高中数学中不等式的内容应包括两个方面：解不等式。其几何意义是确定区域，线性规划即基于此。认识恒不等式。恒不等式与恒等式一样，也是基本素质的一部分。10函数是高中数学的核心内容。但是，现行函数
43、的教学也有“为教而教”的现象。学生只是抽象地记忆各种函数及其性质，索然无味。如果将函数教学建立在“为数量变化提供模型”的立意上，内容就会丰富起来。特别是结合计算器的操作，体现“指数爆炸” 、 “直线上升” 、 “对数增长”等含义，了解以 2 为底的对数适合定义信息量的单位“比特” ，三角函数是周期性变化的模型等等。函数的教学就将会更贴近学生的实际，引起学习的欲望。11微积分内容在我国中学的几出几进，原因是定位不当。大学不欢迎，中学用不上，两边不讨好。 标准的定位是：首先，中学微积分侧重于思想，特别是变化率的思想（它是人类思维进步的里程碑） 。一上来就是导数、定积分，当需要涉及极限时，只要直观认
44、识即可。这样，大学里还是从极限、连续讲起。中学的铺垫，对大学的学习有利。同时也为不上大学的人提供进一步认识变量思想的机会，接受辩证唯物主义思想的熏陶。第二，中学讲微积分有助于进一步理解函数的变化。可以从观察一元二次函数图象的切线开始，考察y=x2 切线的斜率，判断函数的单调下降、上升和极值。高中阶段也许只考察幂函数的导数就行了（是否扩大到正弦、余弦函数待研究） 。这样，就可以用导数求单调区间、求极值、证明不等式。只有用微积分，才能体现它在中学数学里的价值。12数据处理。21 世纪每个公民所需要知道的数学知识，以数据处理最为突出。人们在工作中、日常生活中，不断受到数据信息的轰炸。广告里的数据频频
45、出现，大部分涉及数据的运用。因此，高中数学基本课程中的概率统计内容的安排，应当是先统计，后概率，展开的线索应是：提出问题、收集数据、整理数据、解释数据、研究数据特征、做出统计判断。学生应当经历这样的全过程。数据处理是做出来的。不需要学生死背定义，更不能抽去统计思想的内核，把数据处理变成“算术” 。数据处理和概率的教学，主要依靠编制事例，提出课题，进行实际问题的处理，不能按照现在大学教科书的体例来教，否则又要烧成夹生饭了。13中学的概率统计教学，是中国数学教学的弱点，多年来的忽视，已经酿成苦酒，不得不喝，要从启蒙开始。另一方面，我国的数学教学已经习惯了“形式演绎”的展开，排斥其他的教学方法，什么
46、内容都要从定义出发。讲统计，总是先抽象地定义样本、总体，出黑体字，让学生去背。其实，概率、总体、样本的概念很复杂，对高中学生难以说清，这个时候我们只要描述即可。概率教学主要是培养随机观念。弄清随机变量的取值规律是用概率和分布刻画的，会用随机观点处理随机现象，知道统计结果是概率地呈现的，可能有误差。使学生真正感受到确定性和随机性数学思维方法的本质区别。14方程。过去学习方程，重点是找出用代数式表示的方程的根。这样，高中毕业的学生也就只会解一元二次方程，其他的方程完全不接触。现在有了计算机，各种各样的方程都可以解了。函数、方程和曲线的关系，很容易在计算机或图形计算器上反映出来。虽然看到的是近似解，
47、却是事物的本来面貌。大量地观察函数库、图象库、方程库里的藏品，可以大大扩大学生的视野。 五、高中数学课程标准的国际调查在进入 21 世纪的时刻， 世界各国都对数学课程标准作了新的研制和修订。 新世纪对发展中的中国，是一次重大的挑战和机遇。 加入 WTO 和申办奥运成功， 表明中国将越来越和世界接轨， 按照“ 地球村”的规则办事。 中小学数学课程， 在各种课程中最具“ 国际可比性”。因此， 我国的高中数学课程标准也必9需了解世界各国的数学教育改革动向，进行国际比较， 吸取国外的成功经验。 研制组收集了美国、英国、德国、法国、日本、俄罗斯六个国家最新高中数学课程标准（大部分为 1999-2000
48、年的最新材料），委托专家进行了研究比较，并分别译出各国标准的主要部分。 研究工作获得了以下的主要结论。（一） 两种数学课程.。依普通高中的入学率的多少， 各国高中数学课程可分为以下两种类型：1低入学率。 英、法、德、俄等欧洲国家， 学生在初中毕业后分流， 大多数学生进入职业学校， 少数学生进普通高中。 进入高中基本上就可以读大学， 完全高中实际上相当于大学预科， 课程内容远远超过我国现行大纲。 例如，德国完成普通高中教育的人数占同龄人的 20%，巴伐利亚州通过完全中学考试的人数占同龄人的 18.3% . 英国、法国的情况大体相同。俄国只有大约一半的学生进入 10、11 年级， 这表明俄罗斯的完
49、全中学毕业生， 在同龄人中所占的比例也会低于 50% .2高入学率。 以美国、日本为代表的一些国家和地区， 绝大多数学生进入高中， 到大学才实行分流。美国实行 12 年义务教育， 日本进入高中的学生在 97%以上。由于学生众多， 数学课程的必修内容十分浅显， 而且一降再降。但是， 美国和日本的高中实行学分制， 学区和学校的差别很大，学生的学习差异明显，优秀学生仍然可以获得数学学术水准很高的教育。（二） 各国高中课程的选择性学生进入高中阶段，已经接近“成人” ， 需要有更大的数学学习的选择空间。以下是各国数学课程的分流、选修的情况。1 德国。 10 年级毕业后读 11、12、13 年级（ 4 个州仅 11、12 年级） 。11 年级为共同数学课， 12、13 年级则分流为三个系列的数学课程： 语言文学艺术类 社会科学类 自然科学技术类 学生必须从这三个系列中选择一种。2法国。 法国高中的学制为 3 年。 高一为公共数学
